5. Вирішення розподільної задачі за допомогою методу найбільших різниць

Порт, упродовж планового періоду, повинен розподілити три вантажопотоки (j=1,3) між трьома вантажними комплексами (i=1,3).

Заплановані об’єми виробництва за кожним напрямком складають:

Q₁ = 8 млн. т.; Q₂ = 2 млн. т.; Q₃ = 7 млн. т.

Відомо:

• пропускна здатність причального комплексу П_j, т.

• витрати терміналу С_ij, дол.

• продуктивність терміналу за спеціалізацією Р_ij, т.

Потрібно скласти оптимальний план закріплення вантажопотоків за вантажними комплексами.

Таблиця 12 - Розподільна таблиця

Грузопотік	Причальні комплекси						Кіл-ь вантажу, Qi тис.т	Si	Резерв, ∆Q, млн.т.
	1		2		3
1		30		40		-	8		0
	1077,469		897,89		0
2		30		-		21	2		0
	718,313		0		1257,048
3		-		27		15	7		0
	0		897,89		538,73
Пij	8450,68		10926,1		7308,68		Розміщення інформації в осередку таблиці
∆Пij							δijCij
							Xij
							Pij

Економіко-математична модель задачі у загальному вигляді:

(47)

(48)

(49)

(50)

Економіко-математична модель задачі розподілу вантажопотоків між вантажними комплексами.

Цільова функція (мінімізація витрат при обробці вантажопотоків по терміналах):

Z = 30*X₁₁ + 40*X₁₂ + 30*X₂₁ + 21*X₂₃ + 27*X₃₂ + 15*X₃₃ → min

Перша група обмежень (використання вантажопотоків кожного типу):

X₁₁ + X₁₂ = 8

X₂₁ + X₂₃ = 2

X₃₂ +X₃₃ = 7

Друга група обмежень (щодо використання пропускної здатності кожного терміналу):

1077,469 * X11 + 897,89 * X12 ≤ 8450,68

718,313 * X21 + 1257,048 * X23 ≤ 10926,1

897,89 * X32 + 538,73 * X33 ≤ 7308,68

Третя група обмежень – умови невід'ємності змінних:

X₁₁ ≥ 0; X₁₂≥ 0

X₂₁ ≥ 0; X₂₃≥ 0

X₃₂ ≥ 0; X₃₃≥ 0

i = 1, 2, 3;

j = 1,2, 3.

Розв`язок за допомогою методу «найбільших різниць».

Визначення середнього значення собівартості вантажообробки (𝑆̅_𝑖) 1 тони вантажу і-го вантажопотоку:

(51)

S̅₁ = (30 + 40)/ (1077,469 + 897,89) = 0,035 дол/т;

̅S̅₂̅ = (30 + 21)/ (718,313 + 1257,048) = 0,025 дол/т;

̅S̅₃̅ = (27 + 15)/ (897,89 + 538,73) = 0,029дол/т;

Визначаємо значення вантажообробки з максимальною собівартістю

(max 𝑆̅_𝑖) – базовий вантажопотік:

(52)

S̅_б = max {0,035; 0,025; 0,029} = 0,035 = S̅̅₁

В даному випадку базовий вантажопотік перший.

Визначаємо собівартість перевалки 1 т вантажу базисного вантажопотоку на терміналах з необхідною спеціалізацією.

(53)

̅S̅₁₁ = 30/1077,469 = 0,027 дол/т

̅S̅₁₂ = 40/897,89 = 0,045 дол/т

Визначаємо величини оцінки δ («дельта») для кожного осередку основного блоку робочої таблиці.

(54)

Очевидно, що для базисного вантажопотоку ці оцінки будуть рівні 0.

𝛿₁₁ = 𝑆_𝑏1 ̅̅̅̅ ∗ 𝑃₁₁ − 𝐶₁₁ = 0 дол. /т

𝛿₁₂ = 𝑆_𝑏2 ̅̅̅̅ ∗ 𝑃₁₂ − 𝐶₁₂ = 0 дол. /т

𝛿₂₁ = 𝑆_𝑏1 ̅̅̅̅ ∗ 𝑃₂₁ − 𝐶₂₁ = 0,027 ∗718,313 − 30 = -10,6 дол. /т

𝛿₂₃ = 𝑆_𝑏3 ̅̅̅̅ ∗ 𝑃₂₃ − 𝐶₂₃ = 0 ∗ 1257,048 − 21 = -21 дол. /т

𝛿₃₂ = 𝑆_𝑏2 ̅̅̅̅ ∗ 𝑃₃₂ − 𝐶₃₂ = 0,045 ∗ 897,89 − 27 = 13,4 дол. /т

𝛿₃₃ = 𝑆_𝑏3 ̅̅̅̅ ∗ 𝑃₃₃ − 𝐶₃₃ = 0 ∗ 538,73 − 15 = -15 дол. /т

Позитивні оцінки δ_ij відображають величину економії при освоєнні і-го вантажопотоку на j-му причальному комплексі порівняно з базисним варіантом. Негативні оцінки δ_ij характеризують втрати.

Складаємо план закріплення вантажів за вантажними комплексами, починаємо с клітинки, в якій забезпечується максимальне значення оцінки δ_ij з урахуванням знаку. При цьому значення параметру управління визначається наступним чином:

(55)

Так, найбільше значення δ_ij міститься в осередку δ₃₂= 13,4. Значення змінної для даного осередку знаходиться наступним чином.

X₃₂ = min {7; 10926,1/897,89} = min {7; 12,198} = 7 млн т

Х_ij = Q_i, тобто і-ий вантажопотік повністю закріплюється за j-им вантажним комплексом, то рядок, що відповідає даному вантажопотоку, повністю виключається з подальшого розгляду. При цьому можливий резерв пропускної здатності ∆Пj, який знаходиться за формулою.

(56)

∆П₂ = 10926,1 – 7 * 897,89 = 1020,49;

X₁₁ = min {8; 8450,68/1077,46} = min {8; 7,84} = 7,84;

∆П’₁ = 0;

ΔQ’1, = 8 – 7,84 = 0,16;

X₁₂ = min {0,16; 8450,68/897,89} = min {0,16; 9,41} = 0,16 млн. т

ΔП’₂ = 8450,68 – 0,16 ∗ 897,89 = 8307,02.

При такому розподілу значення цільової функції приймає наступне значення.

Z = 30 * 7,84 + 40* 0,16 + 27 * 7 = 430,6 тис. дол.

Таблиця 13 - Розв’язана розподільна таблиця за методом найбільших різниць

Грузо потік	Причальні комплекс				и			Кіл-ь вантажу, Qi, тис.т		Si		Резерв, ∆Q, млн.т.
	1		2			3
1	0	30	0	40			-	8		0,035		0
	7,84		0,16
	1077,469		897,89
2	-10,6	30		-		-21	21	2		0,025		2
	718,313					1257,048
3		-	13,4	27		-15	15	7		0,029		0
			7
			897,89			538,73
Пij	8450,68		10926,1			7308,68			Розміщення інформації в осередку таблиці δijCij
∆Пij	0		8307,02			7308,68			Xij Pij
Sб	0,027		0,045			0

Висновок: В результаті розрахунків перший вантажопотік розподіляється між 1 та 2 причальним комплексом і складає 7,84 та 0,16 млн. т. відповідно. Третій вантажопотік йде на другий причальний комплекс і складає 7 млн.т

Але, як бачимо, другий вантажопотік повністю не обробляється, є залишок у розмірі 2 млн. т., а пропускна здатність третього причального комплексу взагалі не використовується через його спеціалізацію.

Таким чином це не відповідає умові задачі. Для її розв’язку в даній постановці необхідно зробити зробити допущення, щодо ухвалення рішення на введення додаткових умов. Наприклад, зняття обмеження зі спеціалізації з третього причального комплексу та надання йому характеристик клітинки Х₁₁ (𝑆_𝑏, min C_ij). Очевидно, що 𝛿₁₁ = 0.

Враховуючи ухвалене рішення, далі переглядаємо кроки закріплення

вантажопотоків Х_ij.

X₂₃ = min {2; 7308,68/1257,048} = min {2; 5,8} = 2 млн т;

∆П₃ = 7308,68 – 2 * 1257,048 = 4794,58;

X₁₁ = min {8; 8450,68/1077,46} = min {8; 7,84} = 7,84;

∆П’₁ = 0;

ΔQ’1, = 8 – 7,84 = 0,16;

X₁₂ = min {0,16; 8450,68/897,89} = min {0,16; 9,41} = 0,16 млн. т

ΔП’₂ = 8450,68 – 0,16 ∗ 897,89 = 8307,02.

При такому розподілу значення цільової функції приймає наступне значення.

Z = 30 * 7,84 + 40* 0,16 + 27 * 7+21*2 = 472,6 тис. дол.

Грузо потік	Причальні комплекс				и			Кіл-ь вантажу, Qi, тис.т		Si		Резерв, ∆Q, млн.т.
	1		2			3
1	0	30	0	40			-	8		0,035		0
	7,84		0,16
	1077,469		897,89
2	-10,6	30		-		-21	21	2		0,025		2
	718,313					1257,048
3		-	13,4	27		-15	15	7		0,029		0
			7
			897,89			538,73
Пij	8450,68		10926,1			7308,68			Розміщення інформації в осередку таблиці δijCij
∆Пij	0		8307,02			7308,68			Xij Pij
Sб	0,027		0,045			0

Висновок: В результаті розрахунків перший вантажопотік розподіляється між 1 та 2 причальним комплексом і складає 7,84 та 0,16 млн. т. відповідно. Другий вантажопотік йде на третій причальний комплекс і складає 2 млн. т. Третій вантажопотік йде на другий причальний комплекс і складає 7 млн.т. Резерв пропускної здатності другого комплексу складає – 8307,02 т/доб, а третього – 4794,58 т/доб. Витрати на обробку вантажів – 472,6 тис.дол. Отже, для розв’зку задачі у даній постановці необхідно прийняти низку управлінських рішень.