Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Mechanics-10

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
286.44 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет

им. П. Г. Демидова

В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,

В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова

Лабораторная работа № 10

Маятник Обербека.

Ярославль 2013

Лабораторная работа № 10.

Маятник Обербека1

Цель работы:

изучение динамики вращательного движения;

проверка второго закона Ньютона для вращательного движения.

Оборудование:

лабораторная установка “Маятник Обербека” (2 варианта);

набор грузов фиксированной массы;

штангенциркуль.

10.1. Краткая теория

В работе изучается динамика вращательного движения. В частности, экспериментально проверяется уравнение моментов для вращения вокруг неподвижной оси:

Jε = Mвнеш.

(10.1)

где J – момент инерции тела; ε – угловое ускорение; Mвнеш – сумма проекций на ось вращения

моментов внешних сил.

На рис. 10.1 схематически показан прибор, с помощью которого удобно исследовать уравнение (10.1). Он называется маятником Обербека. Маятник состоит из четырёх стержней, укреплённых на втулке под прямым углом друг к другу. Втулка и два шкива различных радиусов (r1 и r2) насаже-

ны на общую ось. Ось закреплена в подшипниках, так что вся система может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. Момент инерции крестовины прибора можно менять, передвигая закреплённые на стержнях цилиндрические грузы известной массы. Один конец нити прикреплён к шкиву, а ко второму концу, переброшенному через блок, подвешена платформа с грузами известной массы.

Если, намотав нить на шкив, приподнять платформу с грузом P на высоту h, а затем отпустить, позволив ей свободно падать, то на маховик начнёт действовать вращающий момент M:

M = T r =

T d

.

(10.2)

2

 

 

 

где r – радиус, а d – диаметр шкива, T – сила натяжения нити.

Под действием этого постоянного момента маховик начинает вращаться с угловым ускорением ε. Очевидно, что вращение маховика и поступательное движение платформы с грузом происходит

за счёт потенциальной энергии нагруженной платформы. Если не учитывать потерю энергии вследствие трения в подшипниках осей маховика и блока, то можно считать, что потенциальная энергия

1Ранее данная работа имела номер 7.

1

10.1. Краткая теория

2

 

 

Wп полностью переходит в кинетическую энергию поступательного движения платформы с грузом Wки кинетическую энергию вращения маховика Wк′′. В момент, когда платформа опустится с высоты h,

Wп = Wк+ Wк′′.

 

 

mгV 2

 

(10.3)

mгgh =

 

+

 

,

 

 

2

2

 

 

где J – момент инерции маятника, mг – масса платформы с грузом, g – ускорение свободного падения, V – скорость поступательного движения платформы (скорость на поверхности шкива), ω

– угловая скорость вращения маятника (шкива).

 

Формулу (10.3) можно преобразовать, поль-

 

зуясь связью между угловой и линейной скоро-

 

стями:

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

2V

 

 

 

 

 

ω =

 

=

 

 

.

 

 

(10.4)

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

Подставляя (10.4) в (10.3), находим:

 

 

mгgh =

mгV 2

 

 

 

2JV

2

 

(10.5)

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J =

 

mгd2(2gh − V 2)

.

 

(10.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

4V

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Движение платформы с грузом равноуско-

 

ренное и, следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = at =

 

 

2h

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

где a – ускорение платформы с грузом.

 

 

Подставив последнее выражение в форму-

 

лу (10.6), получаем окончательную расчётную

 

формулу для определения момента инерции ма-

 

ятника:

 

 

mгd2

 

gt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J =

 

 

 

 

 

 

− 1 .

(10.7)

 

4

 

 

2h

 

Чтобы вывести формулу для вычисления

 

момента силы M, запишем второй закон Нью-

 

тона для груза P (платформа с грузом):

 

Рис. 10.1. Маятник Обербека

mгa = mгg − T.

 

 

(10.8)

 

 

 

где m – масса платформы с грузом, a – её ускорение.

Из уравнений (10.2) и (10.8) получаем, что момент силы натяжения нити:

M = T r = mг(g − a)r.

(10.9)

Ускорение a связано с угловым ускорением ε соотношением:

ε =

a

.

(10.10)

 

 

r

 

Кроме того на маятник действует момент сил трения в подшипниках оси Mтр. С учётом этого

уравнения (10.1) примет вид:

a

(10.11)

mг(g − a)r − Mтр = J r .

Формула (10.11) дает связь между ускорением a, которое можно измерить опытным путем, и моментом инерции J. В уравнение (10.11) входит ускорение a платформы. Это ускорение можно

довольно просто определить.

Действительно, измеряя время t, в течении которого платформа с грузом опускается на расстояние h, можно найти ускорение a:

a =

2h

.

(10.12)

 

 

t2

 

10.1. Краткая теория

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

g − t2

r − Mтр = 2t2 r .

(10.13)

mг

 

 

2h

 

h

 

 

В формулу (10.13) входит неизвестная величина – момент силы трения Mтр. Хотя, интуитивно

понятно, что момент силы трения мал, тем не менее он не настолько мал, чтобы в формуле (10.9) им можно было пренебречь. Если положить Mтр = 0, то можно убедиться, что результаты опыта

будут отличаться от зависимости (10.9). Можно по порядку величины экспериментально определить Mтр и это нужно, конечно, сделать в начале работы. Для этого, с помощью нескольких грузов, увеличивая силы натяжения T нити, найдите минимальное значение m, при котором маятник начнёт вращаться. Дальнейшие измерения нужно проводить с грузами массой mг > 10m. На

первый взгляд относительную роль момента силы трения можно уменьшить, если взять грузы массой mг m, допустим, груз mг = 102m. Однако это не так по двум причинам. Первая

– увеличение массы груза приводит к увеличению силы давления N на ось, а значит и к росту момента силы трения Mтр = fNr, где f – коэффициент трения, r – плечо силы трения.

Вторая причина состоит в том, что увеличение m уменьшает время падения t, а значит, ухудшает точность измерения ускорения a.

По найденным значениям моментов инерции J1 и J2 и моментов сил M1 и M2 можно, исходя из

основного уравнения вращательного движения, найти соответствующее значение угловых ускорений ε1 и ε2. С другой стороны угловые ускорения ε1 и ε2 можно найти и другим путём, исходя из

чисто кинематических соображений, а именно, из (10.10) и (10.12):

ε =

a

=

 

2h

.

(10.14)

r

 

 

 

rt2

 

Найденные опытным путём значения моментов инерции маховика можно сравнивать с их значениями, вычисленные по общеизвестным формулам. Момент инерции маховика равен сумме моментов составных частей – крестовины, состоящей из четырех стержней и насаженных на неё четырёх цилиндров:

J = Jкрест + 4Jцил = 4J+ 4Jцил,

 

 

 

 

 

 

mстLст2

 

 

 

 

J

=

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

mцил

 

2

2

2

2

 

Jцил =

 

H

 

+ 3(r1

+ r2 )

+ mцилb

,

2

 

где: b – расстояние от риски, нанесённой на стержне крестовины до оси вращения, H – высота цилиндра, r1 – внешний радиус цилиндра, r2 – внутренний радиус цилиндра.

Поскольку вывод формулы (10.7) производился в предположении что потеря энергии на преодоление сил трения пренебрежимо мала, значение моментов инерции, найденных на опыте, несколько превышает расчётные, Jэксп > Jрасч:

J = 4mст

3 +

2

+ 4mцил

12 +

4

+ b

.

(10.15)

 

Lст2

Rст2

 

Lцил2

rцил2

 

2

 

где b – расстояние от оси вращения до грузов на крестовине, mцил – масса одного груза на крестовине, Lст – длина стержня крестовины, Rст - радиус стержня, mст - масса стержня без груза, rцил – радиус цилиндрического груза на крестовине, Lцил – образующая цилиндрического груза, d

- диаметр втулки.

Представляет интерес экспериментально исследовать две зависимости.

Первая – зависимость углового ускорения ε от момента силы тяжести Mвнеш = mgr при условии, что момент инерции J остаётся постоянным.

Если на оси ординат откладывать угловое ускорение ε, а на оси абсцисс – mgr, то, согласно

(10.10), экспериментальные точки должны ложиться на прямую. Из (10.11) видно, что наклон этой прямой равен J1 , а точка пересечения с осью абсцисс даёт Mтр.

Если экспериментальные данные подтверждают линейную зависимость ε от mgr, то, можно приступить к изучению второй зависимости – момента инерции J от расстояния R грузов mцил до

оси вращения маятника.

Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера J(R) = J0 + 4mцилR2.

Выясним, как проверить эту зависимость экспериментально. Для этого преобразуем соотношение (10.11), пренебрегая в нём малой величиной (моментом силы трения Mтр) по сравнению с моментом mgr.

10.1. Краткая теория

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (10.10) и (10.11) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε =

a

 

=

mг(g − a)r − Mтр

=

 

 

mгgr

 

.

(10.16)

 

 

 

J0 + 4mцилR2

 

 

 

r

 

 

J

 

 

 

 

 

Следовательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

J0 + 4mцилR2

 

J0

 

 

mцилR2

 

 

(10.17)

 

 

=

 

 

 

=

 

 

+ 4

 

.

 

 

 

 

mгr2

mгr2

mгr2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (10.17) понятно, как экспериментально проверить зависимость (10.17): нужно, выбрав постоянную массу mг груза, измерять ускорение a при различных положениях R грузов mцил на спицах. Результаты измерений удобно изобразить в виде точек на координатной плоскости XOY , где х = (R/r)2, y = g/a.

Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую, то это подтверждает зависимость (10.17), а значит и формулу J(R) = J0 + 4mцилR2.

Отметим, что при выводе формулы (10.17) мы пренебрегли моментом сил трения, т.е. считали, что Mтр mgr. Значение Mтр получено из графика зависимости ε от mgr при R = const. Это и позволяет выбрать массу перегрузка так, что неравенство mgr Mтр заведомо выполняется.

Роль момента сил трения можно оценить и иначе. Для этого заметим, что если маятник в начальный момент вращается с угловой скоростью ω0, то к моменту остановки он повернётся на

угол φ, определяемый из соотношения

 

 

o2

(10.18)

 

 

= Aтр = Mтрφ,

2

 

 

2

где 2 O – начальная кинетическая энергия вращающегося маятника, Aтр – работа сил трения. В

(10.18) предполагается, что момент сил трения является постоянной величиной и связан с угловым ускорением соотношением:

0 = Mтр,

(10.19)

где ε0 – ускорение, определяемое только моментом сил трения.

 

Из (10.18) и (10.19) находим:

 

ω02 = 2ε0φ.

(10.20)

Пусть n – полное число оборотов, которое делает маятник до остановки, а T0 – период вращения

маятника в начале движения. Тогда φ = 2pn, ω0 =

2p

и из (10.21) получаем

 

 

 

T0

 

 

ε0 =

 

p

.

(10.21)

 

nT02

Отсюда ясно, как на опыте определить ε0: нужно измерить время T0, за которое совершается первый оборот, и полное число n оборотов маятника до остановки. Во всех дальнейших измерениях нужно следить, чтобы выполнялось неравенство ε0 ε.

10.2. Описание экспериментальных установок

5

 

 

10.2.Описание экспериментальных установок

!!!Перед запуском установок необходимо убедиться, что грузы на крестовине хорошо закреплены и в зоне ее вращения отсутствуют люди. При наматывании нити следите за тем, чтобы она не попадала под сердечник крестовины. Категорически запрещается вращать крестовину при заблокированном тормозе, т. к. это выводит тормозной механизм из строя.

10.2.1. Установка с вертикальной крестовиной

Рис. 10.2. Маятник Обербека с вертикальной крестовиной

На вертикальной колонне 1 (рис. 10.2), установленной на основании 2, укреплены: кронштейны

– нижний неподвижный 3 и верхний подвижный 4 и две неподвижные втулки – нижняя 5 и верхняя 6. На верхней втулке 6 закреплен подшипниковый узел шкива 7. Через него перекидывается нить 8. На одном конце нити крепятся грузы 9, а второй конец фиксируется к двухступенчатому диску 10.

На нижней втулке 5 находится подставка 11, на которой установлен тормозной электромагнит, удерживающий с помощью фрикционной муфты крестовину с грузом. Подвижной кронштейн 4 перемещается вдоль колонны и его можно фиксировать в любом положении, изменяя таким образом длину пути, проходимую грузами 9.

На колонну нанесена миллиметровая шкала 12. На подвижном 4 и неподвижном 3 кронштейнах закреплены фотоэлектрические датчики. дающие сигналы для измерения времени и включающие тормозной электромагнит, когда грузы достигнут резинового амортизатора 13, ограничивающего их движение. На основании прибора расположен миллисекундомер, фиксирующий время прохождения грузами определенного расстояния.

Выполнение измерений

с помощью регулируемых ножек основания привести колонну прибора к вертикальному положению. Проверить, не задевают ли грузы за корпуса верхнего и нижнего фотоэлектрических датчиков;

сдвинуть подвижный кронштейн на выбранную высоту, и так установить, чтобы грузы падая проходили через середину рабочего окна фотоэлектрических датчиков;

10.2. Описание экспериментальных установок

6

 

 

нажать клавишу СЕТЬ, оба фотоэлектрических датчика должны светиться;

переместить грузы в верхнее положение и привести систему находится в состояние покоя;

нажать клавишу ПУСК система придёт в движение, миллисекундомер измерит время прохождения грузом пути до торможения;

нажать клавишу СБРОС произойдёт обнуление показаний измерителя и освобождение тормоза;

перенести грузы в верхнее положение, отжать клавишу ПУСК произойдёт повторная блокировка тормоза.

Параметры установки

 

 

Масса цилиндрических грузов

198 г ×4

Масса пустой платформы

53 г

Масса грузов к ней

40 г

Погрешность определения длины пути прохождения груза

±1 мм

Погрешность измерения времени не более

±0.002 сек

10.2.2. Установка с горизонтальной крестовиной

Рис. 10.3. Маятник Обербека с горизонтальной крестовиной

На вертикальной колонне 1 (рис. 10.3), установленной на основании 2, укреплён кронштейн 3, на котором расположены электромагнитный блок 4, шкив 6 и линейка 7. Красная кнопка 5 на электромагнитном блоке предназначена для включения тормоза. Через шкив 6 переброшена нить 8 с

10.3. Порядок выполнения работы

7

 

 

платформой с грузом 9. Вращающаяся крестовина состоит из спиц 10 с цилиндрическими грузами 11. В основании имеются резьбовые ножки 12, предназначенные для регулировки положения установки. Для управления установкой используется электронный блок “Секундомер” (прил. А).

Выполнение измерений

с помощью регулируемых ножек основания привести колонну прибора к вертикальному положению, при этом платформа с 11 должна попадать точно в мишень (серый круг) на основании (в этом месте находится концевой датчик);

поднять платформу с грузами, наматывая нить на сердечник крестовины, на выбранную высоту (которая отсчитывается по линейке 7);

нажать кнопку 5, это зафиксирует крестовину электромагнитным тормозом, добиться успокоения (отсутствия колебаний) платформы с грузами на нити;

нажать клавишу ПУСК, система придёт в движение, “Секундомер” измерит время прохождения грузом пути до основания;

вращение крестовины при этом не останавливается, его можно использовать для наматывания нити для повторного измерения.

Параметры установки

 

 

 

Масса стержней

316

г ×4

Длина стержней

580

мм

Масса диска

610

г

Диаметр диска

100

мм

Масса цилиндрических грузов

148

г ×4

Масса пустой платформы

95 г

 

Масса малого груза

55 г

 

Масса большого груза

100

г

Погрешность определения длины пути прохождения груза

±1 мм

Погрешность измерения времени не более

±0.02 сек

10.3. Порядок выполнения работы

1) а) Для установки с горизонтальным расположением крестовины устанавливаем грузы на минимальном расстоянии R1 от центра. Убеждаемся, что они хорошо закреп-

лены и крестовина вращается свободно.

б) Для установки с вертикальным расположением крестовины устанавливаем грузы на одинаковом (минимально возможном, при котором они не задевают за каркас установки) расстоянии R1. Перемещая грузы добиваемся безразличного равновесия крестовины.

Полезно несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться.

2)Убедитесь, что при минимальной массе m0 (платформа без грузов), момент сил m0gr (где r – радиус шкива, на котором подвешен груз m0) превышает момент сил трения Mтр,

3)Определите экспериментально зависимость углового ускорения ε маятника от момента приложенной силы mgr. В этой серии измерений момент инерции маятника должен оставаться постоянным: J = const.

Для определении зависимости ε = ε(mgr) измерьте время t, за которое груз m опускается на расстояние h. Измерение времени t для каждого груза при постоянном значении h повторите

три раза. Затем найдите среднее значение времени падения груза tср и определите среднее

ускорение груза их соотношения (10.12):

2h

aср = t2ср .

Эти измерения и вычисления повторите для четырёх-пяти значений массы m груза. Резуль-

таты измерений запишите в табл. 10.1.

10.4. Контрольные вопросы

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 10.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t1

t2

t3

tср

t

mг

aср

ε

εср

mгgr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные экспериментально точки отложите в координатной плоскости x = mgr, y = ε и по ним постройте график зависимости. Определите по точке пересечения прямой с осью x момент силы трения Mтр.

4)Проверьте экспериментально зависимость (10.17). Для этого, взяв постоянную массу груза (установите на платформу 1-2 груза), определите ускорение a груза m при пяти различных положениях R грузов mцил на спицах. Рекомендуется выбрать минимальный и максимальный R и три положения между ними.

В каждом положении R измерения времени падения t груза m с высоты h повторите три раза.

Результаты измерений занесите в табл. 10.2. Полученные экспериментальные точки нанесите с учётом погрешностей в координатной плоскости x = (R/r)2, y = g/a и постройте график зависимости y = y(x).

Таблица 10.2.

 

R

(R/r)2

t1

t2

t3

tср

t

a

g/a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)Определите погрешности измерения момента инерции. Относительная погрешность измерения момента инерции определяется по формуле:

δ = Jт − Jэ 100%.

Jт

где Jт – теоретический момент инерции, определяемый по формуле (10.15), Jэ – эксперимен-

тальный момент инерции, определяемый по формуле (10.7).

10.4. Контрольные вопросы

1)Что называется моментом сил? Какова размерность единицы его измерения в системе СИ?

2)Что называется моментом инерции тела относительно оси вращения?

3)Запишите основной закон вращательного движения.

4)Как определить момент силы, приводящей во вращение маятник Обербека?

5)Почему стремятся уменьшать момент сил трения? Казалось бы, даже большую величину Мтр

можно легко учесть с помощью уравнения (10.11).

6)Какую из величин в данном эксперименте следует измерять с наибольшей точностью?

7)Сформулируйте и докажите теорему Гюйгенса-Штейнера.

Приложение А.

Правила пользования электронным блоком “Секундомер” ЮУрГУ

Электронный блок “Секундомер” предназначен для управления различными лабораторными установками и измерения времени протекающих процессов. Также он может измерять интервалы времени в “ручном” режиме.

На передней панели счётчика расположены кнопки “Пуск” 1 и “Стоп” 2, а также цифровое табло, отображающее прошедшее время 3. Запуск секундомера происходит после нажатия кнопки “Пуск”,

при этом освобождается тормоз установки, если блок подключён к ней. Остановка отсчёта происходит при срабатывании соответствующего датчика установки, либо при нажатии кнопки “Стоп”.

Выключатель сети расположен на задней панели блока, в верхнем правом углу. Также на задней панели расположены разъёмы для управления электромагнитным тормозом и для ввода сигнала от датчика остановки.

Рис. А.1. Электронный блок “Секундомер” ЮУрГУ

9

Соседние файлы в предмете Механика