№174
Найти
кривые, у которых площадь треугольника,
ограниченного касательной, осью абсцисс
и отрезком от начала координат и точкой
касания есть величина постоянная и
равная
Решение
Построим рисунок:
Искомый треугольник - треугольник АВС
Уравнение касательной
(*)
Производная
- тангенс угла АВС:
Выразим тангенс через синус:
Найдем
координату точки С как пересечения
касательной и линии абсцисс. Для этого
достаточно в равенство (*) подставить
Таким
образом, координаты точки С:
Координаты
В:
Вычислим длину стороны ВС как длину отрезка ВС:
Искомая площать треугольника
Заменим в
данном уравнении
на
для
того, чтобы получить линейное уравнение:
Решаем однородное уравнение
Используем метод вариации постоянных
Ответ: