Mechanics-12

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет

им. П. Г. Демидова

В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,

В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова

Лабораторная работа № 12

Определение момента инерции диска. Проверка теоремы Штейнера.

Ярославль 2013

где r – расстояние от элемента dm до оси вращения.

Из уравнения (12.4) понятно, что момент инерции зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения. Чем больше масса рассматриваемого элемента объёма и чем дальше он отстоит от от оси вращения, тем большим моментом инерции обладает этот элемент.

Рассмотрим тело вращения (рис. 12.1), состоящее из массивного диска и лёгкого шкива. Пусть

они обладают общей массой M = Mдиска + Mшкива, причём Mдиска Mшкива. Диск и шкив жестко

соединены и вращаются в подшипниках на общей оси. Очевидно, что вклад шкива в суммарный момент инерции тела пренебрежимо мал.

Тело вращается под действием груза массой m, укреп-

ленного на нити, намотанной на шкив. Его вращение относительно неподвижной оси описывается уравнением

где M(T2) – момент силы натяжения нити, M(Fтр) – мо-

мент силы трения в подшипниках оси. Иначе говоря,

где r – радиус шкива.

Груз массой m движется поступательно, согласно вто-

где a – ускорение центра масс груза, T1 – сила натяжения

нити, приложенная к грузу. При переходе к проекции на ось у, из уравнения (12.8) получим

Так как мы полагаем нить нерастяжимой и невесомой, а проскальзывание её по шкиву отсутствует, то ускорение всех точек нити и груза будет одинаковым. Согласно 3 закону Ньютона, силы натяжения нити T1 и T2 равны между собой: T1 = T2 = T .

Пусть груз в процессе движения всей системы опускается с высоты h0 до некоторого нулевого

уровня. Исходя из того, что

где t – время движения груза и a = εr, получаем

Исходя из вышеизложенных соображений, уравнение (12.6) преобразуется к виду

Из уравнения (12.8) находим силу натяжения T . Угловое ускорение ε определяем из формулы

(12.10). Подставляя полученные выражения в (12.11), получаем

Если величины r, h0, t и m, входящие в формулу (12.12) могут быть измерены непосредственно,

то для определения момента силы трения необходимо провести дополнительный опыт. Для этого груз, наматывая нить на шкив, поднимаем на первоначальную высоту и отпускаем. Груз сначала сматывая нить со шкива, опускается с высоты h0 до нижней точки, а затем, когда нить начинает

наматываться на шкив, поднимается на некоторую меньшую высоту h. Меньшая высота подъ-

ема груза определяется наличием трения в подшипниках. При этом сила трения совершает работу

В начальной и конечной точках движения кинетическая энергия груза равна нулю. Из этого следует, что изменение механической энергии системы определяется только различием потенциальной энергии груза в начальной (Wп1 ) и конечной (Wп2 ) точках.

Поскольку работа, которую совершает постоянный момент силы M при повороте тела на угол ϕ (в радианах) равна A = Mϕ, то работа силы трения выражается через момент силы трения M(Fтр):

Из уравнений (12.14) и (12.15), имеем

Угол поворота шкива ϕ равен отношению длины дуги, которая представляет собой разность

начальной и конечной высот положения груза, к его радиусу

Подставив выражения (12.18) в уравнение (12.12), получаем формулу для определения момента инерции маховика экспериментальным путём

J = mr2 h0(h0 + h) − 1 . (12.19)

В данной работе предстоит проверить теорему Штейнера о переносе осей моментов инерции, которая гласит: момент инерции тела, относительно любой оси, равен моменту инерции тела, относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно данной, сложенному с произведением массы на квадрат расстояния между осями:

где Jц – момент инерции относительно центральной оси, m – масса тела, a – расстояние между

осями.

12.2. Описание экспериментальной установки

Диск 1 с резьбовыми отверстиями насажен на ось (рис. 12.2) и может вращаться с малым трени-

ем. К диску прикреплена дополнительная пластина, центр масс которой совпадает с осью вращения. На той же оси находится шкив 2 радиусом r, на который наматывается нить. К другому концу нити привязан груз 4 массой m, под действием которого система приводится во вращение. Путь, прой-

денный грузом до своего нижнего положения (когда нить полностью размотается), определяется по шкале 3, вдоль которой груз движется. В резьбовые отверстия диска могут вворачиваться дополнительные грузы 5 цилиндрической формы радиуса R массы m0. В установках предусмотрено автоматическое измерение времени движения груза до нижней точки и расстояния h, на которое

поднимается груз по инерции после прохождения нижнего положения.

Параметры установки

Рис. 12.2. Схема установки

12.3. Выполнение измерений

Правила пользования электронным блоком “Секундомер” смотрите в приложении А.

1)Включить вилку “Секундомера” в розетку 220 в.

2)Включить, клавишу Сеть на задней панели “Секундомера”. Клавиша должна светиться.

3)Измерить положение груза в нижней точке относительно основания.

4)Поднять груз вращением маховика и нажать кнопку включения электромагнитного тормоза в верхней части установки. Устранить качание груза.

5)Измерить положение груза относительно основания.

6)Нажать кнопку Сброс на блоке “Измеритель перемещения”.

7)Нажать кнопку Пуск на панели “Секундомера”.

8)“Секундомер” фиксирует время движения груза до нижней точки. Табло “Измерителя перемещения” показывает высоту подъема груза.

12.4. Порядок выполнения работы

12.4.1. Определение момента инерции диска

1)Снимите дополнительные грузы с диска.

2)Измерьте штангенциркулем диаметр шкива d в нескольких местах и найдите среднее значение

¯. d

3)Определите массу груза m, подвешенного к нити.

4)Включите секундомер. Вращая диск, намотайте нить в один слой на шкив и включите электромагнитный тормоз красной кнопкой, расположенной в верхней части установки. Определите с помощью линейки высоту h0 на которую был поднят груз.

5)В момент прохождения грузом нижнего положения секундомер выключается. Продолжая дальше наблюдение за движением груза m, заметьте высоту h, на которую поднимется груз, двигаясь по инерции. Значение h высветится на табло блока “Измеритель перемещения”.

6)Вычислите момент инерции диска Jд по формуле (12.19) и найдите его среднее значение. Опыт повторите не менее 5 раз при тех же значениях m и h0.

7)Вычислите теоретически момент инерции диска с пластиной Jдрасч по формулам, приведённым

в приложении Б и сравните полученные значения и сделайте выводы.

12.4.2. Проверка теоремы Штейнера

1)Определите массу m0 и радиус R дополнительных грузов. Закрепите их на одинаковом расстоянии от оси вращения на диске установки и замерьте расстояние l1 от оси вращения до

центра грузов.

2)Проведите измерения аналогично заданию 12.4.1 используя ранее полученные значения радиуса шкива r, массы груза m, расстояния, проходимое грузом, до нулевой отметки h0.

3)Вычислите момент инерции Jэксп диска с грузами по формуле (12.19). Опыт повторите не

менее 5 раз. Найдите среднее значение ¯эксп.

J

4) Вычислите момент инерции дополнительных грузов Jг, по теореме Штейнера

Jг = k( 12 M0r2 + M0L2)

5)Рассчитайте момент инерции системы дополнительных грузов Jграсч , используя формулы, при-

ведённые в Приложении Б.

6)Проведите подобные измерения и расчеты с другим положением дополнительных грузов на диске.

7)Сравните полученные экспериментально значение момента инерции Jэксп с расчетными значениями момента инерции системы Jрасч и сделайте выводы.

12.5. Контрольные вопросы

1)Как зависит момент инерции твёрдого тела от его массы и от распределения массы тела относительно оси вращения?

2)От каких величин зависит момент инерции диска?

3)По какой формуле его рассчитывают в опытах?

4)Запишите закон сохранения энергии для системы “диск-груз”.

5)На что расходуется механическая энергия в системе:

а) потенциальная энергия груза при его опускании;

б) кинетическая энергия системы при движении груза вверх?

6)Какое положение груза соответствует наибольшей кинетической энергии маховика?

7)По какой формуле определяют работу, затраченную на преодоление сил трения?

8

Таблица Б.2. Моменты инерции тел правильной геометрической формы (продолжение)