Электроника и схемотехника, учебное пособие, Щ.А.С., О.А.Г

422

(9.24)

Выражение (9.24) называют теоремой отсчѐтов, которая формулируется

следующим образом.

Если сигнал x(t) имеет спектр, (преобразование Фурье), который тождественно равен нулю для f B (Гц), то этот сигнал полностью определяется последовательностью своих значений в моменты времени, отстоящее друг от друга не более чем на Т=В/ 2 (с), т. е.

выборками функции х( t ) , взятыми с темпом 2В (отсчет/с).

Сказанное означает, что, если брать отсчеты с достаточно высокой скоростью (напри-

мер, 1/Т,отсчет/с), то можно восстановить исходную функцию времени x(t) путѐм использования идеального интерполирующего или восстанавливающего оператора с импульсной характеристикой:

Заметим, что темп взятия выборок может быть выше, чем 2В, отсчет/с. Функция p(t)

равна единице при t=kT. Как видно из рис. 9.8, а, функция p(t) не равна нулю в другие моменты времени и не стремится к нулю ни в одном конечном интервале времени. Это обстоятельство напоминает нам о том, что все отсчѐты, вносящие свой Вклад в восстановле-

ние x(t) уходят назад к t = -∞. Отсюда немедленно следует одна из проблем физической интерпретации теоремы отсчетов, а именно: p(t) является функцией некаузальной и, сле-

423

довательно, физически не реализуемой. В связи с этим для точного восстановления бесконечно длинной последовательности отсчетов, можно понять, что реальная операция восстановления исходного сигнала даѐт лишь его приближѐнное отображения. Получить высокую точность можно получить путѐм использования схем фиксации и увеличения частоты выборок относительно той частоты, которая требуется теоремой отсчѐтов.

Более глубокое понимание проблемы можно получить путѐм использования преобра- зования Фурье функции p(t). оно имеет вид (рис. 9.8, б)

Рис. 9.8

2.Преобразование Фурье от p(t) должно быть равно Т при ω = 0 и как можно ближе

кнулю по величине при T , рад/с.

P( )

3. должна иметь нулевой фазовой сдвиг (в тех случаях, когда это приемлемо, схема фиксации может вносить постоянную дополнительную задержку, но в любых случаях должна иметь плоскую фазовую характеристику).

425

сигналы, пропустив без искажений чистый сигнал.

Рис. 9.9

Необходимая передаточная характеристика P( ) этого фильтра, полученная соответствующим преобразованием Фурье, представлена на рис. 9.9, б. Если реальная характеристика отличается от идеальной, то фильтр либо изменяет чистый сигнал, либо пропускает на выход часть частотных составляющих дополнительного сигнала.

Приведенное рассуждение позволяет выявить ещѐ одно физическое основание теоремы отсчѐтов. Для того, чтобы не происходило перекрытия первых лепестков спектра дополнительного сигнала с центральной полосой, необходимо ограничить верхнюю частоту

X ( ) :половиной S . Отсюда следует вывод, что если В – верхняя граница спектра x(t),

426

или T 21B , или B 21T .

Это означает, что частота дискретизации должна быть в 2 раза выше верхней граничной частоты спектра сигнала.

9.5.2. Погрешности замедленной дискретизации

Выявить влияние замедленной дискретизации на результирующую информацию, содержащуюся в отчѐтах, можно либо путем исследования спектра, возникающего npи такой дискретизации, либо путем восстановления сигнала и сравнения его с исходным. На рис. 9.10, б приведен спектр, получающийся в результате дискретизации сигнала, изображенного на рис. 9.10, а. На рис. 9.10, a виден эффект перекрытия, который приводит к искаженному, часто и бессмысленному результату при восстановлении сигнала, поскольку в

процессе восстановления все спектральные компоненты, лежащие ниже частоты /T , учитываются так, как будто они принадлежат исходному сигналу. На рис. 9.11 приведен результат замедленной дискретизации синусоидального сигнала. Последовательные отсчѐты изменяются тоже по синусоидальному закону, но со слишком низкой частотой. Следовательно,. восстановленный сигнал кажется правильным до тех пор, пока мы не проверим его частоту и не увидим, что она совершенно не та. Отметим, в частности, что если брать отсчѐты с частотой f из синусоидального колебания, имеющего ту же частоту f, то получим отсчѐты постоянной величины. Действительно, при взятии выборок с час-

тотой f / n , где n -целое число, все отсчѐты имеют одинаковую величину.

427

Рис. 9.10

428

Рис. 9.11

9.5.3. Связь преобразования Лапласа и z-преобразования

Подставив z exp(sT ) в выражение (9.30), получим результирующую функцию в виде

Отметим, что X*(s) - преобразование Лапласа непрерывной функции, в то время как

X(z) представляет собой Z-преобразование дискретной функции. Следовательно, кон-

формное отображение z esT дает связь между непрерывными и дискретными функ-

циями в том смысле, что если X*(s) и X(z) связаны между собой таким образом, то имеются в виду идентичные величины x(t — пТ ) в непрерывном случае и x(n) в дис-

не является точным приближением непрерывному функции x(t), а следовательно, и

X(z) не является законным представлением непрерывной функции x(t) в z – области.

9.5.4. Два аналитических представлений смешанных непрерывно-дискретных систем

Существуют две эквивалентные точки зрения по вопросу представления смешанных непрерывно-дискретных систем.

1. Сигнал в точке В может рассматриваться как последовательность чисел (дискрет-

ная функция времени) x(nT ) . Цифровой процессор, производящий над этой последовательностью определѐнные операции, вырабатывает вторую последовательность чисел

y(nT ) . Эта последовательность поступает на схему фиксации или восстанавливающую

систему, на выходе которой вырабатывается непрерывный выходной сигнал y(t) . В соответствии с таким подходом мы определим цифровой процесс с помощью дискретного пе-

редаточного оператора h(n) .

429

2. Сигнал в точке B можно рассматривать как последовательность единичных им-

x (t)

пульсов . Эта модель сигнала является функцией непрерывного времени. Цифровой

процессор вырабатывает вторую последовательность единичных импульсов y (t) . Затем предположим, что восстанавливающая схема реагирует на единичные импульсы таким образом, что по своему виду выходной сигнал совпадает с выходным сигналом предыдущей модели при воздействии на еѐ вход дельта-функции Кронекера. В рамках этого представления следует говорить о непрерывном описании восстанавливающей схемы с помо-

щью импульсной характеристики p(t) и преобразования Фурье P( ) .

Эти две точки они широко распространены в литературе, и, когда их смешивают, часто возникает путаница. Предпочтительно рассматривать оперaцию взятия отсчѐтов как операцию взаимодействия между непрерывными и дискретными сигналами, цифровую фильтрацию как операцию над дискретной последовательностью информации и оконечное восстановление сигнала как операцию взаимодействия между дискретным сигналом и непрерывной выходной функцией. Тем не менее, трактовка дискретного сигнала как последовательности единичных импульсов также является чрезвычайно полезной, особенно при рассмотрении спектральных свойств дискретизированных функций. Для получения

состоятельного приближения x*(t) должна быть подвергнута воздействию со стороны не-

которого аппроксимирующего оператора р (t ). Таким .образом, хотя импульсные после-

довательности вида x*(t) никогда не наблюдаются в действительных точках реальной системы, тем не менее мы можем рассматривать гибридные системы типа показанной на рис. 9.2 как системы, в которых сигналы указанного вида возникают внутри схемы. Фактически две приведенные трактовки при наличии восстанавливающей схемы на выходе ничем друг от друга не отличаются.

9.5.5. Восстановление непрерывного сигнала из дискретной последовательности

Дискретная последовательность отсчетов является приближением непрерывной функции при условии, что эти отсчеты расположены достаточно близко друг к другу. По тем же причинам часто воспринимается дискретный оператор как приближение непрерывного оператора. Рассмотрим некоторые способы, формального подхода, обеспечивающего удовлетворительную аппроксимацию.

Прежде всего, рассмотрим последовательность x(nT ) , которая в соответствии со сделанными предположениями была получена путем дискретизации непрерывного исходного сигнала x(t).

Как указывалось выше, составленный из отсчетов сигнал часто представляют с помо-

преобразование Лапласа, частотном спектре и т. п. Однако непрерывная (квазидискрет-

ная) функция, определенная как x*(t), не является приближением x(t), поскольку x*(t) воздействует на данную непрерывную систему независимо от того, как часто расположены отсчетные точки. С другой стороны, если мы сформируем последовательность импульсов, площадь которых соответствующим образом связана с площадью, ограни-

чиваемой исходной функцией x(t), на протяжении каждого отсчетного интервала, то вполне обоснованно можно предполагать, что такая последовательность импульсов явится удовлетворительным приближением непрерывной функции.

Для выявления способов удовлетворительной аппроксимации, выполняемой с помощью реализуемых восстанавливающих операторов, можно воспользоваться свойствами идеального восстанавливающего фильтра, описываемого выражением (9.26).

Восстанавливающий оператор, конечно, должен быть линейным и не зависимым от времени в том смысле, что отельному отсчетному значению х(пТ ) соответствует на выхо-

де импульс одинаковой формы независимо от величины индекса п. В настоящем разделе мы рассмотрим некоторое наиболее распространенные методы аппроксимации. Мы будем рассматривать операторы как математические модели процесса аппроксимации. В следующем разделе мы рассмотрим работу реальных аналогов некоторых из этих аппроксимирующих операторов, которые в настоящей главе, как правило, именуются схема-,, ми фиксации.

Импульсная - аппроксимация (Н- 1 ). Хотя этим оператором и нельзя пользоваться в качестве физического восстанавливающего оператора, можно постулировать аппроксими- рующий оператор Н- 1 (рис.9.12).