Электроника и схемотехника, учебное пособие, Щ.А.С., О.А.Г

431

Рис. 9.12

Работа такого оператора описывается выражением

Формируемая им последовательность импульсов аппроксимирует x(t)

следующим образом:

Таким образом, результирующее колебание на каждом интервале

ограничивает требуемую площадь. В противном случае полученная аппро к- симация будет неудовлетворительной. Тем не менее, импульсная аппрокс и - мация является удобной математической дискретной моделью непрерывных систем .

Фиксация нулевого порядка (H0 ). Наиболее распространенным восстанавливаю- щим оператором является схема фиксации нулевого порядка (рис. 9.12, б). Ее работа опи-

434

435

Рис. 9.13

Фиксирующий оператор нулевого порядка H 0 вносит задержку T/2 секунд. Экстрапо-

лирующий фиксирующий оператор первого порядка H1 потенциально пригоден для использования в тex случаях, когда задержка сигнала должна быть минимизирована, например в схемах управления с обратными связями и гибридных вычислительных схемах. Хо-

тя оператор импульсной аппроксимации в диапазоне частот 0 /T имеет идеаль-

ную характеристику, на частотах, превышающих / T , последняя отличается от желаемого нулевого значения.

Путѐм проверки можно убедиться в том, что схема фиксации нулевого порядка даѐт мгновенную погрешность вблизи точек пересечения нулевого значения синусоидальным колебанием. Можно найти максимальную погрешность, рассмотрев такой случай, когда

рассчитанное с помощью последнего выражения число отсчѐтов за период, необходимое для получения различной точности.

436

В случае экстраполирующей фиксации первого порядка максимальная погрешность

этом случае требуемая частота отсчѐтов значитльно снижается по сравнению с величиной, соответствующей фиксации нулевого порядка.

9.6. Линейные дискретные системы

Обработка дискретных сигналов линейными фильтрами или весовыми последовательностями производилась еще в 1600 г. Она началась с работ математиков, занимавшихся составлением математических таблиц, и астрономов, которые занимались определением орбит небесных светил. Труды Найпера, Грегори, Ньютона и Бернулли, Эйлера, Тейлора, Лагранжа, Лапласа и Гаусса используются в классических методах численного анализа, применяемых и в настоящее время для численного интегрирования, интерполяции, дифференцирования и т. д. Применения, в которых обычно используют узкополосные сигналы при отсутствии шумов, вытекают из характерных особенностей указанных трудов, обосновывающих полезные способы фильтрации, что становится особенно ясным при их рассмотрении в частотной области. Например, легко показать, что для классиче-

ских симметричных интерполяционных фильтров первые п последовательных производных их амплитудно-частотных характеристик имеют нулевые значения (поведение при нулевой частоте весьма сходно с поведением фильтра нижних частот Баттерворта).

Однако полезность классических методов снижается, если обрабатываемые данные содержат нежелательные шумовые компоненты. Развитие в 1940 и 1950 гг. системы управления огнем и радиолокации дало сильный толчок развитию более совершенных методов обработки сигналов. Появилась богатая литература по дискретным системам управления, начиная с работы Гуревича [3] и др. и кончая потоком литературы по дискретным системам. Эти работы, рассматривая подробно теорию дискретных систем с помощью z- преобразования, в основном ограничиваются анализом систем управления и исследованием методов их оптимизации. Они могут быть использованы для решения многих задач цифровой фильтрации.

Параллельно с интенсивным развитием теории дискретных систем управления проявился большой интерес к численной обработке сигналов от радиолокационных станций и других датчиков. Целью такой обработки было, с одной стороны, выделение более чистых

437

сигналов, выражающих требуемые величины, с другой стороны, цель состояла в получении характеристик помех, сигнала или контролируемой системы. Появление вычислительной техники ускорило развитие методов обработки сигналов и позволило довольно быстро осуществить большие расчѐты при решении сложных задач.

9.6.1. Передаточная функция импульсной системы

Реальный импульсный элемент (ИЭ) удобно заменить двумя элементами: идеальным импульсным элементом (ИИЭ) и фиксирующим элементом (ФЭ). Идеальный импульсный элемент замыкает систему на «мгновение» в момент съѐма импульса x(t) , а фиксирующий элемент задерживает (фиксирует) снятое значение импульса x(t) в течение времени T . ФЭ будет далее относится

кнепрерывной части системы. При таком представлении входной сигнал

x(t) ИИЭ оказывается последовательностью дельта-функций, площадь каж-

дой из которых принимается равной значению непрерывного сигнала x(t) на

входе ИИЭ в момент съѐма импульсов, которые можно пронумеровать. Такая последовательность дельта-функций называется решѐтчатой функцией

(9.40)

На рис. 9.14 изображѐн простейший случай, когда x(t) представляет собой функцию Хевисайда вида x(t) 10 (t) , а выходной сигнал x (t) ИИЭ равен

x (t) (t nT ) и является периодической последовательностью дельта-

n 0

функций с одинаковым весом (площадью), равным единице.

438

Рис. 9.14

Выведем передаточную функцию импульсной системы (рис. 9.15), непрерывная часть которой имеет функцию веса w(t).

Рис. 9.15

По своему смыслу передаточная функция представляет собой отношение изображения выходного сигнала к изображению (того же вида) входного сигнала, между тем входной сигнал x (t) является импульсным, а выходной сигнал y(t) - непрерывным. Поэтому на выходе импульсной системы вводят

фиктивный импульсный элемент, работающий синхронно и синфазно с входным импульсным элементом, его выходной сигнал y(t) также является импульсным и существует только в моменты съѐма импульсов.

Передаточная функция импульсной системы, получаемая путѐм свѐртки и z-преобразования, действительна только для моментов съѐма. Используя принцип суперпозиции, запишем значение выходного сигнала y(t) в произ-

440

L[ y (t)] X (z) W (z) ,

Передаточная функция линейной импульсной системы равна отношению z-изображений выходного и входного сигналов, т. е. имеет место полная аналогия передаточных функций непрерывной и импульсной систем. В то же время передаточная функция W (z) представляет собой, согласно определению, z-изображение функции веса системы w(t) , как для непрерывной ли-

нейной системы. Передаточная функция замкнутой системы (рис. 9.16) получается из еѐ уравнений

X (z) X BX (z) Y (z) , Y (z) W (z) X (z) .

Рис. 9.16

Исключая из уравнений X (z) , получим передаточную функцию замкну-

той системы

W0 (z) 1 W (z) .

(9.48)

Фильтр, применяемый для восстановления аналогового сигнала по последовательности выходных отсчѐтов, должен лишь аппроксимировать идеальный фильтр нижних частот в используемом частотном диапазоне моделирования. Таким образом, для моделирования полосы пропускания нижних частот может применяться фильтр нулевого порядка