Системы счисления

1. Дайте определение системе счисления. Что такое основание системы счисления? Что такое разряд позиционной системы счисления? Перечислите известные вам системы счисления и укажите их основания. Опишите принцип работы непозиционной системы счисления. Опишите принцип работы позиционной системы счисления.

Система счисления — это метод представления чисел с использованием символов (цифр) и правил для их комбинирования. Основание системы счисления — это количество уникальных цифр, используемых в системе. Например, в десятичной системе основание - 10, потому что используются цифры от 0 до 9. Разряд позиционной системы счисления — это позиция цифры в числе, которая определяет её вес. Например, в числе 326, 3 - сотни, 2 - десятки, 6 - единицы. Некоторые системы счисления и их основания:

• Десятичная (основание 10): 0, 1, 2, ..., 9.

• Двоичная (основание 2): 0, 1.

• Восьмеричная (основание 8): 0, 1, 2, ..., 7.

• Шестнадцатеричная (основание 16): 0, 1, 2, ..., 9, A, B, ..., F (где A-F представляют 10-15).

Принцип работы непозиционной системы счисления: Каждая цифра имеет фиксированный вес, независимо от своей позиции. Например, римская. Принцип работы позиционной системы счисления: Значение цифры зависит от её места в числе. Мы умножаем каждую цифру на определенную степень основания и складываем результаты, чтобы получить общее значение числа.

2. Приведите пример перевода числа из одной системы счисления в другую. В чем разница между двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системами счисления? В чем преимущество использования шестнадцатеричной системы счисления при работе с двоичными данными? В чем особенность двоичной системы счисления и почему она часто используется в компьютерной технике?

Пример перевода числа: Допустим, у нас есть число в десятичной системе - 27. Чтобы перевести его в двоичную систему, мы делим 27 на 2 и записываем остатки в обратном порядке. 27 в двоичной системе будет 11011.

Разница между системами счисления:

• Двоичная (основание 2): использует только две цифры (0 и 1).

• Десятичная (основание 10): использует десять цифр (0-9).

• Шестнадцатеричная (основание 16): использует шестнадцать цифр (0-9 и A-F, где A-F представляют 10-15).

Преимущество шестнадцатеричной системы: Каждые четыре символа двоичной системы можно перевести в один символ шестнадцатеричной системы. Шестнадцатеричная система помогает представлять большие двоичные данные компактно. Это удобно в программировании и компьютерах, где она упрощает визуальный анализ и редактирование данных.

Особенность двоичной системы: Компьютеры используют двоичную систему, потому что электронные устройства легче работают с двумя стабильными состояниями (0 и 1). Это делает обработку информации в компьютерах более эффективной.

3. Как выполняется сложение и вычитание чисел в двоичной системе счисления с использованием логических вентилей? Как выполняется умножение и деление чисел? Приведите пример использования систем счисления в вычислительной технике.

Сложение в двоичной системе с использованием логических вентилей: Сложение в двоичной системе выполняется поразрядно. Полусумматор: исключающее ИЛИ используется для получения суммы, И – для переноса. Далее из двух полусумматоров и элемента ИЛИ составляют однобитный сумматор. Соединение однобитных сумматоров позволяет складывать числа различной величины.

Вычитание в двоичной системе с использованием логических вентилей: Для вычитания в двоичной системе используют запись отрицательного числа в дополнительном коде, что позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения.

Умножение в двоичной системе: Умножение в двоичной системе реализуется с помощью однобитных сумматоров и вентилей И. Умножение происходит аналогично умножению в столбик в десятичной системе, где элемент И используется для умножения однобитных чисел.

Деление в двоичной системе: Для реализации деления на 2 может быть использован битовый сдвиг числа. Применение логических вентилей для автоматизации деления встречается реже из-за сложности операции.

Пример использования в вычислительной технике: В компьютерах числа представлены и обрабатываются в двоичной системе, что делает электронные вычисления более эффективными. В арифметическо-логических блоках и регистрах процессора, таких как ALU, используется двоичная система счисления для операций.

4. Что такое логический сдвиг, арифметический сдвиг и циклический сдвиг? В чем между ними разница. Приведите примеры этих сдвигов? Каков арифметический смысл сдвигов?

*арифметический сдвиг влево = логический сдвиг влево

Логический сдвиг: перемещает биты без учета знака. (на пустое место подставляется 0) Пример влево: 00101010 становится 01010100.

Арифметический сдвиг: сохраняет знак числа при сдвиге вправо. (первая цифра не меняется) Пример вправо: 11011010 (отрицательное) становится 11110110.

Циклический сдвиг: выталкиваемые биты появляются с противоположной стороны. Пример влево: 10100100 становится 01001001.

Арифметический смысл сдвигов: Арифметические сдвиги эквивалентны делению и умножению на степени двойки, что полезно в компьютерных операциях. Например: арифметический сдвиг вправо на один бит соответствует делению на 2, а арифметический сдвиг влево на один бит - умножению на 2.

5. Опишите принцип перевода целого и дробного числа из двоичной системы счисления в другие. Опишите принцип перевода целого и дробного числа десятичной системы счисления в двоичную.

Перевод целого числа из двоичной системы в десятичную. Умножаем каждую цифру на 2 в степени, соответствующей её позиции, и складываем результаты.

Перевод целого числа из десятичной в двоичную. Делаем деление на 2 с записью остатков, затем читаем остатки в обратном порядке.

Перевод дробного числа из двоичной системы в десятичную. Аналогично целому числу, только умножаем каждую цифру после десятичной точки на степени 2 с отрицательными показателями.

Из десятичной в двоичную. Переводим целую и дробную части отдельно, для перевода дробной части умножаем её на 2 и записываем целую часть произведения (0 или 1), затем повторяем тоже самое для дробной части получившегося произведения.

0,0011

6. Перечислите степени двойки до 10ой степени. Опишите быстрый способ перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную, в шестнадцатеричную.

Степени двойки: 2⁰=1 2¹=2 2²=4 2³=8 2⁴=16 2⁵=32 2⁶=64 2⁷=128 2⁸=256 2⁹=512 2¹⁰=1024

Быстрый способ перевода из двоичной в десятичную: Сложить двойки в степенях позиций, на которых стоит 1 в двоичной системе. 3 2 1 0 1101₂=2³+2²+2⁰=8+4+1=13

Быстрый перевод из двоичной в шестнадцатеричную: Поделить число в двоичной системе по четыре цифры, начиная справа, каждую четвёрку перевести в одну цифру шестнадцатеричной системы. 101101₂ -> 0010 1101 -> 2D₁₆

0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

Логика

1. Теория множеств: основные определения и логические операции над множествами. Что такое диаграмма Эйлера? Как обозначаются основные логические операции с помощью диаграммы Эйлера?

Основные определения в теории множеств:

• Множество: Совокупность каких-либо элементов.

• Элемент множества: Одна из составляющих множества входящих в него величин.

• Пустое множество: Множество, не содержащее элементов.

• Мощность множества: Количество элементов в множестве.

• Универсальное множество: множество содержащие все возможные элементы.

Логические операции над множествами:

Диаграмма Эйлера — графическое представление множеств и их отношений с использованием окружностей, пересекающихся или не пересекающихся.

Обозначение логических операций с помощью диаграммы Эйлера

2. Что такое булевы функции? Что такое таблицы истинности? Взаимосвязь между булевой функцией и таблицей истинности. Как составить таблицу истинности для формулы логики? Как рассчитать количество строк в таблице истинности для заданной формулы логики?

Булевая функция — это функция, которая принимает булевы значения (истина или ложь) в качестве входных данных и возвращает булевое значение в качестве результата. Она описывается с использованием логических операций, таких как И, ИЛИ, НЕ, и других.

Таблицы истинности — это таблицы, отображающие все входные комбинации и результаты булевых функций.

Взаимосвязь между булевой функцией и таблицей истинности: Каждая строка в таблице истинности представляет комбинацию входов и результат соответствующей булевой функции.

Составление таблицы истинности:

• Определите переменные.

• Рассмотрите все комбинации булевых значений переменных.

• Примените булеву функцию для каждой комбинации.

Расчет количества строк в таблице истинности: Если есть n переменных, каждая из которых может принимать два значения (истина или ложь), то общее количество строк в таблице истинности будет 2ⁿ.

3. Булева алгебра: основные определения. Операция конъюнкции и дизъюнкции, их свойства. Операция отрицания, импликации и эквивалентности, их свойства. Представление булевых функций в виде логических выражений и таблиц истинности.

4. Что такое минимизация логических функций? Минимизация булевых функций с использованием карт Карно. Что такое ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма)? Что такое КНФ (конъюнктивная нормальная форма)?

Минимизация логических функций — процесс упрощения булевых выражений для более эффективной работы в цифровых системах.

Минимизация булевых функций с использованием карт Карно: Карты Карно — графический способ представления булевых функций с целью их удобной и наглядной ручной минимизации.

ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма) — представление булевой функции в виде суммы произведений литералов (дизъюнкция простых конъюнкций).

КНФ (конъюнктивная нормальная форма) — представление булевой функции в виде произведения сумм литералов (конъюнкция простых дизъюнкций).

5. Применение булевой алгебры для проектирования цифровых схем. Использование булевых функций для представления переключательных функций. Что такое логический вентиль? Какие логические вентили вы знаете и как они работают? Нарисуйте обозначения основных логических вентилей и их таблицу истинности. Что такое цифровая логическая схема?

Применение булевой алгебры в цифровых схемах В булевой алгебре переменные принимают два значения, так и в цифровых схемах существует два состояния: высокое напряжение и низкое напряжение. Это позволяет реализовывать логические функции в цифровых схемах.

Использование булевых функций для переключательных функций: (?) Булевы функции представляют логические условия в цифровых схемах.

Логический вентиль — устройство, выполняющее логическую операцию в соответствии с булевой алгеброй.

Логический вентиль	Обозначение	Таблица истинности
НЕ (отрицание)
И (конъюнкция)
ИЛИ (дизъюнкция)
Исключающее ИЛИ (строгая дизъюнкция)

(можно добавить элементы НЕ-И и НЕ-ИЛИ)

Цифровая логическая схема — комбинация логических вентилей для выполнения определенной функции в цифровой форме (например, сумматор, дешифратор или мультиплексор).

6. Что такое СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) и когда она используется? Что такое СКНФ (совершенная конъюнктивная нормальная форма) и когда она используется? В чем отличие СКНФ от КНФ, а СДНФ от ДНФ? В каких случаях используются СДНФ и СКНФ?

СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) — частный случай ДНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям:

• в ней нет одинаковых слагаемых

• в каждом слагаемом нет повторяющихся переменных

• каждое слагаемое содержит все переменные, от которых зависит булева функция

(в таблице истинности берутся строки, где функция равна 1)

СКНФ (совершенная конъюнктивная нормальная форма) — частный случай КНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям:

• в ней нет одинаковых множителей

• в каждом множителе нет повторяющихся переменных

• каждый множитель содержит все переменные, от которых зависит булева функция

(в таблице истинности берутся строки, где функция равна 0)

Отличие СДНФ и СКНФ от ДНФ и КНФ (?) Совершенные формы (СКНФ и СДНФ) включают в себя все возможные комбинации переменных для обеспечения полноты, в то время как обычные формы (КНФ и ДНФ) могут быть неполными или избыточными.

Использование: Каждую функцию можно представить в виде СКНФ и СДНФ, и для каждой функции существует только одна СКНФ и только одна СДНФ. СДНФ и СКНФ представляют логическую функцию в виде простой и понятной формы, что упрощает анализ и понимание ее свойств и поведения. Формы легко построить из таблицы истинности и можно использовать для реализации логических схем.

7. Определение логической функции от двух переменных. Построение таблиц истинности для всех логических функций от двух переменных. Опишите основные логические операции данной таблицы.

8. Какие есть методы минимизации логических выражений? Минимизация логических функций с использованием карты Карно. Алгоритм построения карты Карно и ее использование для минимизации логических функций.

Методы минимизации логических выражений

• Алгебраический метод: Использует законы алгебры логики для упрощения выражений.

• Метод карты Карно: Основан на графическом представлении булевых функций в виде таблицы, где соседние клетки представляют логически связанные термы.

Минимизация логических функций с использованием карты Карно Построение карты Карно:

• Создание таблицы, в которой каждая ячейка представляет комбинацию значений переменных и соответствующее значение функции.

• Группировка термов: Объединение соседних ячеек с единицами в группы, которые представляют логически связанные термы.

• Построение минимизированного выражения: Использование групп для записи минимизированного выражения, где каждая группа представляет один терм.

Алгоритм построение карты Карно и её использования для минимизации:

9. Какие основные логические элементы вы знаете? Постройте таблицу логических функций от двух переменных и обозначьте их название, и нарисуйте соответствующий логический вентиль.

Логическая функция	Обозначение	Таблица истинности
НЕ (отрицание)
И (конъюнкция)
ИЛИ (дизъюнкция)
Исключающее ИЛИ (строгая дизъюнкция)
И-НЕ
ИЛИ-НЕ

10.Что такое таблица истинности и как ее использовать для описания работы логического элемента? Что такое логический вентиль и как он работает? Какие типы логических вентилей вы знаете?

Таблица истинности — это таблица, которая показывает, как логический элемент (или функция) ведет себя для разных комбинаций входных значений, указывая соответствующие выходные результаты.

Логический вентиль — это электронное устройство, которое принимает логические сигналы на входе, выполняет операцию (например, И, ИЛИ, НЕ) и выдает соответствующий результат на выходе.

Типы логических вентилей:

• И (AND): возвращает 1, только если оба входа равны 1.

• ИЛИ (OR): возвращает 1, если хотя бы один из входов равен 1.

• НЕ (NOT): инвертирует входной сигнал (меняет 1 на 0 и наоборот).

• Исключающее ИЛИ (XOR): возвращает 1, если количество входов, равных 1, нечетно.

• И-НЕ (NAND): Инвертированная версия И - возвращает 0 только в случае, если оба входа равны 1.

• ИЛИ-НЕ (NOR): Инвертированная версия ИЛИ - возвращает 0, если хотя бы один из входов равен 1.

11.Что такое комбинационная логика и как она работает? В чем отличие комбинационной логики от последовательной? Приведите примеры комбинационной логики и последовательной

Комбинационная логика:

• Определение: выходы зависят только от текущих входов, без состояния и обратной связи.

• Принцип работы: мгновенно реагирует на входы, без памяти.

• Примеры: дешифраторы, мультиплексоры.

Последовательная логика:

• Определение: выходы зависят от текущих входов и предыдущего состояния.

• Принцип работы: включает элементы с памятью (триггеры, регистры).

• Примеры: триггеры, регистры, счетчики.

Отличие от последовательной логики

Комбинационная логика	Последовательная логика
Выходы моментально зависят от текущих входов.	Выходы зависят от текущих входов и предыдущего состояния.
Память или состояние отсутствуют.	Присутствуют элементы с памятью

12.Что такое логический базис функции? Какие базисы существуют? Как преобразовать логическую схему из одного базиса в другую?

Логический базис функции — минимальный набор логических функций для построения любых других функций.

Типы базисов:

• {И, ИЛИ, НЕ} (не является минимальным, избыточный базис)

• Из двух функций: {НЕ, ИЛИ}, {НЕ, И}

• Из одной функции: {НЕ-ИЛИ (стрелка Пирса)}, {НЕ-И (штрих Шеффера)}

Преобразование между базисами: Используя законы алгебры логики, можно перейти от одного базиса к другому. Например, из базиса {И, ИЛИ, НЕ} можно перейти к базису {НЕ-И} или {НЕ-ИЛИ} с помощью двойного отрицания и законов де Моргана.

13. Дайте определение алгебры логики (булевой алгебры). Перечислите основные законы алгебры логики. Как можно использовать законы алгебры логики для минимизации логических схем?

Логические схемы представляют в виде логических функции, чтобы, используя законы алгебры логики, сократить функцию и затем составить новую более простую схему.

14.Сформулируйте закон двойного отрицания. Сформулируйте законы коммутативности и ассоциативности для логического “И” и “ИЛИ”. Сформулируйте законы дистрибутивности. Сформулируйте правила де Моргана. Сформулируйте правило поглощения.

15.Что такое функциональное устройство? Какие функции оно может выполнять? Что такое комбинационная логика? Какие этапы создания комбинационного функционального устройства существуют?

Функциональное устройство — это система, выполняющая определенные функции по заданным правилам.

Функции функционального устройства:

• Обработка данных: Выполнение операций над входными данными.

• Генерация сигналов: Создание выходных сигналов из входных данных.

• Принятие решений: Определение последовательности действий на основе входных условий.

Комбинационная логика — часть цифровой логики, где выход зависит только от текущих входов без состояния.

Этапы создания:

• Выбор базиса.

• Представление функции в виде таблицы истинности или совершенно нормальной формы.

• Минимизация функции.

• Перевод функции в базис, в котором будет строиться схема.

• Составление схемы на элементах базиса.

16.Что такое минимизация функции? Какие методы минимизации функций существуют? Что такое карта Карно? Для чего она нужна? Как она составляется? Приведите пример составления карты Карно по таблице истинности?

Минимизация функции — это процесс упрощения логической функции с сохранением её функциональности.

Методы минимизации функций:

• Алгебраический метод: использует законы алгебры логики для упрощения выражений.

• Метод карты Карно: основан на графическом представлении булевых функций в виде таблицы, где соседние клетки представляют логически связанные термы.

Карта Карно используется для:

• Минимизации логических функций: облегчает создание минимального логического выражения.

• Оптимизации логических схем: помогает разрабатывать более компактные и эффективные цифровые устройства.

• Анализа и синтеза комбинационных схем: позволяет лучше понять взаимосвязи входных и выходных переменных в цифровых устройствах.

Составление карты Карно

17.Что такое СДНФ и СКНФ чем они отличаются от ДНФ и КНФ? Как формируются СДНФ и СКНФ по таблице истинности? Как составляются ДНФ и КНФ? Что значит привести к базису И-НЕ, ИЛИ-НЕ? Что такое стрелка Пирса и штрих Шеффера?

СДНФ (совершенная дизъюнктивная нормальная форма) — частный случай ДНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям:

• в ней нет одинаковых слагаемых

• в каждом слагаемом нет повторяющихся переменных

• каждое слагаемое содержит все переменные, от которых зависит булева функция

СКНФ (совершенная конъюнктивная нормальная форма) — частный случай КНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям:

• в ней нет одинаковых множителей

• в каждом множителе нет повторяющихся переменных

• каждый множитель содержит все переменные, от которых зависит булева функция

Отличие СДНФ и СКНФ от ДНФ и КНФ (?) Совершенные формы (СКНФ и СДНФ) включают в себя все возможные комбинации переменных для обеспечения полноты, в то время как обычные формы (КНФ и ДНФ) могут быть неполными или избыточными.

Формирование СДНФ и СКНФ:

• СДНФ: составляется, группируя строки таблицы истинности с единицами.

• СКНФ: составляется, группируя столбцы таблицы истинности с нулями.

Формирование ДНФ и КНФ: Форма СДНФ или СКНФ минимизируется алгебраическим методом или методом карт Карно.

Привести к базису И-НЕ, ИЛИ-НЕ: Это означает, что любая логическая функция может быть представлена с использованием только операций И-НЕ (стрелка Пирса) или ИЛИ-НЕ (штрих Шеффера).