Электроника и схемотехника, учебное пособие, Щ.А.С., О.А.Г

331

Различают пять типов передаточных функций.

К первому типу относятся передаточные функции вида

где N(s) и D(s) – два полинома с действительными коэффициентами. Нули и полюсы пе-

редаточной функции – действительные или попарно сопряжѐнные числа. Функция W (s)

является аналитической функцией. Если представить W (s) U ( , ) jV ( , ) , то для

W (s) будут выполняться условия Коши-Римана

Следовательно, передаточная функция W (s) обладает свойством отражения:

W (s) W (s ) , где звѐздочка указывает на комплексное сопряжение.

Для режима незатухающих колебаний, когда s j , получим

W (s) U ( ) jV ( ) .

Свойство отражения позволяет написать выражения вида

Первое выражение и U(ω) являются чѐтными функциями от ω, а второе выражение и V(ω) являются нечѐтными функциями от ω.

Ко второму типу относятся устойчивые цепи. Действительные части всех корней полинома D(s) отрицательны или равны нулю; полином не имеет кратных корней справа от оси jω, как и на самой оси. В этом случае полином D(s) является полиномом Гурвица.

К третьему типу относятся минимально-фазовые передаточные функции. Если пере-

даточная функция не имеет ни полюсов, ни нулей справа от оси 0ω, то N(s) и D(s) являются полиномами Гурвица. Для этих цепей будем использовать термин «минимальнофазовые цепи».

К четвѐртому типу относятся передаточные функции, описываемые через входную функцию. Математически эта функция определяется условием

U ( , ) 0 для 0 .

Такая функция является действительной и положительной. Она обладает следующи-

332

ми свойствами: N(s) и D(s) являются полиномами Гурвица, степени которых различаются не больше, чем на единицу.

Входные функции пассивных двухполюсников не могут рассматриваться как передаточные функции, так как и реакция цепи и еѐ возбуждение приложены к одному входу. Логично их рассматривать как частные передаточные функции.

К пятому типу относят передаточные функции, соответствующие двухполюснику без потерь. В установившемся режиме входное полное сопротивление (или полная входная проводимость) представляет собой реактивное сопротивление (или реактивную проводимость). Следовательно,

Полиномы N(s) и D(s) являются попеременно чѐтными или нечѐтными, причѐм степень одного из них больше или меньше степени другого на единицу. Кроме того, корни

чѐтных полиномов N p (s2 ) , соответствующие Dip (s2 ) / s , или корни Nip (s2 ) / s , соответст-

вующие Dp (s2 ) , являются действительными, простыми, отрицательными числами и чередуются ( имеется в виду чередование полюсов и нулей передаточной функции, включая начало координат и бесконечно удалѐнную точку).

В установившемся режиме входные реактивные сопротивления являются монотонно возрастающими функциями частоты.

Начало координат и бесконечно удалѐнная точка представляют собой либо нули, либо полюсы. Асимптота бесконечно удалѐнной точки проходит всегда через начало координат.

8.1.3.Характеристики передаточной функции

Если известны pi - полюсы и qi - нули передаточной функции W (s) , соответствую-

щие корням уравнений D(s) 0 и N (s) 0 , то выражение (8.5) можно записать как

334

w(t) dh(t) dt .

Таким образом, зная переходную функцию h(t) , всегда можно весовую функцию w(t)

. Следовательно, весовую функцию найти, исходя из выражения

Формулы на основе обратного преобразования Лапласа получены для некратных кор-

ней уравнения D(s) 0 . Формулы для кратных корней могут быть получены из этих же выражений путѐм предельного перехода при стремлении к нулю разности между соответствующими корнями.

8.2. Построение матрицы переменных состояния электрической схемы

Рассмотрим построение электрических схем (систем), звенья которых описываются линейными функциями. В этом случае подразумевается (конечномерная) линейная дифференциальная система, уравнения состояния которой имеют следующий вид:

где t - переменное время, X (t) - действительный n -мерный переменный во времени век-

тор-столбец, который обозначает состояние системы, а u(t) - k -мерный переменный во времени вектор-столбец, который обозначает входную переменную (переменную управ-

ления), - действительная l -мерная переменная системы, которая может быть наблюдаема или с помощью которой система воздействует на окружающую обстановку, А(t), В(t), С(t) и D(t) – матрицы соответствующих размерностей.

Если матрицы А(t), В(t), С(t) и D(t) постоянны, то система называется системой с постоянными параметрами.

Пусть H (s) C(sI N A) 1 B D является матричной передаточной функцией системы (8.6) ( I N - единичная матрица N-ного порядка). Тогда передаточную функцию системы можно представить как

336

(8.11)

где используется равенство u2 (t) y1 (t) . Принимая y2 (t) за выходную переменную, получим уравнение

y2 (t) [D2 (t)C1 (t), C2 (t)]x(t) D2 (t)D1 (t)u1 (t) .

(8.12)

В случае систем с постоянными параметрами соединение систем удобно описать при помощи матричных функций. Предположим, что H1(s) и H2(s) являются матричными передаточными функциями соответственно систем 1 и 2. Тогда общая передаточная функция равна H2(s)H1(s), что следует из соотношения:

Y2(s) = H2(s)U2(s) = H2(s)H1(s)U1(s). (8.13)

В системе с обратной связью (рис. 8.1, б) r(t) является входным сигналом. Пусть отдельные системы описываются следующими дифференциальными уравнениями и уравнениями выходных переменных:

Система 1 не имеет прямой связи. Это позволяет избежать неявных алгебраических уравнений. С помощью расширенного вектора состояния x(t) = col[x1(t), x2(t)] система с обратной связью описывается дифференциальным уравнением состояния

где u2(t) = y1(t) и u1(t) = r(t) – y2(t).

Если y1(t) – выходная переменная объединѐнной системы, то еѐ уравнение имеет вид

Осуществляя преобразование Лапласа для переменных объединѐнной системы, полу-

где H1(s) и H2(s) – матричные передаточные функции отдельных систем. Разрешая (8.17) относительно Y1(s), получим

Для рассматриваемой системы выражение J(s) = I + H1(s)·H2(s) называется матрицей возвратной разности, а функция L(s) = H1(s)·H2(s) называется матрицей усиления контура.

Разность выражений возвратной переменной y1(t) и введѐнной переменной u2(t) равна

8.2.2. Оценка устойчивости функционирования системы

Определяющее значение для работы системы имеет вопрос об еѐ устойчивости. Для последовательного соединения (рис. 8.1, а), где системы 1 и 2 являются системами с постоянными параметрами и характеристическими полиномами θ1(s) и θ2(s) соответственно, результирующим полиномом будет θ1(s)·θ2(s). Поэтому объединѐнная система будет устойчивой в случае, когда системы 1 и 2 асимптотически устойчивы.

Для системы с обратной связью (рис. 8.1, б), в которой системы 1 и 2 являются системами с постоянными параметрами и имеют матричные передаточные функции H1(s) и H2(s) соответственно, тогда характеристический полином замкнутой системы равен

где ai ,i 1, n - коэффициенты характеристического полинома.

337

вительная часть, а ζ – мнимая часть корня, i – порядковый номер корня. Замкнутая система будет устойчивой тогда и только тогда, когда полином (8.20) имеет нули со строго отрицательными действительными частями. Выражение (8.20) называют характеристическим полиномом замкнутого контура.

Если отобразить на комплексной плоскости, осями которой будут действительная и мнимая составляющие корней характеристического полинома (8.20), то геометрическое место конца вектора полинома при изменении частоты называется годографом характеристического полинома.

В настоящее время при решении вопроса об устойчивости системы используют следующие критерии: алгебраические – а) Рауса, б) Гурвица; частотные – а) Михайлова, б) Найквиста.

К р и т е р и й Н а й к в и с т а . Для исследования устойчивости усилителей с обратной связью Найквист в 1932 г. предложен критерий устойчивости,, основанный на исследований частотных характеристик системы. Этот критерий был поновому обоснован, обобщен и применен в теории автоматического регулирования А. В. Михайловым в 1938 г. Для исследования устойчивости замкнутой системы регулирования согласно этому критерию необходимо знать частотный годограф разомкнутой системы. Эту характеристику можно получить как аналитически, так и экспериментально.

Критерий устойчивости Найквиста имеет ясный физический смысл. Он связывает стационарные частотные свойства разомкнутой системы с нестационарными свойствами замкнутой системы.

К р и т е р и й у с т о й ч и в о с т и , о с н о в а н н ы й н а п о с т р о е н и и ч а с -

т о т н о г о г о д о г р а ф а р а з о м к н у т о й с и с т е м ы. Пусть передаточная функция

Числитель этой функций представляет собой характеристический полином замкнутой системы, знаменатель - характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень D(s) равна n. а степень K(s) равна r. Из физических соображений следует, что r < n.

Если потребовать, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой, то должно удовлетворяться равенство

arg[D( j ) K ( j )] n 2 .

Таким образом, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы изменение аргумента вектора F(jω)=1+Wp(jω) при изменении ω от 0 до ∞ было равно нулю.

338

Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом. Замкнутая система устойчива, если годограф разомкнутой системы Wp(jω) не охватывает точку (-1, j0).

Критерий Г урвица. Пусть дано характеристическое уравнение системы (8.20); Составим таблицу коэффициентов, называемую таблицей Гурвица.

Правило составления таблицы видно из ее построения. Первая строка образуется из

ся коэффициентами полинома с индексами на единицу больше коэффициентов предыдущей строки; при этом коэффициенты с индексами меньше нуля и больше n заменяются нулями.

Из таблицы Гурвица составляются определители k-го порядка k , выделением в таб-

Эти определители называются определителями Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом. Система, опи-

При проектировании линейных систем часто возникает ситуация, когда коэффициент усиления в обратной связи или в прямой цепи остаѐтся неопределѐнным до последнего этапа расчѐта. Например, передаточную функцию системы представим в виде

где ρ – неопределѐнный коэффициент усиления.

Характеристические числа замкнутой системы являются в этом случае корнями выражения

(s) (s) 0 .

(8.22)

Примем, что полиномы θ(s) и ψ(s) имеют следующий вид

(8.23)

где πi , i = 1, 2,…, n, - полюса разомкнутого контура; νi , i = 1, 2,…, m, - нули этого разомкнутого контура.

Введѐм понятие нормированного коэффициента возврата Tn (s), определяемого выражением

Tn (s)= W(s)/ρ.

(8.24)

Корни (8.22) являются полюсами замкнутого контура. Число корней выражения (8.22) равно n. Каждый из корней имеет свой непрерывный годограф при изменении ρ от -∞ до +∞. Корневой годограф при изменении ρ от 0 до ∞. можно представить геометрически. Из формулы (8.21) следует, что когда фаза H(s) равна π, уравнение удовлетворяется при некотором значении ρ. Таким образом, корневой годограф состоит из отрезков прямых в плоскости s, на которых нормированный коэффициент возврата Tn (s) принимает отрицательные вещественные значения. Если выразить это в терминах конформного отображения, то корневой годограф есть отображение в плоскость s отрицательной вещественной оси плоскости Tn посредством функции, обратной функции Tn (s). Точки, соответствующие ρ=0, представляют инверсные отображения точки Tn= ∞, а точки, соответствующие ρ= ∞, представляют инверсные отображения точки Tn= 0.

Очевидно, что функция, обратная Tn (s), будет многозначной, если Tn (s) имеет больше одного нуля и одного полюса. Тогда корневой годограф будет состоять из нескольких кривых, которые называются ветвями годографа.

Корневой годограф особенно полезен в том случае, если его можно быстро начертить. Это можно сделать, если известны полюсы и нули коэффициента возврата. Рассмотрим некоторые общие свойства корневого годографа, выраженный через нормированный, коэффициент возврата, годограф есть совокупность точек, удовлетворяю-

340

щих уравнению

Tn (s) = -1/ρ.

(8.25)

Если понимать годограф таким образом, что он начинается при ρ = 0 и заканчивается

при ρ бесконечно большом, то ветви годографа исходят из полюсов функции Tn (s) и заканчиваются - в нулях. Очевидно, что число ветвей равно числу полюсов или нулей функции (если считать нуль в бесконечности и учитывать кратность, то у рациональной функции число полюсов всегда равно числу нулей).

Ветви годографа, лежащие на отрицательной вещественной оси, найти легко. Квадра-

тичные множителя в Tn (s) вида s2 +as + b, происходящие от сопряженных полюсов или нулей, будут вещественны и положительны, когда s отрицательно и вещественно, и, сле-

довательно, они не будут давать вклада в фазу функции Tn (s). Все множители, происхо-

дящие от вещественных полюсов или нулей, будут иметь вид s+a. Каждый такой множи-

тель будет иметь нулевую фазу, если s лежит вправо от - а на вещественной оси, и фазу, равную ±π, если s лежит влево от - а. Все участки отрицательной вещественной оси, лежащие влево от нечетного числа критических точек (нулей и полюсов), будут частями годографа.

Легко вычислить углы, образуемые корневым годографом с вещественной осью, там, где он выходит из полюса, или приближается к нулю. Рассмотрим, например, полюс функции Тп (s) порядка n. Преобладающий член разложения Лорана определит поведение корневого годографа вблизи полюса. Пусть spj – полюс функции Тп (s) порядка n. Тогда

Если s лежит на годографе, то эта фаза должна быть равна π. Следовательно,

n .

Это и есть искомая формула. Угол β легко вычислить по Тп (s), а именно:

Это уравнение легко решить графически, зная положениям полюсов и нулей функ-