3.Знаходження оптимального плану роботи флоту і оптимальних схем руху суден

Таблиця 3.1. Перехід від двухіндексной до одноіндексной нумерації змінних

х11	х12	х13	х14	х15	х21	х22	х23	х24	х25	х31	х32	х33	х34	х35	Знак	Праві частини обмежень
х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10	х11	х12	х13	х14	х15
7				7	11				11	3				3		800
7			7		10			10		4			4			550
	6		6			11		11			3		3			600
	6	6	6			10	10	10			4	4	4			850
62	65	27	80	47											=	1825
					60	66	26	81	45						=	1460
										65	70	27	85	50	=	1095
186,2	155,4	67,2	258,3	98	280	273,7	112	399,7	154	92,4	88,9	44,8	139,3	42	→	max

Запишемо математичну модель в координатної формі з використанням конкретних числових даних:

Цільова функція:

Z=186,2*x1+155,4*x2+67,2*x3+258,3*x4+98*x5+280*x6+273,7*x7+112*x8+399,7*x9+154*x10+92,4*x11+88,9*x12+44,8*x13+139,3*x14+42*x15 – max

Обмеження:

7*x1+7*x5+11*x6+11*x10+3*x11+3*x15 800;

7*x1+7*x4+10*x6+10*x9+4*x11+4*x14 550;

6*x2+6*x4+11*x7+11*x9+3*x12+3*x14 600;

6*x2+6*x3+6*x4+10*x7+10*x8+10*x9+4*x12+4*x13+4 *x14 850;

62*x1+65*x2+27*x3+80*x4+47*x5=1825

60*x6+66*x7+26*x8+81*x9+45*x10=1460

65*x11+70*x12+27*x13+85*x14+50*x15=1095

x_ij 0 ( і = 1,3 ; j = 1,5)

Перейдемо від завдання в стандартній формі до завдання в канонічній формі (перетворимо нерівності в рівняння за допомогою додаткових змінних):

Цільова функція:

Z=186,2*x1+155,4*x2+67,2*x3+258,3*x4+98*x5+280*x6+273,7*x7+112*x8+399,7*x9+154*x10+92,4*x11+88,9*x12+44,8*x13+139,3*x14+42*x15+0*x16+0*x17+0*x18+0*x19 – max

Обмеження:

7*x1+7*x5+11*x6+11*x10+3*x11+3*x15+x16 800;

7*x1+7*x4+10*x6+10*x9+4*x11+4*x14+x17 550;

6*x2+6*x4+11*x7+11*x9+3*x12+3*x14+x18 600;

6*x2+6*x3+6*x4+10*x7+10*x8+10*x9+4*x12+4*x13+4 *x14+x19 850;

62*x1+65*x2+27*x3+80*x4+47*x5=1825

60*x6+66*x7+26*x8+81*x9+45*x10=1460

65*x11+70*x12+27*x13+85*x14+50*x15=1095

xij 0 ( і = 1,3 ; j = 1,5)

Позначаємо вектори умов :

А₁= А₂= А₃= А₄= А₅= А₆= А₇= А₈= А₉= А₁₀= А₁₁= А₁₂= А₁₃= А₁₄= А₁₅= А₁₆= А₁₇= А₁₈= А₁₉=

Дана система обмежень не містить потрібних для побудови базису (m + n) одиничних векторів - умов. Застосуємо метод штучного базису та перейдемо від початкового завдання до розширеної шляхом введення штучних змінних x20, x21 і x22.

Цільова функція:

Z=186,2*x1+155,4*x2+67,2*x3+258,3*x4+98*x5+280*x6+273,7*x7+112*x8+399,7*x9+154*x10+92,4*x11+88,9*x12+44,8*x13+139,3*x14+42*x15+0*x16+0*x17+0*x18+0*x19 – M*x20-M*x21-M*x22– max

Обмеження:

7*x1+7*x5+11*x6+11*x10+3*x11+3*x15+x16 800;

7*x1+7*x4+10*x6+10*x9+4*x11+4*x14+x17 550;

6*x2+6*x4+11*x7+11*x9+3*x12+3*x14+x18 600;

6*x2+6*x3+6*x4+10*x7+10*x8+10*x9+4*x12+4*x13+4 *x14+x19 850;

62*x1+65*x2+27*x3+80*x4+47*x5+x20=1825

60*x6+66*x7+26*x8+81*x9+45*x10+x21=1460

65*x11+70*x12+27*x13+85*x14+50*x15+x22=1095

xij 0 ( і = 1,3 ; j = 1,5)

Ми отримали 7 одиничних векторів необхідних для побудови базису:

А₁₆= А₁₇= А₁₈= А₁₉= А₂₀= А₂₁= А₂₂= B=

Обчислимо значення базисних змінних. Тоді вихідний опорний план розширеної задачі такий:

X= (x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=0; x6=0; x7=0; x8=0; x9=0; x10=0; x11=0; x12=0; x13=0; x14=0; x15=0; x16=800; x17=550; x18=600; x19=850; x20=1825; x21=1460; x22=1095).

Складемо симплекс-таблицю для вихідного опорного плану розширеної задачі (табл.3.2)

№	Базис	Сб	В	186,2	155,4	67,2	258,3	98	280	273,7	112	399,7	154	92,4	88,9	44,8	139,3	42	0	0	0	0	-M	-M	-M
				А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9	А10	А11	А12	А13	А14	А15	А16	А17	А18	А19	А20	А21	А22
1	A16	0	800	7	0	0	0	7	11	0	0	0	11	3	0	0	0	3	1	0	0	0	0	0	0
2	A17	0	550	7	0	0	7	0	10	0	0	10	0	4	0	0	4	0	0	1	0	0	0	0	0
3	A18	0	600	0	6	0	6	0	0	11	0	11	0	0	3	0	3	0	0	0	1	0	0	0	0
4	A19	0	850	0	6	6	6	0	0	10	10	10	0	0	4	4	4	0	0	0	0	1	0	0	0
5	A20	-M	1825	62	65	27	80	47	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
6	A21	-M	1460	0	0	0	0	0	60	66	26	81	45	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
7	A22	-M	1095	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	65	70	27	85	50	0	0	0	0	0	0	1
m+1	Zj -Cj		0	-186,2	-155,4	-67,2	-258,3	-98	-280	-273,7	-112	-399,7	-154	-92,4	-88,9	-44,8	-139,3	-42	0	0	0	0	0	0	0
m+2			-4380	-62	-65	-27	-80	-47	-60	-66	-26	-81	-45	-65	-70	-27	-85	-50	0	0	0	0	0	0	0

План в табл. 3.2 неоптимальний, тому що є негативні оцінки, а завдання на максимум. Оптимальний план знаходимо за допомогою MS Excel

Ввівши всі обмеження, отримуємо оптимальний план завдання:

Р ис. 3.1 Оптимальний розв’язок задачі

x₁=x₁₁=0

x₂=x₁₂=0

x₃=x₁₃=0

x₄=x₁₄=22,8125

x₅=x₁₅=0

x₆=x₂₁=0

x₇=x₂₂=0

x₈=x₂₃=0

x₉=x₂₄=18,02469

x₁₀=x₂₅=0

x₁₁=x₃₁=0

x₁₂=x₃₂=0

x₁₃=x₃₃=40,5

x₁₄=x₃₄=0

x₁₅=x₃₅=0

z=14913,83

Економічний сенс отриманих даних:

x₁₁=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 1-го типу на 1-й схемі.

x₁₂=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 1-го типу на 2-й схемі.

x₁₃=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 1-го типу на 3-й схемі.

x₁₄=23 - кількість рейсів, які були виконані суднами 1-го типу на 4-й схемі.

x₁₅=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 1-го типу на 5-й схемі.

x₂₁=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 2-го типу на 1-й схемі.

x₂₂=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 2-го типу на 2-й схемі.

x₂₃=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 2-го типу на 3-й схемі.

x₂₄=18 - кількість рейсів, які були виконані суднами 2-го типу на 4-й схемі.

x₂₅=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 2-го типу на 5-й схемі.

x₃₁=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 3-го типу на 1-й схемі.

x₃₂=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 3-го типу на 2-й схемі.

x₃₃=41 - кількість рейсів, які були виконані суднами 3-го типу на 3-й схемі.

x₃₄=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 3-го типу на 4-й схемі.

x₃₅=0 - кількість рейсів, які були виконані суднами 3-го типу на 5-й схемі.

Z=14914 - максимальний дохід в інвалюті при роботі суден за схемами.

В результаті рішення задачі отримали оптимальні схеми руху.