Электроника и схемотехника, учебное пособие, Щ.А.С., О.А.Г

341

ции T n ( s ) в комплексной плоскости. Можно определить углы между отрезками прямых, проведенных из всех критических точек в полюс sp}, суммируя их алгебраически (со знаком плюс для нулей и со знаком минус для полюсов) с учетом кратности полюсов или нулей.

Подобно этому можно вычислить угол между годографом и действительной осью при приближении годографа к нулю. В этом случае преобладающим членом является первый ненулевой член в разложении Тейлора. Угол θ при приближении к нулю поряд-

ка n в s0j равен:

где

Из рассмотрения преобладающих членов мы замечаем, что число ветвей, выходящих из полюса (или входящих в нуль), равно порядку полюса (или нуля). Эти ветви пе-

ресекаются в полюсе (или нуле), образуя между собой одинаковые углы. Мы указали один из этих углов (8.27), а остальные углы получаются смещением относительно этого угла на величину 2π/k/n, k =1, 2,…, n-1.

В этом случае угол α равен нулю. Следовательно, углы, под которыми асимптоты стремятся к бесконечности, равны:

Это выражение ничего не говорит нам о положениях асимптот; оно указывает лишь углы. С первого взгляда может показаться, что все асимптоты исходят из начала координат. Однако это не так. Чтобы найти положения асимптот, возьмем величину, обратную

функции Tn (s), и разделим знаменатель на числитель, пока в остатке не получим правильная дробь:

342

где Ai = bi – ai.

Остаточный член этого выражения стремится к нулю, когда s→∞, поэтому он не бу-

дет влиять на асимптотический ход кривой 1/T n ( s ) . Итак, при больших величинах |s| годограф выражается приближенно как

Допустим, что асимптоты исходят из некоторой точки на вещественной оси; обозна-

чим эту точку s0. Для любого значения ρ точку на асимптоте можно представить в виде .

Точка s=s0+ (-ρ)1/п, лежащая на асимптоте, должна в пределе, когда ρ и s стремятся к бесконечности, удовлетворить уравнению годографа. Поэтому подставим (8.33) в (8.32) для годографа (имея конечной целью вычислениѐ предела при ). После подстанов-

ки значения s в (8.32) развернѐм каждый член в формуле бинома и затем соберем членах одинаковыми степенями ρ. В результате получится:

где D(ρ) - высшие степени ρ-1/n.

Теперь возьмем предел три ρ→∞. Каждый член в квадратных скобках, за исключением первого, стремится к нулю ввиду наличия множителей ρ-1/n. Чтобы (8.34) было справедливо в пределе, должно быть:

b1 равно сумме полюсов функции T n ( s ) с отрицательным знаком, а a1 равно сумме ее конечных нулей с отрицательным знаком. Следовательно, асимптотический центр кор-

невого годографа выражается через особые точки функции T n ( s ) как

343

где n – порядок функции T n ( s ) в бесконечности.

Рассмотрим нормированный коэффициент возврата

Все полюсы этой функции лежат на отрицательной вещественной оси, и функция имеет тройной нуль в бесконечности. Ветви годографа на отрицательной вещественной оси определим сразу: они лежат между точками -1/2, -2, -3 и -∞. Годограф имеет три бесконечные асимптоты (рис. 8.2, а); следовательно, угол между ними равен 120°. Одной из асимптот является отрицательная вещественная ось. Из (8.37) находим, что асимптоты пересекаются в точке

Это показано на рис. 8.2, а. Теперь можно в общих чертах набросать ветви годографа, идущие асимптотически в бесконечности (рис. 8.2, б).

Рис. 8.2

Чертеж значительно облегчается благодаря тому, что две точки нам известны. Одна из них - это точка, в которой годограф пересекает ось jω и проходит в правую полуплоскость. Эта точка имеет большое значение: она определяет наибольшую возможную величину ρ для устойчивой, цепи. При больших значениях ρ цепь становится неустойчивой, так как полюсы передаточной функции будут расположены в правой полуплоскости s. В данном случае эту точку найти сравнительно легко. Возвратная разность T n ( s ) , соответствующая выражению (8.37), равна:

344

Задача состоит в том, чтобы найти значение ρ, при котором числитель правой части перестает быть многочленом Гурвица. При этом значении ρ функция F ( s ) будет иметь

пару нулей на оси jω. Если многочлен имеет пару нулей на оси jω, скажем, при s = ± jω0, то в него должен входить множитель s2+ω02. Этот множитель должен быть многочленом четной и нечетной частей. Напишем чѐтную и нечѐтную части числителя функции F(s) по отдельности:

Поскольку квадратичные множители должны быть равны, находим отсюда сразу значения ρ и ω0, а именно

Вместо этого можно определить методом проверки Гурвиц наибольшее значение ρ,

при котором многочлен числителя функции F(s) будет оставаться многочленом Гурвица.

. Другой важной точкой годографа является точка кажущегося пересечения ветвей годографа (рис.8.3, б). Напомним, что годограф представляет отображение отрицательной вещественной оси в плоскости Тп в плоскость s путем преобразования; обратного T n ( s ) ; о бозначим это преобразование s=f (Tn). Следовательно, чтобы определить точки пересечения, нужно определить точки ветвей функции f (Tn), лежащие на отрицательной вещественной оси в плоскости Тп .

8.3. Расчѐт характеристик электронных схем

Будем рассматривать электронные схемы, состоящие из пассивных элементов (резисторов, конденсаторов, диодов с положительным дифференциальным сопротивлением) и активных элементов (униполярных и биполярных транзисторов, биполярных приборов, имеющих участки отрицательного дифференциального сопротивления). Последние приборы будем называть негатронами [12], которые обладают S-образными вольт-амперными характеристиками (ВАХ).

8.3.1. Расчѐт характеристик электронных схем на униполярных приборах

Униполярными называют такие полевые транзисторы, работа которых основана на нспользовании носителей заряда одного знака: только дырок или только электронов. Второй термин – «полевые транзисторы» характеризует механизм управления током: с помощью электрического поля( а не тока, как в биполярных транзисторах). В этом отношении

345

униполярные транзисторы имеют много общего с электронными лампами.

Рассмотрим обобщѐнный вариант электронной схемы на униполярных приборах, приведѐнной на рис. 8.3, а. Сигнальный граф этой схемы приведѐн на рис. 8.3, б.

Рис. 8.3

Интересующую нас зависимость между вектором управляемых источников напряжения U размера q и вектором входных напряжений V размера р следующим образом:

где E - матрица коэффициентов усиления управляемых источников размера q×p.

Целью нашего исследования является определение параметров формулы (4 »X), с помощью которой можно определить входное сопротивление между выводами негатрона. Следуя графу (рис. 8.3, б), находим входное сопротивление R(M):

(8.42)

Найдѐм величину входного сопротивления R(M) . Если считать, что элементы матри-

цы Е не зависят от u1 , тогда можно воспользоваться условием суперпозиции

где матрицы А и Р определяются из рис. 8.4 (и соответствующих уравнений равновесия

346

электронной схемы). Умножая обе части уравнения (8.44) на М слева и используя формулу (4.41), получим

где Iq - единичная матрица порядка q.

Подставляя выражение (8.45) в формулу (8.43) и учитывая соотношение (8.41), получим

Учитывая, что обратная матрица представляет собой отношение присоединеиной матрицы к определителю матрицы, то последнее выражение можно переписать

Сравнение выражений (8.41) и (8.48) показывает, что числитель в формуле (8.48) пред-

ставляет собой обратную разность при замкнутых накоротко входных клеммах - F (M ) , а

знаменатель является обратной разностью при разомкнутых клеммах - F(M).

Используя полученные соотношения, рассчитаем схемы на униполярных транзисторах. На рис. 8.4 приведена принципиальная схема на полевых МОП-транзисторах.

347

Рис. 8.4

Для нахождения величин, входящих в формулу (4.48), использованы соответствующие эквивалентные схемы, показанные на рис. 8.5. На рис. 8.5 приведены управляемые напряжением источники напряжения (обозначены как μi·eзi. i=1,2), выходные проводимости gci =rci, i = 1, 2. Резисторы, указанные на рис. 8.5 соответствуют обозначениям рис. 8.4.

Рис. 8.5

Для расчѐта параметров электронной схемы (рис. 8.5) примем следующие номиналы еѐ элементов: 1) резисторы R1 = 2,4 кОм, R2 = 1,0 кОм, R3 = 24 кОм, R4 = 1,25 кОм, R5 = R6

= 10 кОм; 2) для транзистора VT1 величина μ10 = 60, пороговое напряжение – 2 В, сопро-

тивление канала rc1 = 20 кОм; 3) для транзистора VT2 коэффициент усиления будет μ2 = 100, пороговое напряжение – 2 В, сопротивление канала rc2 = 20 кОм.

Осуществляя необходимые расчѐты, исходя из приведѐнных выше параметров схемы (рис. 8.5), получим следующие результаты:

348

Результат расчѐта матрицы обратной передачи при закороченных клеммах имеет вид

Матрица М представляет собой диагональную матрицу второго порядка:

Подставляя найденные значения в формулу (8.50) с учѐтом, что UПОР = 2 В, получим,

что UЗИ1 > 1,65 B.

Исходя из известных параметров элементов схемы (рис. 8.5), определим, что

U ЗИ1 ЕП / 3,4 , где ЕП – напряжение питания схемы (рис. 8.5). В результате напряжение

питания схемы ЕП >5,63 B.

Отсюда следует, что при напряжении питания ЕП >5,63 B схема (рис. 8.5) будет иметь отрицательное дифференциальное сопротивление по входу. Оно определяется путѐм подстановки выражений (8.51) и (8.52) в формулу (8.48)

Наличие отрицательного дифференциального сопротивления двухполюсника какойлибо схемы указывает на возможность использования этой схемы в качестве генератора импульсов.

8.3.2. Расчѐт характеристик электронных схем на биполярных приборах

349

Под биполярными полупроводниковыми структурами будем понимать биполярные транзисторы и диоды» а также сжатые и диффузионные резисторы, получаемые диффузией вещества, создающего слои, основные носители которых противоположны по знаку объема полупроводника, в который осуществляется диффузия. Характерной особенностью биполярных структур является создание запирающих переходов на границе слоев с различными типами проводимости.

Поведение биполярных приборов описывается с помощью математических моделей. Построение моделей преследует следующие основные цели; объяснить поведение прибора и дать возможность это поведение предсказать, обеспечить проектирование приборов и схем с заранее известными рабочими характеристиками. Любая модель будет адекватно описывать поведение прибора в некотором диапазоне значений его параметров. Когда рабочие параметры выходят за пределы действия модели, ее приходится модифицировать или заменять другой.

Для описания работы биполярных транзисторов (как частный случай, диодов) при большом сигнале используется модель Эберса-Молла [8]. Это описание преследует две цели: дает физико-математическое объяснение поведения транзистора и соотносит рабочие параметры транзистора с концентрациями примесей и геометрией прибора.

Любую схему, содержащую резисторы с положительными сопротивлениями, незави-

симые источники, р транзисторов и Q диодов, можно рассматривать как многополюсник с

(2р+1) парами полюсов, содержащий только резисторы и независимые источники, к каждой паре полюсов которого подключѐн один из имеющихся в схеме транзисторов или диодов (рис. 8.6).

Обычно в системе, имеющей обратные связи, двухполюсные импедансы рассчитываются по формуле Г.Боде

где Z(α) – импеданс двухполюсника, зависящий от параметра α; Z(0) – импеданс двухпо-

ˆ

люсника при значении параметра α=0; Fи F - нулевая обратная разность и обратная разность относительно параметра α.

Такой многополюсник всегда можно описать с помощью уравнений вида

Pu=Qi + c,

где Р и Q - действительные матрицы размера (2р+q)×(2р+q) , с - действительный вектор по-

рядка (2р+q), u и i- действительные векторы порядка (2р+q), элементы которых представляют собой напряжения на парах полюсов и протекающие через полюса токи.

350

Каждый транзистор заменяется нелинейным четырехполюсником, содержащим только два управляемых источника и два диода (модель Эберса-Молла [8]). Вольт-амперные характеристики (ВАХ) транзистора можно описать выражением вида

где Т - прямая сумма р матриц второго порядка (одна для каждого транзистора) и одной единичной матрицы порядка q, соответствующей парам полюсов, к которым подключены диоды. Для k - го транзистора упомянутая матрица имеет вид

общей базой, соответственно. Значения этих коэффициентов принадлежат открытому ин-

тервалу (0, 1). Отображающая функция F(u) имеет вид:

где f k - ток, протекающий через базовую область транзистора; Isk - ток насыщения соответствующего перехода, смещенного в запирающем направлении; θk- крутизна диодной характеристики. Последние два параметра имеют положительный знак для биполярных транзисторов типа p-n-p и отрицательный - для n-p-n.