Электроника и схемотехника, учебное пособие, Щ.А.С., О.А.Г

261

берем R2, учитывая, что для операционного усилителя μA741 R2 = 1 кОм. Из соотношения

Из соотношения L=R1R2C найдем С: С = L/R1R2 = 2,8 /(1000·200·1000) = 0,014 (мкФ).

Выберем С = 0,015 мкФ. Если требуется большая точность, можно соединить параллельно два конденсатора, например 0,012 и 0,002 мкФ.

Если общая добротность схемы Q = 3, то R1 = Хс/(добротность схемы) = 2nf0L/3 = 1,76 (кОм). Используем номинал резистора 1,78 кОм ± 2 %.

Если R1 слишком мало по сравнению с R2, то заданное значение Q окажется нереализуемым.

7. ЦИФРОВАЯ СХЕМОТЕХНИКА

Будем рассматривать в основном цифровую интегральную схемотехнику, построенную на микросхемах, предназначенных для преобразования и обработки сигналов, изменяющихся по закону дискретной функции. Одним из видов цифровой схемотехники являются логические схемы, функциональное описание которых строится на основе дискретной математики.

7.1.Способы расчѐта цифровых схем

Внастоящее время в связи с широким использованием вычислительной техники в различных сферах человеческой деятельности все большее значение приобретают вычисления на дискретных структурах - комбинаторные вычисления. Исследованию алгоритмов на дискретных структурах посвящены многочисленные публикации.

Анализ трудностей, имевших место при поиске эффективных алгоритмов решения задач дискретной математики, привел к формулировке центральной теоретикометодологической проблемы дискретной математики - решению вопроса о возможности исключения перебора вариантов при решении задач на дискретных структурах. Была выдвинута гипотеза, что для широкого класса задач дискретной математики, имеющих практический интерес, не существует эффективного алгоритма их решения, трудоемкость которого была бы полиномиальной функцией от размерности задачи. Эти задачи образуют

класс NP-полных задач, трудоемкость решения которых оценивается экспоненциальной функцией. Согласно этой гипотезе, задачи реальной размерности (равной нескольким сотням) не могут быть эффективно решены даже на ЭВМ будущих поколений. Действитель-

262

но, если представить себе ЭВМ, в которой символы используемой системы счисления или логики моделируются различными состояниями атомов, причем масса ЭВМ равна массе Земли, то на основании общих законов физики эта ЭВМ не сможет даже в течение всех геологических эпох переработать больше 1073 двоичных разрядов информации. При ре-

шении же NP-полных задач реальной размерности объем перерабатываемой информации превышает величину 1073. Этот факт вызвал пессимизм среди математиков-теоретиков, которые акцентировали внимание в основном на исследовании понятийного уровня дискретной математики. Математики-прикладники направили усилия на разработку алгоритмов решения задач дискретной математики, что диктуется практической потребностью ускоренного движения «от физического смысла задачи к алгоритмическим построениям» и широким использованием ЭВМ.

При решении проблемы уменьшения перебора вариантов имеются группы алгоритмов: эвристические и характеризационные. К эвристическим относятся алгоритмы широкого класса, начиная от ГСН-алгоритмов (ГСН — грубая сила и невежество) и кончая «хитрыми», «жадными» и другими эвристическими алгоритмами. Название алгоритма соответствует тому виду эвристики, который определяет процедуру борьбы с перебором. Оценить, насколько удачно полученное с помощью эвристического алгоритма решение от минимального в смысле значения функционала качества решения, принципиально невозможно. От этого существенного недостатка свободны характеризационные алгоритмы, структура которых была предложена в 20 веке. На основании характеризации проводимых комбинаторных преобразований можно найти минимальное решение без поиска всех эквивалентных решений, исключая их перебор. Алгоритм решения задачи состоит из процедуры эквивалентирования и фактического получения решения. Первая процедура состоит в преобразовании исходной информации к виду, при котором, фактически не строя решения, можно вычислить функционал его качества. Трудоемкость характеризационных алгоритмов для практических задач оценивается полиномиальными функциями, степень которых не превышает 3 - 5. Расхождение с результатами, полученными математикамитеоретиками, объясняется двумя причинами. Во-первых, математики-теоретики оценивают трудоемкость алгоритмов решения комбинаторной задачи экспоненциальной зависимостью, исходя из наихудшего случая, который, как правило, является искусственным, не имеющим на практике места, и, во-вторых, доказывают асимптотические оценки, т. е. рассматривают предельный переход при n, стремящемся к бесконечности (n -размерность задачи). Практически же размерность задачи является конечной величиной. Например, получение экспоненциальной оценки трудоемкости раскраски вершин произвольного графа основано на знаний максимального числа f(n) пустых подграфов в графе с n вершинами:

но эта зависимость справедлива только для графов единственного класса, являющихся дополнениями графов Муна — Мозера до полных. Решение комбинаторных задач необходимо рассматривать не вообще, а принимая во внимание исходную конкретную информа-

263

цию.

Проектирование многовыходных логических схем в топологических базисах не отличается от проектирования одновыходных схем, если допускается съем информации с элементов, не являющихся минимальными или максимальными, при этом накладывается только одно ограничение: не расщеплять элементы графа, взвешенные выходными буквами. При проектировании многовыходных схем в функциональных базисах, как правило, реализуемую систему булевых функций сводят к одной функции или ищут пересечения единичных областей булевых функций и синтезируют схемы по булевым функциям, описывающим эти пересечения. Окончательная схема представляет собой композицию схем, реализующих поведение заданных булевых функций на пересечениях рабочих областей, и схем-сборок, выходы которых совпадают с выходными каналами искомой схемы. В случае же, когда единичные области не пересекаются, при использовании известных методов имеет место несвязная реализация системы булевых функций. Но именно этот случай часто встречается на практике. В предлагаемом подходе к проектированию логических схем имеем связную реализацию системы булевых функций.

7.1.1. Задание логических функций

Функция f(x1 , … , хп) называется логической или булевой, если она принимает значе-

ния 0 и 1 и ее аргументы также принимают значения 0 и 1. Логическая функция от п аргументов может быть задана таблицей, в которой перечислены всевозможные наборы из 0 и

1 длины п и для каждого из них указано значение функции. Наборы обычно перечисляются в порядке возрастания чисел, двоичными записями которых они являются. В табл. 7.1 приведен пример логической функции от 3 аргументов.

Таблица 7.1

Таблицы для функций от п аргументов х1,…,.хп имеют 2п строк (по числу двоичных наборов длины п). Различные таблицы отличаются лишь последним столбцом и, посколь-

264

щие от некоторых из аргументов х1,…,.хп фиктивно), т. е. функции, фактически зависящие

Приведем примеры функций, которые будут широко использоваться в дальнейшем.

При п=1 имеются 4 логические функции (см. табл. 7.2).

Таблица7.2

Ими являются константы 0 и 1, значения которых не зависят от значений аргумента, тождественная функция х, повторяющая значение аргумента, и функция, принимающая значение, противоположное значению аргумента. Функция носит название отрицания или инверсии. Заметим, что константы 0 и 1 фактически не зависят от аргумента, и их иногда будем считать «функциями от нуля аргументов».

Среди функций от двух аргументов также выделим некоторые функции (табл. 7.3).

Они носят соответственно названия конъюнкции, дизъюнкции импликации суммы по модулю 2 и эквивалентности. Как можно видеть из таблицы, конъюнкцияравна 1 лишь в случае, когда оба аргумента обращаются в 1, а дизъюнкция равна 0 лишь на нулевом наборе. Конъюнкцию (И) принято также называть логическим умножением, а дизъюнкцию (ИЛИ) – логическим сложением. Импликация обращается в 0 только в случае, когда значение второго аргумента меньше значения первого аргумента. Функция эквивалентности равна 1 при совпадении значений обоих аргументов, а функция суммы по модулю 2 — при несовпадении. Название последней из этих функций объясняется тем, что она принимает значение 1 на наборах с нечетным числом единиц и значение 0 - на наборах с четным числом. Перечисленные функции от одного и двух аргументов будем называть элемен-

265

тарными.

Наряду с табличным способом задания логических функций применяются другие. Одним из них является способ задания с помощью формул.

Пусть имеется некоторое множество логических функций. Множество будем на-

зывать базисом, а входящие в него функции - базисны ми. По индукции определим по- нятие формулы (над ):

-выражение f(x1 , … , хп), где f - базисная функция, есть формула;

-если f0 (x1 , … , хm) - базисная функция, а выражения Ф1,…, Фm являются либо форму-

лами, либо символами переменных, то выражение f0 (Ф1 , … , Фm) -есть формула.

Все формулы, которые встречались в процессе построения заданной формулы, будем

называть ее подформ улами. В качестве примера рассмотрим базис ={g(x1, x2), h(x1, x2. x3)}, состоящий из двух функций. Выражение h(g(x1 , h(x2 , х2 , х2 )), x1 , h(x1, g(x2,. х2 ), x1)) является формулой над . Подформулами здесь будут g(x2,. х2 ), h(x2 , х2 , х2 ), g(x1 , h(x2 , х2 , х2 )) и вся формула.

Каждой формуле следующим образом сопоставляется реализуемая ей логическая функция:

-формуле вида f(x1 , … , хп), где f - базисная функция, ставится в соответствии функ- ция f(x1 , … , хп);

-если формула имеет вид f0 (Ф1 , … , Фm), где Фi ( i = 1,…,m) является либо формулой,

либо символом переменной x j(i), то ей сопоставляется функция f0 (f1 , … , fm), где f i является соответственно либо функцией, реализуемой подформулой Фi, либо тождественной функцией x j(i).

Функция, реализуемая формулой, зависит от переменных, которые участвовали в ее

построении. В качестве примера рассмотрим формулу (x2 ) (((x2 1) ). Она реализует некоторую функцию f(x1, x2, x3). Пользуясь таблицами для элементарных функций, можно вычислить ее значение на любом наборе (α1, α2, α3). Проделаем это для набора

(0,1,0):

(10)(((11) )0) =(10)((0) = 0.

Подобным образом можно убедиться, что функция f(x1, x2, x3) задается таблицей 7.1.

266

7.1.2. Эквивалентные преобразования формул

Формулы Φ и Ψ будем называть эквивалентными и записывать Φ = Ψ, если они реализуют равные функции, т. е. на одинаковых наборах принимают одинаковые значения. Эквивалентность формул может быть установлена путем нахождения табличного задания реализуемых ими функций и сравнения этих таблиц (другой способ проверки эквивалентности будет изложен в следующем параграфе). Очевидно, что замена в формуле некоторой подформулы на эквивалентную дает формулу, эквивалентную исходной. На основании этого можно осуществлять преобразования формул, не изменяющие реализуемых функций. Обычно преобразование логических выражений осуществляют на основе законов де Моргана:

1.Отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний,

2.Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний.

Дальше будем рассматривать формулы над базисом R0={0, 1, х, , , , , }, состоящим из всех элементарных функций.

По таблицам 7.2 и 7.3 легко проверить, что имеют место эквивалентности

x1 = ,

x1 = (,) (),

x1 = ( )..

С их использованием формулы над базисом R могут быть заменены эквивалентными формулами над более узким базисом 0,1, x, x, , .

7.1.3. Общая характеристика цифровых микросхем

Цифровых микросхем по функциональному назначению можно разделить на комбинационные и последовательностные.

Ккомбинационным относятся устройства, у которых отсутствуют элементы памяти и выходные сигналы определяются только комбинацией входных сигналов в данный момент времени. Примерами комбинационных устройств являются логические схемы, мультиплексоры, дешифраторы, сумматоры, схемы сравнения чисел, преобразователи кодов и т. п.

Кпоследовательностным устройствам относятся узлы, в которых имеются элементы памяти, а выходные сигналы определяются не только комбинацией входных сигналов в данный момент, но и предыдущим состоянием схемы. Примерами последовательностных устройств являются триггеры, регистры, счетчики, распределители.

269

По принципу построения базовых логических элементов цифровые микросхемы подразделяют на следующие типы: транзисторной логики с резистивными связями (РТЛ); ди- одно-транзисторной логики (ДТЛ); транзисторно-транзисторной логики (TTJl), транзисторной логики на переключателях тока (ПТТЛ), или, иначе, транзисторной логики со

связанными эмиттерами; транзисторной логики на МДП -транзисторах (МЛПТЛ).

Разнообразие типов базовых элементов объясняется тем, что каждый из них имеет

270

свою

свои достоинства и область применения. Некоторые из перечисленных типов логических элементов: РТЛ, ДТЛ, ПТТЛ - перешли в цифровую микроэлектронику, сохранив-

ных компонентах. Логические элементы ТТЛ, МДПТЛ, ПТТЛ использовались сразу

в микроэлектронном исполнения.. В настоящее время наблюдается интенсивное развитие серий микросхем, построенных на принципах ТТЛ, МДПТЛ, ПТТЛ, и вытеснение ими микросхем РТЛ и ДТЛ.

2. Элементы арифметических и дискретных устройств предназначены для вы-

полнения операций над кодовыми комбинациями 0 и 1: хранения (регистры хранения или параллельные регистры), преобразования из последовательной формы в параллельную и обратно (регистры сдвига или последовательные регистры), подсчета числа импульсов и хранения результата (счетчики), получения единичного сигнала, соответствующего опре-

по деленной кодовой комбинации (дешифраторы), сложения правилам алгебры логики

двух кодовых комбинаций (сумматоры и их составные элементы - полусумматоры) и т. д.

В некоторых сериях цифровых и аналоговых микросхем имеются микросхемы, которые могут выполнять различные функции. Такие микросхемы получили название многофункциональных схем. Цифровые многофункциональные схемы выполняют, как правило, логические функции. Такие микросхемы имеют различную структуру. Одни состоят из многих логических элементов, из которых путем внешней коммутации выводов можно получить требуемое устройство: логическое, триггер, несколько разрядов регистра и т. д. Другие многофункциональные схемы представляют собой сложное логическое устройство, которое можно настраивать с помощью внешних сигналов на выполнение требуемой логической операции.

Для удобства рассмотрения характеристик комбинационных устройств разделим их параметры на статические и динамические.

Статические параметры характеризуют микросхему в статическом режиме. К ним относятся:

напряжение источника питания Uи.п;

коэффициент разветвления по выходу Краз, определяющий число входов микросхем - нагрузок, которые можно одновременно подключить к выходу данной микросхемы; в этом