Электроника и схемотехника, учебное пособие, Щ.А.С., О.А.Г

401

где h(mT) - дискретная весовая функция фильтра.

Если входная последовательность ограничена, то ограниченной должна быть и выходная последовательность. Этому соответствует условие устойчивости

n 0

Второй основной расчѐтный алгоритм базируется на теории линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Алгоритм реализуется путѐм вычисления каждого последующего выходного отсчѐта y(nT ) по предыдущему выходному отсчѐту y(nT T ) и самому последнему поступившему входному отсчѐту сигнала x(nT ) . Для этого могут быть написаны программы расчѐта или построена аппаратура для решения систем линейных разностных уравнений, каждое из которых имеет следующий вид:

где K k и Lk - некоторые постоянные, ограниченные по модулю.

Третий основной алгоритм базируется на дискретном преобразовании Фурье (ДПФ). ДПФ для входного сигнала определяется следующим образом:

где N - число отсчѐтов сигнала, подлежащнго преобразованию; 2 / NT .

ДПФ для свѐртки x(nT ) и h(nT ) определяется как

Если предположить, что эта круговая свѐртка эквивалетна линейной свѐртке, то процедура вычисления может быть сформулирована следующим образом.

3.Вычислить обратное ДПФ для произведения H (k ) X (k ) , что даѐт выходной сигнал

Почти во всех случаях применения этого алгоритма используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), который наиболее эффективен, когда импульсная характеристика имеет большую длительность.

Процесс дискретизации можно рассматривать как вид импульсной модуляции. Если

дискретизация f (t) происходит через каждые Т секунд, то дискретное колебание f (t) можно представить как последовательность импульсов, заданных выражением

тематическим, так как представляет собой ряд импульсных функций. Однако обычно сиг-

нал выражается через последовательность чисел f (nT ) , представляющих значения сигнала в моменты дискретизации nT. Производя преобразование Лапласа для обеих частей уравнения (9.1), получим

где z esT - единичный оператор опережения (стандартная переменная z-преобразования)

403

Рис. 9.1

Теорема В.А.Котельникова утверждает, что для восстановления входного сигнала частота повторения должна быть больше или равна удвоенной самой высокой частоте спетра входного сигнала.

9.1. Сопряжение цифровых и аналоговых устройств

Напомним, что f0 (t) f (t) только в том случае, если сигнал f (t) ограничен по часто-

те в пределах s / 2 . Поэтому, чтобы должным образом подготовить аналоговый сигнал к процессу последовательной дискретизации, вначале сигнал, следует ограничить по полосе частот путем фильтрации хорошим фильтром нижних частот. Хороший фильтр нижних частот должен иметь плоскую амплитудную характеристику и линейную фазовую ха-

404

рактеристику в большей части интервала Найквиста ( s / 2 ) и значительное затухание

се частот наиболее существенно для уменьшения до минимума ошибок, вызванных наложением частотных спектров. Цифровая система с аналоговым входом и аналоговым выходом представлена (рис. 9.2), где показана общая схема моделирования динамической ана-

логовой системы, использующая цифровые фильтры. Моделирование считается широкополосным, если полоса пропускания фильтра, ограничивающего спектр сигнала, и используемый частотный диапазон цифрового фильтра соизмеримы с частотой Найквиста (т. е. составляют до 70—80%).

Рис. 9.2

Используемая в этом случае частота дискретизации является резким контрастом по сравнению с частотой в системах управления с применением дискретных данных, где она обычно выбирается в 5 -12 или более раз выше эффективной ширины полосы частот системы управления, чтобы не вносить чрезмерной задержки в цепь управления.. Использование минимальной частоты дискретизации обычно приводит к тому, что для любой операции моделирования или обработки данных требуется минимальное число вычислений, если, конечно, использование этой частоты дискретизации не требует слишком сложных’форм реализации цифровых фильтров.

Фильтр, применяемый для восстановления аналогового сигнала по последовательности выходных отсчетов, должен лишь аппроксимировать идеальный фильтр нижних частот в используемом частотном диапазоне моделирования.

Важно с самого начала четко установить различие между математическими моделями, используемыми для описания цифровых фильтров, и аналогичными моделями, используемыми для описания непрерывных (аналоговых) фильтров: В большинстве случаев мы имеем дело с обработкой информации, поступающей от источников аналоговых сигналов (приемники и т. п.), для которых аналоговая модель сигнала оказывается наилучшей. Последняя предполагает, что сигнал представляет собой однозначную функцию независимой непрерывной переменной - времени и что эта функция может принимать на некотором

405

непрерывном промежутке любое значение. Функция может иметь разрывы, однако здесь отсутствует дискретизация независимой или зависимой переменной.

С другой стороны, системы цифровой обработки информации имеют дело с последовательностями чисел (данными), для которых требуется совсем иная модель. Предполагается, что модель дискретного сигнала основана на использовании однозначной функции дискретной независимой переменной. При этом мы не учитываем, что реальное применение цифровых систем обработки сигналов включает также квантование, зависимой переменной по величине.

В других случаях необходимо учитывать влияние конечной длины кодового слова (число двоичных знаков, с помощью которых описывается зависимая переменная). Здесь необходимо использовать более точную модель квантованного сигнала (цифровую последовательность данных), в которой мы предполагаем, что зависимая переменная (значение функции) также квантована (функция определена только конечным рядом значений).

Исходя из этого, можно в зависимости от вида переменных, используемых для описания систем, говорить о непрерывных, дискретных и квантованных системах. В тех случаях, когда обсуждается влияние конечной длины кодового слова (ошибки округления), более подходящей является модель квантованного сигнала.

Часто путаница возникает при рассмотрении смешанных, или гибридных, аналогоцифровых систем обработки сигналов, в которых из непрерывных сигналов берутся отсчеты; эти отсчеты превращаются в цифровые последовательности данных [аналого-цифро- вое преобразование (АЦП)], подвергающиеся затем обработке в системе цифровой фильтрации (в цифровом вычислительном устройстве, цифровом дифференциальном анализаторе и т. п.).

Полученная в результате такой обработки дискретная последовательность данных преобразуется обратно в непрерывный сигнал с помощью восстанавливающих систем [преобразователь цифра - аналог (ЦАП) и запоминающая схема]. Всегда следует помнить о том, что дискретные и непрерывные модели используются для различных систем; в тех случаях, когда речь идет об устройствах, работающих непрерывно во времени, которые аппроксимируются посредством цифровых. фильтров, работающих в дискретном времени, необходимо проявлять предельную осторожность.

9.1.1. Цифроаналоговые преобразователи

Цифроаналоговые преобразователи (ЦАП) предназначены для преобразования цифровых сигналов в аналоговые. Такое преобразование необходимо, например, при восстановлении аналогового сигнала, предварительно преобразованного в цифровой для передачи на большое расстояние или хранения (таким сигналом, в частности, может быть звук). Другой пример использования такого преобразования - получение управляющего сигнала

406

при цифровом управлении устройствами, режим работы которых определяется непосредственно аналоговым сигналом (что, в частности, имеет место при управлении двигателями).Как и рассматриваемые ниже аналого-цифровые преобразователи (АЦП), ЦАП являются «связующим звеном» между аналоговой и цифровой электроникой.

Наиболее распространенными являются ЦАП серий микросхем 572, 594, 1108, 1118 и др., выпускаемых в РФ. В табл. 9.1 приведены параметры некоторых ЦАП.

Таблица 9,1

Схемотехника цифроаналоговых преобразователей (ЦАП) весьма разнообразна. Вопервых, ЦАП подразделяются по способу преобразования входного кода на последовательные и параллельные. Первые преобразуют последовательность импульсов в выходной код, поэтому время преобразования получается значительным. Вторые ЦАП являются статическими, т. е. время преобразования определяется быстродействием самого устройства.

Классификацию ЦАП на основе полупроводниковых микросхем можно провести по ряду специфических признаков: по роду выходного сигнала - преобразователи с токовым выходом или с выходом по напряжению; по типу цифрового интерфейса - с последовательным вводом или с параллельным вводом; по числу ЦАП на кристалле - одноканальные и многоканальные; по быстродействию - низкого, среднего и высокого быстродействия; пo числу разрядов и т. д. Общая структурная схема ЦАП приведена на рис. 9.3.

407

Рис. 9.3

Если для создания ЦАП используются микросхемы транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ), то цифровому входному уровню нуля соответствует потенциал 0…1 (В), а уровню логической единицы соответствует потенциал 3…5 (В) . Предположим, что необходимо преобразовать выходные двоичные сигналы с выхода процессора в аналоговый сигнал в диапазоне 0-ЗВ. Для этого необходимо составить таблицу истинности для ЦАП (табл. 9.2):

408

На рис. 9.4 представлена схема 4-разрядного ЦАП с двоично-взвешенным сопротивлением, состоящего из группы резисторов с сопротивлениями, имеющими двоичный вес, образующих схему лестничного типа (резистивную матрицу), и операционного усилителя (ОУ), используемого в качестве суммирующего (масштабирующего) усилителя. ЦАП в принципе представляет собой сумматор с очень точно установленным входным напряже-

нием U ОП . Назначение ОУ - усилить сигналы с выхода резистивной схемы до уровней, соответствующих таблице 9.2. На рис. 9.4 аббревиатура «СЗР» означает старший значащий разряд, а «МЗР» - младший значащий разряд.

Двоичные входы реализуются замыканием ключей. В качестве ключей используются транзисторы или аналоговые ключи, которые замыкаются с помощью цифровых двоичных сигналов. Если цифровой вход равен 1010 ( в десятичной системе счисления 10), то ключи 1 и 3 замкнуты. При этом ОУ становится сумматором с выходным сигналом

UВЫХ UОП (ROC / R4R) UОП (5ROC / 4R) .

Так как резисторы имеют двоичный вес, то каждое замыкание ключа и соответственно каждый включенный резистор обеспечивают коэффициент усиления, соответствующий выбранному двоичному разряду. Из табл. 9.2 можно усмотреть зависимость выходного сигнала от порядка замыкания ключей. Так как имеется четыре ключа, можно преобразовать 16 двоичных чисел в 16 различающихся по величине выходных напряжений.

409

Рис. 9.4

Главная трудность при построении ЦАП с сопротивлениями, имеющими двоичный вес, заключается в том, что во всех двоичных разрядах должны быть использованы резисторы с различными сопротивлениями. Так, 8-разрядный преобразователь требует рези-

сторов, сопротивление которых изменяется в пределах от R до 128R. Если R = 10 кОм, то

128R = 1,28 МОм. Трудно изготовить резисторы со столь большой вариацией сопротивления, которые были бы очень точны, согласованы между собой и имели одинаковый температурный коэффициент сопротивления.

Более распространенным типом ЦАП, в котором решается проблема сопротивлений,

является ЦАП со схемой делителя R-2R. Этот преобразователь коммутирует только со-

противления двух значений (или одного, когда значение 2R получается в результате по-

следовательного соединения двух R-резисторов), обеспечивая при этом любой желаемый уровень выходного напряжения (соответствующий двоичным разрядам входного числа).

Многие вариации основной ступенчатой или лестничной схемы R-2R составляют основу как монолитных, так и гибридных интегральных схем ЦАП.

На рис. 9.5 показан 4-разрядный ЦАП со схемой R-2R делителя. Как и ранее, каждый цифровой разряд задается замыканием ключа. Как и прежде, цифровое двоичное число

1010 (десятичное 10) должно быть введено в схему замыканием ключей Кл1 и Кл3. Опера-

410

ционный усилитель представляет собой просто буфер. Выходной сигнал усилителя будет равен

UВЫХ Ud [(R1 ROC ) R1 ].

Лестничная схема R-2R функционирует просто как делитель напряжений с двоичными весовыми коэффициентами деления или как двоичный делитель тока. Использование резисторов одной и той же величины и одного и того же типа позволяет сделать более свободными допуска на сопротивления резисторов и более близкими их температурные зависимости. Таблица зависимости коэффициентов деления напряжения в точке d лестничной схемы от значений двоичного входа соответствует табл. 9.2.

Для того чтобы уяснить, как вычисляются коэффициенты деления, обратимся к рис. 9.5. Для четырехразрядного входа требуется получить 16 определенных уровней напряже-

ний. Если ключ Кл1 подключен к U ОП , а ключи Кл2, Кл3, Кл4 заземлены, то входное циф-

ровое слово составляет половину своего максимального значения, так что Ud должно быть равно 1/2U ОП . Начиная снизу лестничной схемы, убеждаемся, что выходные сопротивле-

ния схемы в точках а, b и с равны R. Сопротивление в точке d по отношению к земле рав-

но сумме ROC + R = 2R. Поэтому, как это показано на рис. 9.5, а, напряжение в точке d

есть U d = U ОП / 2 .