Филлипов, решение ряда задач / 10. Понижение порядка. / 456

№456

Решить уравнение, преобразовав его к такому виду, чтобы обе части уравнения являлись полными дифференциалами

Решение

Поделим обе части уравнения на  . Но предварительно проверим, являются ли корни уравнения

решением исходного

Очевидно, что первая серия решений входит во вторую. Проверкой убеждаемся, что вторая серия удовлетворяет уравнению, следовательно в ответ следует включить серию После деления получим

Сделаем замену . Уравнение свелось к простому уравнению с разделяющимися переменными

Делаем обратную замену

Ответ: