Филлипов, решение ряда задач / 10. Понижение порядка. / 441

№441

Сделаем замену

Тогда . Исходное уравнение примет вид

1)

2)

Таким образом, получили линейное уравнение относительно . Решаем однородное уравнение

 Подставляем найденное решение однородного уравнения в исходное неоднородное уравнение

Таким образом, решение неоднородного уравнения имеет вид

Имеем уравнение, не разрешенное относительно производной.

Найдем полный дифференциал от обеих частей уравнения

Учитывая что  получим

Таким образом

Окончательное решение в параметрическом виде

Для получения решения в форме, записанной в ответах достаточно положить

Мы решали уравнение, не разрешенное относительно производной. Проверим, существует ли особое решение.

Дифференцируем уравнение  по . В результате получим

 Подставив данное решение в исходное уравнение получаем равенство , что не является тождеством.  Таким образом, особого решения не существует

Ответ: ,     _.