Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Mechanics-04

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
351.64 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет

им. П. Г. Демидова

В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,

В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова

Лабораторная работа № 4

Методы точного взвешивания.

Ярославль 2013

Лабораторная работа № 4.

Методы точного взвешивания

Цель работы:

1)изучить технические весы, освоить методы и приёмы работы с ними;

2)освоить особые методы взвешивания (Гаусса, Борда и Менделеева);

3)ознакомиться с работой аналитических весов.

Приборы и принадлежности:

технические весы ВЛТ-200 с разновесками,

аналитические весы Ohaus Pro 100,

взвешиваемые тела.

4.1. Краткая теория

4.1.1. Масса и вес

Масса тела – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела и мерой гравитационного взаимодействия. Под инертностью понимается свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии внешних сил. Сила гравитационного притяжения между двумя точечными телами пропорциональна их массам. Масса является одной из основных характеристик тела, зависящей от его размера и от природы вещества, из которого оно состоит. За единицу массы принимают массу определённого эталонного тела. В системе СИ эта единица называется килограммом и входит в число основных единц. Кроме того, масса определяет релятивистский полный запас энергии материального тела:

E = mc2,

(4.1)

где c = 3· 108м/с – скорость света.

Величина массы может быть определена по различным ее проявлениям (инерция, тяготение) путем сравнения с массой эталонного тела, произвольно принятой за единицу.

Вес тела есть результат действия гравитации, притягивающей это тело к Земле. Он определяется как сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. Как и любая сила, вес – векторная величина. Он может проявляться как статически, так и динамически. В статическом случае веса его действие уравновешивается силой реакции опоры N (рис.

4.1), поэтому тело неподвижно относительно Земли и

~

~

P

= −N.

При статическом проявлении вес тела равен силе, с которой оно действует на неподвижную опору, притягиваясь к Земле. На этом основано измерение веса тел пружинными весами (рис. 4.2).

1

4.1. Краткая теория

2

 

 

Рис. 4.1. Вес тела и сила реакции опоры

При динамическом проявлении веса тело приобретает под его действием ускорение. В этом случае связь веса тела с массой определяется соотношением

~ =

P m~g,

где g – ускорение силы тяжести в данной точке земной поверхности.

Относительно инерциальной системы отсчета Земля и покоящееся на ней тело совершают вра-

щательное движение. На тело действует сила гравитационного притяжения ~ и сила реакции

Fгр

опоры N (рис. 4.3). Результирующая этих сил служит центростремительной силой:

F = mω2R cos ϕ,

действующей на тело при его вращении по окружности радиуса r = R cos ϕ.

~ ~ ~

~

~ ~

~ ~

Так как Fгр + N = F

, а P

= −N, то P

= Fгр − F .

В инерциальной системе отсчета вес тела относительно Земли равен векторной разности между гравитационной силой притяжения тела к Земле и центростремительной силой, действующей на тело при его вращении вместе с Землей. Величину и направление веса можно определить из следующих соотношений (рис. 4.3)

q

P = Fгр2 + F 2 − 2Fгр cos ϕ.

В ускоренной системе координат (неинерциальной), жестко связанной с Землей, тело покоится на поверхности Земли в точке А на широте ϕ (рис. 4.4). При этом на тело действуют: сила гравита-

 

~

 

 

~

ционного притяжения к Земле F

гр, сила реакции опоры N и инерционная центробежная сила Fц.

Так как тело находится в покое относительно Земли, то

 

 

~

~

~

 

 

Fгр

+ Fц + N = 0.

~

~

 

 

 

Учитывая, что Р = −N, получим:

 

 

 

 

~

~

~

 

 

P

= Fгр + Fц,

то есть вес тела относительно Земли равен векторной сумме гравитационной и центробежной сил, действующих на тело.

Отсюда можно заключить, что вес тела относительно данной системы отсчета представляет собой результирующую гравитационных и инерционных сил, действующих на неподвижное относительно системы тело.

Рис. 4.2. Измерение веса тел пружинными весами

4.1. Краткая теория

3

 

 

Рис. 4.3. Силы, действующие на тело в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй

Рис. 4.4. Силы, действующие на тело в ускоренной системе отсчёта, связанной с Землёй

4.1. Краткая теория

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если для простоты считать, что Земля обладает сферической симметрией (по форме и по плот-

ности), то гравитационная сила направлена к центру Земли и равна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m · M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fгр = G

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

где М – масса Земли, м – масса тела, R – радиус Земли, G – гравитационная постоянная.

 

 

Центробежная сила направлена по радиусу r от оси вращения тела и равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fц = mω2R cos ϕ,

 

 

 

 

где ω – угловая скорость вращения Земли, ϕ – широта точки А.

 

 

Поэтому вес тела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = q

Fгр2 + Fц2 − 2Fгр cos ϕ,

 

 

 

 

 

 

P = ms

R2

 

 

+ (ω2R cos ϕ)2

− 2

R ω2 cos ϕ.

(4.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GM

 

2

 

 

 

 

 

 

GM

 

 

Таким образом, вес тела прямо пропорционален массе и зависит от положения тела на Земле.

Легко видеть, что на полюсах

ϕ = π2

вес наибольший и равен силе гравитационного притяжения:

P

=

F

гр, а на экваторе (

ϕ

=

0) он наименьший и равен разности гравитационной и центробежной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сил: P = Fгр − F ц. Поскольку F ц на экваторе не превосходит 0, 6%Fгр, то и эти изменения в весе

не превышают 0, 6%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Направление веса Р не совпадает с направлением к центру Земли. Угол этого отклонения (см.

рис. 4.4), равный

 

 

 

 

 

 

α = arcsin

 

ц P

 

 

,

 

 

 

(4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

sin ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

весьма мал (на широте 45о α ≈ 08) и обращается в нуль на полюсах и на экваторе. Только на

полюсах и на экваторе вес направлен к центру Земли.

Зависимость веса тела от высоты h его над Землей получается, если во всех предыдущих выкладках заменить R на R + h:

Ph = ms

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(R + h)2

 

+ ω2

(R + h) cos ϕ

 

− 2 R + h ω2 cos ϕ.

 

 

GM

 

2

 

 

 

GM

 

 

 

 

 

2

 

Не трудно видеть, что на полюсах

m · M Ph = G (R + h)2

вес уменьшается с возрастанием h. На экваторе

Ph = m G M 2 − ω2(R + h) ,

(R + h)

здесь вес уменьшается только до определенной высоты h(h≈ 5.6R), на которой Рh = 0. При дальнейшем увеличении h вес вновь возрастает, но направлен он уже от Земли. Физический смысл такой зависимости прост. По мере возрастания h гравитационное притяжение уменьшается, а центробежная сила увеличивается. На высоте h, Fгр = Fц, поэтому если на этой высоте тело неподвиж-

но относительно Земли, то оно не действует на неподвижную относительно Земли воображаемую опору. При дальнейшем увеличении h (h > h) центробежная сила оказывается больше гравита-

ционной, а их результирующая направлена от Земли. В действительности уже на расстояниях в несколько десятков километров от поверхности Земли статическое проявление веса неосуществимо из-за отсутствия естественных или рукотворных возвышенностей такой высоты, и рассмотренная зависимость Рh0 от h является формальной. Для практики важен случай, когда h << R. Тогда зависимость Рh(h) можно представить приближенно как

h Ph ≈ P 1 − 2 R

(при разложении в ряд Тейлора ограничиваемся членами первого порядка малости).

4.1. Краткая теория

5

 

 

Рис. 4.5. Весы как рычаг первого рода

4.1.2. Принцип взвешивания на весах

Непосредственно сила, с которой данное тело притягивается к Земле может быть определена с

помощью пружинных весов. Абсолютное удлинение пружины

x, по закону Гука, равно

F = k · x

(4.4)

где F – деформирующая сила, k – коэффициент пропорциональности (модуль упругости).

В случае взвешивания деформирующей силой является вес тела, тогда

k · x = mg.

(4.5)

Величина x пропорциональна весу тела.

Пружина снабжается указателем, скользящим вдоль шкалы, проградуированной в единицах веса.

Поскольку вес и уравновешивающая его сила имеют разную природу, то показания таких весов зависят от ускорения силы тяжести в данном месте, и для определения массы тела их необходимо проградуировать (откалибровать) с помощью эталонной гири. Этого недостатка лишены рычажные весы, т. к. в них и вес, и уравновешивающая его сила имеют одну и ту же природу. С весами такого типа мы и будем работать в дальнейшем.

Рассмотрим принцип действия технических весов. Они представляют собой рычаг первого рода (рис. 4.5), в котором расстояния от точек приложения сил до точки опоры равны друг другу (равноплечный рычаг). Поместим на левую чашку весов тело массой m1.

Для того чтобы восстановить равновесие, нужно на правую чашку весов накладывать разновесы до тех пор, пока рычаг не вернется в первоначальное положение (m2 – масса разновесов).

На основании правила моментов сил

P1

 

· L1

=

P2

 

· L2,

(4.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

где P1 и P2 – соответственно веса тел, т. е. силы, действующие на левую и правую части рычага в точках опоры чашек весов, а L1 и L2 – расстояние от этих точек до точек опоры коромысла. Так как весы равноплечны, то L1 = L2 и при равновесии P1 = P2. Но P1 = m1g и P2 = m2g, значит, m1 = m2. Таким образом, при взвешивании тел на рычажных весах мы сравниваем силу, с которой

масса взвешиваемого тела притягивается к Земле, с силой притяжения к Земле эталонной массы. Так как эталоном при этом является сама масса, то фактически взвешивание на рычажных весах сводится к определению массы.

Но масса и вес тела связаны соотношением

P = mg.

Величина g изменяется с изменением географической широты места и высоты над уровнем моря.

В соответствии с этим изменяется и вес тела, т. к. если в любой точке земной поверхности вес тела пропорционален его массе, а величина g является постоянной, то масса тела однозначно определяет

его вес. В этом смысле операцию сравнения масс, выполняемую на рычажных весах, можно назвать взвешиванием.

4.1.3. Устройство технических весов

Весы состоят из равноплечного рычага BB, называемого коромыслом, опорою которого служит ребро стальной закаленной призмы A, вставленной в середину коромысла перпендикулярно к его плоскости (см. рис. 4.6). Ребро призмы опирается на агатовую полированную пластинку (подушку),

4.1. Краткая теория

6

 

 

Рис. 4.6. Устройство технических весов

укрепленную на верху колонки Д. На концах коромысла на равных расстояниях от центральной опоры имеются призмы, на которых за серьги С, подвешиваются стремянки К с чашками Ч. Ребра средней и крайних призм должны быть параллельны между собой.

Если на чашках нет грузов, то коромысло должно устанавливаться горизонтально или почти горизонтально. Для определения положения коромысла служит длинная стрелка L, прикреплен-

ная к его середине перпендикулярно к линии, соединяющей две крайние призмы. Конец стрелки движется перед шкалой n, находящейся у основания колонки Д. При горизонтальном положении коромысла стрелка должна указывать на среднее (нулевое) деление шкалы.

Когда весы не находятся в работе, их необходимо арретировать. Это производится действием особого механизма внутри колонки весов. При помощи него опорная подушка несколько опускается вниз, вследствие чего коромысло ложится на опоры колонки, а чашки – на основание весов. При этом их призмы освобождаются от давления на плоскость опоры и напрасно не изнашиваются. Устройство арретиров у разных весов может различаться. Обычно арретирование и освобождение коромысла производится посредством головки Z, помещающейся в нижней части весов, поворотом ее в ту или иную сторону.

4.1.4. Чувствительность весов

Основной величиной, характеризующей весы, является их чувствительность. Чувствительность весов – это отношение тангенса угла наклона стрелки к весу того добавочного перегруза В, который вызывает это отклонение:

ϕ =

tg α

.

(4.7)

 

 

B

 

Пусть направление горизонтальной пунктирной прямой (рис. 4.7) совпадает с направлением плеч коромысла ненагруженных весов, а центр тяжести коромысла находится в точке O1. При разных силах действия грузов P и P + B возникает отклонение плеч коромысла на угол α. В результате коромысло принимает положение A1 − O − A2.

Пусть OA1 = OA2 = L – длина плеча коромысла; OO1 = OO2 = d,где d – расстояние от точки опоры до центра тяжести, P1- вес коромысла (с чашками и стрелками).

Условие равновесия можно получить из равенства моментов. Сумма моментов сил, вращающих тело в одну сторону, равна сумме моментов, вращающих в противоположную сторону (см. рис. 4.7):

(P + B)L cos α = P L cos α + P1d sin α.

Отсюда чувствительность весов

P L cos α + BL cos α = P L cos α + P1d sin α,

4.1. Краткая теория

7

 

 

Рис. 4.7. Условие равновесия весов

BL cos α = P1d sin α;

tg α =

BL

;

tg α

=

L

= ϕ.

 

 

 

 

 

P1d

 

 

B

 

dP1

При d → 0 чувствительность весов наибольшая.

Чувствительность весов, выраженная в угловых единицах, для нас не слишком полезна. Гораздо удобнее использовать вместо неё цену деления, т. к. весы имеют шкалу. Цена деления весов

определяется как

C = Bn ,

где n – число делений, на которое отклонилась стрелка под воздействием перегрузка B.

Для повышения чувствительности весов необходимо, чтобы коромысло было по возможности длинным, вес коромысла и чашек – небольшим, расстояние от опоры до центра тяжести должно быть мало. Так как полностью изгиб коромысла устранить нельзя, и, кроме того, на чувствительность весов влияет еще ряд факторов острота ребер призмы, скольжения их по поверхности агатовых пластинок, твёрдость призм и опор для них, – то в действительности чувствительность весов зависит от нагрузки.

4.1.5. Измерения

Перед тем как приступить к взвешиванию, необходимо ознакомиться с правилами пользования весами (Приложение А).

Для того чтобы произвести точное взвешивание, необходимо:

1)определить нулевую точку весов;

2)определить их цену деления C = Bn ;

3)произвести само взвешивание.

Определение нулевой точки весов

Перед началом каждого взвешивания необходимо определить положение равновесия незагруженных весов, т. е. деление шкалы, против которого остановилась бы стрелка при отсутствии трения. В целях исключения влияния трения нулевая точка определяется по методу качания.

При качании коромысла стрелка весов колеблется подобно маятнику. Положим, что при отклонении влево её конец доходит до черты a1 шкалы, считая от нулевой черты, а при следующем ходе вправо доходит до положения a2 шкалы. Если бы стрелка совершала одинаковые по величине ко-

лебания в ту и другую стороны от нулевого положения, то оно определялось бы как полусумма

4.1. Краткая теория

8

 

 

величин a2 и a1. В действительности амплитуда колебаний с течением времени уменьшается. Пер-

вое отклонение влево больше следующего левого отклонения и т. д., поэтому полусумма величин не дала бы истинного положения нуля весов.

Рассмотрим теперь три последовательных колебания стрелки a1, a2, a3, из которых a1 и a3 – в левую сторону, а a2 – в правую. Взяв полусумму величин a1 и a3, мы получим число, которое относительно a2 будет более удовлетворять условию равенства отклонений в ту или другую сторону от положения равновесия, чем одно a1 или a3. Следовательно, нуль весов, вычисленный как:

a0

= 2

 

2

+ a2

,

(4.8)

 

1

 

 

a1 + a3

 

 

 

будет уже ближе к действительному положению его.

Т. к. изменение амплитуды происходит не произвольно во времени, а по экспоненциальному закону, то, взяв, например, пять последних колебаний – a1, a2, a3, a4, a5, три – a1, a3, a5 – в одну сторону и два – a2, a4 – в другую и выведя среднее из отклонений в каждую сторону, мы, очевидно,

найдем число, еще более удовлетворяющее условие равенства колебаний от нулевого положения в ту или другую сторону; нуль весов, вычисленный так

a0

=

2

 

3

 

+

 

2

,

(4.9)

1

 

1

 

 

a1 + a3

+ a5

 

a2

+ a4

 

 

будет еще ближе к положению истинного равенства.

В случае, если отклонения будут отсчитаны не от крайнего левого, а от среднего деления шкалы, то, само собой разумеется, что отсчетом, произведенным в разные стороны, следует приписывать разные знаки; обычно отрицательными считаются отсчеты, произведенные в левую сторону.

Обыкновенно при определении нуля весов ограничиваются наблюдением пяти последовательных качаний. При записывании наблюдаемых колебаний левые отклонения пишут в левом столбце, правые – в правом. Всегда берется одним качанием больше в ту сторону, с которого начали наблюдения первого качания. Если по освобождении арретира размахи колебаний весов очень малы, то их увеличивают, производя над одной из чашек весов слабые размахи листом бумаги, после чего опускают несколько колебаний весов без наблюдения и затем уже начинают наблюдать. Части деления шкалы при колебаниях указателя оценивают на глаз до ближайшего деления.

Одним определением нуля весов нельзя удовлетвориться, а надо сделать еще минимум два и взять за нуль весов среднее арифметическое из всех определений. Зная нулевую точку весов, можно приступать к определению их чувствительности.

При использовании демпфированных весов нулевая точка определяется по шкале после их полной остановки. Следует проделать минимум три отсчета и взять их среднее арифметическое. Каждый раз весы арретируются, а затем медленно освобождаются.

Определение чувствительности (цены деления) весов

Если на одну чашку (правую) ненагруженных арретированных весов мы положим разновеску 100 − 200 мг (перегрузок) и определим теперь из качаний положение равновесия (или останов-

ку) весов так, как мы только что определяли нуль весов, то получим уже не прежнее число, а несколько иное, например a20, которое укажет нам на перемещение положения равновесия весов на n = a20 − a10 делений шкалы. Абсолютная величина этого перемещения и будет выражать цену

деления ненагруженных весов при заданном перегрузке

C = Bn .

Определив точку нуля весов и их чувствительность, приступаем к взвешиванию.

Взвешивание

Всегда можно путем последовательного накладывания разновесок найти два числа P1 и P2,

выраженные в граммах, между которыми заключается вес взвешиваемого тела, если он не может быть выражен целым числом граммов.

Необходимо заметить, что при большей разнице в весе тела и положенных разновесов перевес одной из чашек наблюдается легко: коромысло весов при освобождении арретира тотчас отклоняется в какую-нибудь сторону до упора и не колеблется. При малой разнице в весе коромысло будет колебаться, и если нельзя во время качания заметить, что размах указателя в одну сторону от найденной нулевой точки a0 весов больше, чем в другую, то необходимо определить в таком случае из

4.1. Краткая теория

9

 

 

качаний точку равновесия весов a1, т. е. то деление шкалы, на которое указывала бы при отсутствии

трения стрелка, когда прекратились колебания коромысла. Определение точки равновесия ведется так же, как определение нуля весов.

Взвешивание с точностью до миллиграммов можно произвести, зная цену деления весов:

Рт = Рг ± С n,

где n = а1 а0, C = Bn – цена деления весов, a0 – нулевая точка, a1 – точка равновесия весов при взвешивании, P1 < Рг < Р2, Рт – вес тела, Рг – вес гирь и разновесок.

4.1.6. Особые методы взвешивания

Все сказанное выше относится к простому взвешиванию, т. е. такому, которое дает число, точное в пределах чувствительности весов, когда длины обоих плеч коромысла одинаковы. Если длины плеч различны, то вес разновесок, помещенных на одной чашке весов, не будет выражать собой веса взвешиваемого тела, помещенного на одну чашку. В последнем случае употребляются другие методы, не сильно усложняющие процедуру взвешивания. Таких методов известно три:

метод двойного взвешивания (Гаусса),

метод тарирования (Борда),

метод постоянной нагрузки (Менделеева).

Метод двойного взвешивания (метод Гаусса)

При этом методе неравенство плеч коромысла нисколько не влияет на полученный результат взвешивания.

Обозначим длины правого и левого плеч коромысла соответственно через L1 и L2. Кладем

взвешиваемое тело на левую чашку весов и уравновешиваем его на правой чашке со всей возможной точностью веса разновесок P2, производя взвешивание по всем правилам, сообщенным выше. Вследствие неравенства плеч вес тела P0 не будет равен P2. На основании теоремы о моменте сил,

приложенных к точкам подвеса чашек, имеем:

P0L1 = P2L2.

(4.10)

Производя новое взвешивание, кладем тело на правую чашку, а разновески – на левую. Вес последних, необходимый для уравновешивания тела весом P0, пусть будет P1.

По теореме моментов сил имеем в этом случае:

P0L2 = P1L1.

(4.11)

Из тех же уравнений можно найти отношение длин плеч коромысла:

L2

= r

P1

.

(4.12)

L1

 

P2

 

Поскольку величины P1 и P2 очень мало отличаются друг от друга, то, пользуясь формулой

бинома Ньютона, можно положить:

L1

= 1 +

P2 − P1

.

(4.13)

L2

 

2P1

Из последних уравнений находим:

p

P = P1P2.

Таким образом, вес тела равен корню квадратному из произведения обоих полученных значений. Но так как величины P1 и P2 очень мало отличаются друг от друга, то, обозначив (Р2 Р1)

через 2q, имеем

qq

pp

P = P1P2 = P1(P1 + 2q) = P12 + 2qP1 ≈ P12 + 2qP1 + q2 =

 

 

 

 

 

 

P1 + P2

= p(P 1 + q)2 = P1 + q =

 

 

2

 

 

 

 

 

 

P1 + P2

 

 

 

 

P = pP1P2 =

.

(4.14)

 

2

 

Этот метод взвешивания применяют при поверке разновесок.

Соседние файлы в предмете Механика