Электроника и схемотехника, учебное пособие, Щ.А.С., О.А.Г

441

(9.49)

Его частотная характеристика определяется выражением

(9.50)

которому соответствует хорошая линейная фазовая характеристика, но относительно плохая амплитудная характеристика. Эффективная ширина этого восстанавливающего фильтра может быть заметно улучшена, если за ним следует аналоговый фильтр нижних частот с линейной фазовой характеристикой и амплитудной характеристикой, в которой компенсируется ослабление, вносимое законом [sin( T / 2)]/( T / 2) в диапазоне 0 T 2 .

9.6.2. Корневой годограф импульсной системы

Так же как и в случае непрерывных линейных систем, к уравнению корневого годографа импульсных систем приходим, рассматривая знаменатель передаточной функции

При изменяемом параметре-коэффициенте усиления k и W* (z) в виде

W (z) kG(z) / H (z) уравнение (9.49) принимает вид

Последнее уравнение и является уравнением корневого годографа в плоскости z. Уравнение (9.50) служит для «калибровки» корневого годографа.

Изложенное позволяет сделать вывод, что все правила построения корневого годографа непрерывных систем полностью применимы к линейным импульсным сис-

темам. При этом необходимо, однако, иметь в виду, что корневой годограф, построенный в плоскости z, позволяет получить корни характеристического уравнения импульсной системы только при надлежащей интерпретации.

Как известно, корни характеристического уравнения линейной импульсной системы -

изображена плоскость s и три корня устойчивой линейной импульсной системы третьего порядка, расположенные в основной полосе, ограниченной горизонтальными прямыми ±

ω0/2=π/Т.

Рис. 9.17

Не останавливаясь на детальных пояснениях, отметим, что импульсная линейная система имеет бесконечное количество корней, лежащих в полосах над и под основной (рис.

9.17, а). Мнимая ось j на плоскости s отображается в соответствии с функцией

z esT e( J )Т

постоянных значений ζ = const плоскости s отображаются в виде концентрических ок-

а при ζ > 0 (неустойчивые системы) в e T раз больше единицы. Линии постоянных значе-

ний ω = const отображаются на плоскость z в виде радиусов (лучей).

Значение коэффициента усиления kГР , соответствующее границе устойчивости сис-

темы, находится приравниванием единице модуля W (z) в точке пресечения корневого годографа с окружностью единичного радиуса (образом мнимой оси j плоскости s).

9.7. Классификация цифровых систем

Предполагается, что передаточная функция H (s) линейной системы, для

которой требуется цифровая аппроксимация, может быть представлена в

443

виде

M

cm s m

d n s n

n 0

(9.54)

Используя известные соотношения между линейным дифференциальным уравнением и линейным разностным уравнением, получим соответствующую дискретную передаточную функцию в виде

(9.55)

где z 1 - оператор единичной задержки.

Используя (9.55) для определения соотношения между выходным сигналом (последовательностью) v2 (nT ) и дискретным входным сигналом v1 (nT ) и

решая это уравнение относительно текущего выходного значения, получим

лю, то фильтр, заданный уравнением (9.55), является фильтром рекурсивного типа, т. е. у него расчѐт текущего значения выходной величины v2 зависит

не только от настоящего и (N-1) предыдущих значений входной величины, но и от N предыдущих значений выходной величины v2 . Структурная схема

рекурсивного фильтра второго порядка показана на рис. 9.18.

444

Рис. 9.18

Если все значения b j равны нулю, то фильтр является фильтром нерекурсивного или трансверсального типа, т. е. у него выход представляет собой простое линейное взвешивание текущего и предыдущих ( N —1) входных .отсчетов. На рис. 9.19 приведен пример не-

рекурсивного фильтра п-го порядка.

Методы проектирования фильтров каждого из этих двух классов значительно отличаются друг от друга и рассматриваются по отдельности. Каждый класс фильтров имеет свои особенности. Нерекурсивный фильтр имеет конечную память, у него могут быть хорошие фазовые характеристики. Однако в нерекурсивном фильтре обычно требуется большое количество сигналов для получения относительно острого среза частотной характеристики. Рекурсивный же фильтр обладает бесконечной памятью и обычно имеет меньше членов. При такой экономии членов фазовые характеристики, как правило, получаются относительно хуже. Фильтры с острым срезом частотной характеристики значительно легче проектировать, используя рекурсивную структуру.

445

Рис. 9.19

Цифровым двойником линейной аналоговой системы с сосредоточенными параметрами является рекурсивный фильтр. Цифровой фильтр, применяемый для аппроксимации частотных характеристик тригонометрическими полиномами, является нерекурсивным фильтром. Рассмотрим вначале методы проектирования нерекурсивного фильтра.

Существует три метода проектирования нерекурсивных фильтров: метод, связанный с классической интерполяцией и формулой дифференцирования для равноотстоящих данных; метод, вытекающий из приближения рядом Фурье, и, наконец, метод, использующий аппроксимацию по методу наименьших квадратов в какой-либо форме.

9.7.1. Методы проектирования нерекурсивных цифровых фильтров

Существует три метода проектирования нерекурсивных фильтров: метод, связанный с классической интерполяцией и формулой дифференцирования для равноотстоящих данных; метод, вытекающий из приближения рядом Фурье, и, наконец, метод, использующий аппроксимацию по методу наименьших квадратов в какой-либо форме.

Классическим формулам интерполяции и дифференцирования для равноотстоящих данных можно непосредственно придать цифровую форму с помощью соответствия меж-

ду единичным оператором опережения Е , используемом в численном анализе, и оператором z в z-преобразовании. При обычном применении этих формул получают фильтры нижних частот и дифференцирующие фильтры с хорошими амплитудными характеристиками только на очень низких частотах. Легко видеть, что эти методы соответствуют использованию первых нескольких членов разложения требуемых амплитудных характеристик в степенной ряд вблизи нулевой частоты. Применение этого метода ограничивается в основном фильтрами, функция которых состоит в интегрировании, интерполяции, дифференцировании или в их комбинации.

446

Метод ряда Фурье и связанные с ним методы отличаются значительно большей гибкостью. В первую очередь метод Фурье состоит в разложении амплитудно-частотных ха-

рактеристик требуемого аналогового фильтра H (s) в ряд Фурье в полосе s / 2 . Вы-

бор синусных или косинусных рядов делается на основании поведения H (s) на очень

Прямой метод Фурье отличается тем, что даѐт наилучшее среднеквадратичное приближение к требуемоц передаточной функции при равном весе ошибок во всѐм частотном диапазоне s / 2 s / 2 . Однако имеют место

нежелательные колебания Гиббса, вызванные разрывами в требуемом H ( j )

или какой-либо из его производных. Близкий к рассмотренному подход заключается в применении метода наименьших квадратов, но со взвешиванием ошибок только в том частотном диапазоне, где требуется специфическая характеристика.

Ещѐ один метод проектирования состоит в определении чебышѐвского или минимаксного приближения к требуемой передаточной функции. Однако он требует проведения больших расчѐтов для получения необходимого результата, выполняемых обычно на компьютере. Число случаев, когда аппроксимация Чебышѐва может быть определена аналитически в замкнутой форме, очень мало.

9.7.2. Методы проектирования рекурсивных цифровых фильтров

Основная форма рекурсивного цифрового фильтра задаѐтся следующим выражением:

447

(9.59)

где z 1 - оператор единичной задержки.

Общей задачей проектирования рекурсивного фильтра является определение коэффициентов фильтра a j и b j таким образом, чтобы выполнялись

требования к фильтру.

Существуют два основных метода решения этой задачи проектирования. Первый, и

самый прямой, метод состоит в определении коэффициентов цифрового фильтра а, и с помощью некоторого расчета непосредственно по параметрам фильтра. При этом может применяться теория аппроксимации рациональных функций тригонометрических полиномов, описанная много раз в литературе. Сюда же следует отнести специфические итеративные методы проектирования, а также процедуры, основанные на методе проб и ошибок.

Вторым основным методом определения коэффициентов цифрового фильтра является косвенный метод, состоящий из двух этапов. Сначала рассчитывается подходящий анало-

говый фильтр H(s ), который соответствует параметрам проектируемого цифрового фильтра. Затем ищется соответствующая дискретная модель рассчитанного аналогового фильтра. Таким образом, этот метод позволяет эффективно использовать обширную литературу по проектированию аналоговых фильтров, тщательно разработанную инженерамиэлектриками за последние тридцать пять лет. Косвенный метод используется при цифровом моделировании аналоговых фильтров: здесь аналоговый фильтр уже известен и требуется лишь провести его дискретизацию.

В этом разделе рассматриваются (не обязательно в порядке степени важности) два различных способа выполнения дискретизации, требуемой при косвенном методе: стандартное z-преобразование и метод Боксера и Талера.

9.7.2.1. Стандартное z – преобразование

Косвенный метод требует дискретизации аналогового фильтра H (s) , передаточная функция которого имеет следующий вид:

448

M

am s m

d n s n

n 0

(9.60)

Так как цифровые фильтры должны быть ограниченными по полосе, а соотношение (9.60) не строго ограничено по полосе, то в процессе дискретизации должна быть некоторая форма аппроксимации.

Характер аппроксимации, присущей стандартному z-преобразованию, следует из определяющих уравнений преобразования. Стандартное z- преобразование передаточной функции определяется выражением

(9.61)

что эквивалентно,

(9.62)

Предполагается, что асимптотическая характеристика для большого s имеет вид

(9.63)

Таким образом, из (9.62) z-преобразование определяется так, что импульсная характеристика дискретизованного фильтра идентична дискретизованной импульсной характеристики аналогового фильтра. H (s) имеет пери-

стики полученного дискретизованного фильтра H (s) отличаются от частотных характеристик аналогового фильтра H (s) , причѐм разность представляет собой результат наложения, вызванного членами вида H (s jn s ) при n 0 .

Если H (s) ограничена по полосе, т. е. H(s) 0 при s / 2 , то будет отсутст-

вовать ошибка, вызванная наложением, и частотная характеристика дискрет-

449

ного фильтра идентична характеристике аналогового фильтра. Если H (s) - рациональная функция от s, то H (s) не ограничена по полосе и, следовательно, H (s) H (s) в основной полосе.

Величина ошибки, вызванная наложением, зависит непосредственно от асимптотиче-

ского поведения H(s) на высокой частоте. Если п велико и c s / 2 , то ошибки наложения будут небольшими и стандартное z-преобразование в общем случае будет давать

могут привести к большим ошибкам, вызванным наложением в частотных характеристиках фильтра, полученного с помощью стандартного z-преобразования, и, таким образом, привести к неприемлемому результату.

Чтобы уменьшить возможность появления ошибки, вызванной наложением, можно

модифицировать H (s) путем каскадного подключения широкополосного фильтра нижних частот G(s) с достаточно большим п. Этот защитный фильтр G(s) обычно выбирают так, чтобы иметь плоскую амплитудную и линейную фазовую характеристики в том час-

тотном диапазоне, где требуется чтобы H*(s) точно аппроксимировал H (s) . Защитный фильтр получается при использовании одной из стандартных форм фильтра нижних частот, имеющего только полюсы (например, фильтра Баттерворта или фильтра Чебышева I типа), и, если это необходимо, путем включения после него всепропускающего фильтра для выравнивания фазы.

Если H (s) дана в виде дроби, в числителе которой – полином N(s ) порядка nN , а в знаменателе - полином D(s) порядка nD , где nD nN , то для применения стандартного z-

преобразования вначале требуется определить нули полинома D (s), затем найти разложе-

ние Н(s) на элементарные дроби по этим полюсам и произвести z-преобразование каждого члена в отдельности. Все эти преобразования будут иметь вид

450

иметь не больше 2 nD коэффициентов. Если, кроме того, используется защитный фильтр порядка nG , то полученное H m (z) окажется более сложным и будет иметь не больше

2 (nD nG ) коэффициентов.

Другим ограничивающим свойством стандартного z -преобразования является то, что моменты h(t) не остаются инвариантными, т. е. в общем случае

Однако обычно коэффициенты числителя H (z) могут немного изменяться с тем, чтобы обеспечивалось равенство первых нескольких моментов, не оказывая при этом зна-

где n - целое число.

Преобразование с такими свойствами является билинейным z- преобразованием, определяемым следующим образом:

(9.67)

которое после подстановки принимает вид