Mechanics-14
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова
В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,
В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова
Лабораторная работа № 14
Маятник Максвелла.
Ярославль 2013
Лабораторная работа № 14.
Маятник Максвелла1
Цель работы:
•вычисление момента инерции кольца при помощи маятника Максвелла;
•проверка закона сохранения механической энергии.
Оборудование:
•установка “Маятник Максвелла”;
•съёмные кольца;
•штангенциркуль;
•технические весы.
14.1. Краткая теория
Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно уменьшается на величину работы сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается.
Это можно наблюдать на опыте с маятником Максвелла, представляющим собой диск, ось которого подвешена на двух накручивающихся на неё нитях (рис. 14.1). Под действием сил тяжести и натяжения нитей маятник Максвелла совершает колебания в вертикальном направлении и вместе с тем крутильные колебания вокруг своей оси. Кинетическая энергия маятника складывается в данном случае из кинетических энергий поступательного и вращательного движений.
Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, кинетическая энергия произвольной точки равна:
|
mIvI2 |
mIrI2ω2 |
(14.1) |
|||
WKI = |
|
= |
|
, |
||
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
где mI – масса i-той точки, vI – скорость i-той точки, rI – расстояние от точки до оси вращения, ω
– угловая скорость.
Сумма кинетических энергий всех точек даст кинетическую энергию твердого тела:
WK = |
|
mIrI2 |
= J ω |
2 |
|
(14.2) |
|
WKI = ω2 P |
, |
||||||
X |
|
I |
|
C |
|
|
|
I |
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где JC – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс.
1Ранее данная работа имела номер 16.
1
14.1. Краткая теория |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
В нашем случае маятник совершает еще и |
|||||
|
поступательное движение. Тогда его полную |
|||||
|
кинетическую энергию можно представить в |
|||||
|
виде: |
|
|
|
|
|
|
WK = |
mvC2 |
+ |
JCω2 |
, |
(14.3) |
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|
||
|
где vC – скорость центра масс. |
|
|
|||
|
Закрутив маятник, мы приподнимаем его на |
|||||
|
высоту h над положением равновесия (услов- |
|||||
|
ным нулевым уровнем) и сообщаем ему потен- |
|||||
|
циальную энергию mgh. Опустившись до по- |
|||||
|
ложения равновесия, маятник, энергия которо- |
|||||
|
го перешла теперь в кинетическую, не остано- |
|||||
|
вится, а начнёт опять подниматься, нити будут |
|||||
Рис. 14.1. Маятник Максвелла |
вновь накручиваться на ось. Однако маятник |
|||||
|
поднимется теперь на меньшую высоту, так как |
|||||
часть его энергии израсходовалась на преодоление сопротивления воздуха и трения нитей об ось. Совершив ряд колебаний с убывающей амплитудой, маятник останавливается в положении равновесия.
Потеря энергии происходит и при колебаниях под действием упругих сил, а так как вполне упругих сил не существует, то деформации тел сопровождаются частичным переходом механической энергии в энергию хаотического теплового движения частиц этих тел. В случае электрических колебаний часть электрической энергии в форме теплоты также переходит в энергию теплового движения частиц проводника и окружающего воздуха.
По второму закону Ньютона движение центра масс определяется уравнением |
|
||||
|
|
|
m~a = m~g + T. |
(14.4) |
|
В проекциях на ось Y , направленную вертикально вверх: |
|
||||
|
|
|
ma = mg − T. |
(14.5) |
|
где m – масса маятника, a – ускорение центра масс. |
|
||||
Вращение вокруг оси, проходящей через масс, описывается уравнением |
|
||||
|
|
J |
d~ω |
= X M~ = T~R |
(14.6) |
|
|
|
|||
|
|
dt |
|||
где d~ω/dt - угловое ускорение, |
P |
~ |
|
~ |
– сила |
M - сумма моментов всех сил, действующих на маятник, T |
|||||
натяжения нити, J = JC. |
|
|
|
|
|
Т. к.
~ |
J d~ω |
|
||
Т = |
|
|
|
, |
R dt |
||||
то подставив в (14.5) получим:
ma = mg − J dω . R dt
Тогда момент инерции имеет вид
J = R mg − ma . dw/dt
Откуда
J = mR(g − dv/dt) = mR(g − dv/dt) = mR2 dω/dt dv/Rdt
g
dv/dt − 1 ,
|
at2 |
|
|
|
dv |
2h |
|
||
H = |
|
|
|
|
|
|
= a = |
|
, |
2 |
|
|
t2 |
||||||
|
|
|
|
dt |
|
||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gt2 |
|
|
|||
J = mR2 |
|
|
|
− 1 . |
|
(14.7) |
|||
|
2h |
|
|||||||
14.2. Описание экспериментальной установки |
3 |
|
|
14.2. Описание экспериментальной установки
Общий вид маятника Максвелла показан на рис. 14.2. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплён неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 7 и приспособление для регулирования длины бифилярной подвески маятника 8.
Нижний кронштейн вместе с прикреплённым к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно
перемещать вдоль колонки и фиксировать в произвольно избранном положении. Маятник прибора FPM-03 - это диск, за-
креплённый на оси 11и подвешенный по бифи-
лярному способу, на этот диск закрепляются сменные кольца 10, что позволяет изменять та-
ким образом, момент инерции системы. Маятник с наложенным кольцом удержи-
вается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора. С целью облегчения этого измерения нижний кронштейн оснащён красным указателем, помещённым на высоте оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Фотоэлектрический датчик, закрепленный на верхнем кронштейне, соединён с гнездом 1, а фотоэлектрический датчик, за-
крепленный на нижнем кронштейне с гнездом 2 миллисекундомера FPM-15 12.
14.2.1. Параметры установки
•точность определения длины маятника – не менее 2 мм
•рабочая погрешность измерения времени
– не более 0.02%
• погрешность определения массы – не бо- |
Рис. 14.2. Схема установки |
|
|
лее 0.5% |
|
14.3. Выполнение измерений
Измерение момента инерции маятника выполняется косвенным методом, используя следующую формулу, аналогичную (14.7):
|
D |
2 |
|
gt2 |
|
|
J = m |
|
|
|
|
− 1 , |
(14.8) |
2 |
2h |
|||||
где: J – момент инерции маятника, кг· м2; m – масса маятника вместе с кольцом, кг; D – внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на неё нитью подвески, м; g – ускорение свободного падения, см2 ; t – время движения маятника вниз, с; h – высота на которую поднимается маятник, м.
В общем случае масса m определяется по формуле
m = mO + mд + mк, |
(14.9) |
где mO – масса оси маятника, кг; mд – масса диска, кг; mк – масса укреплённого на диске сменного
кольца, кг. Полный момент инерции маятника складывается из моментов инерции постоянного диска Jд, момента инерции оси JO и момента инерции сменного кольца Jк.
Внешний диаметр оси маятника, вместе с намотанной на него нитью подвески определяется по формуле
D = DO + 2Dн, |
(14.10) |
где DO – диаметр оси маятника, м; Dн – диаметр нити подвески, м.
14.4. Порядок выполнения работы |
4 |
|
|
14.4. Порядок выполнения работы
1)Экспериментально определить J1, J2 и J3 маятника с кольцами по формуле (14.8) для трёх
различных колец, где
m = mO + mд + mк.
Для каждого кольца произвести пять измерений и вычислить погрешности.
2)Построить график зависимости J(m) = Jд + mR2 по экспериментальным данным. Из графика определить Jд – момент инерции диска. .
3)На этом же графике построить теоретическую зависимость
m(R12 |
+ R22) |
|
J = |
|
|
|
|
|
2
для колец. R1 и R2 – внешний и внутренний радиусы колец.
4)Убедиться, что определенная из графика Jд совпадает с теоретическим расчетом. Оценить
погрешность, возникающую в результате пренебрежения моментом инерции оси.
5)Экспериментально для каждого кольца найти vC – скорость центра масс маятника в его нижней
точке. Повторить опыт не менее 5 раз и найти погрешность измерений.
6)Исходя из формулы
mvC2 |
+ |
Jω2 |
|
WK = |
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
||
построить график зависимости кинетической энергии поступательного движения центра масс WKп = mvC2/2 от момента инерции J. По углу наклона графика определить угловую скорость вращения маятника ω, по точке пересечения графика с осью y найти кинетическую энергию системы WK . Оценить погрешность найденных величин.
14.5. Контрольные вопросы
1)Сформулируйте и напишите, что такое момент силы, момент инерции, угловая скорость и угловое ускорение, момент импульса материальной точки и тела.
2)Как изменяется кинетическая энергия маятника при его движении?
3)Как изменяется потенциальная энергия маятника при его движении?
4)Сформулируйте и запишите законы изменения импульса и момента импульса для маятника Максвелла.
5)Сформулируйте закон сохранения механической энергии и условия его выполнения.
6)Напишите основной закон динамики вращательного движения.
7)Какова аналогия между основными характеристиками поступательного и вращательного движения?
Литература
1.Майсова, Н. Н. Практикум по курсу общей физики / Н. Н. Майсова. – М.: Высшая школа, 1970.
2.Иверонова, В. И. Физический практикум: Механика и молекулярная физика / В. И. Иверонова.
– М.: Наука, 1967.
3.Комплект описаний к “Типовому комплекту учебного оборудования ”Механика“ на 6 рабочих мест” / НПИ “Учебная техника и технологии” ЮУрГУ – Челябинск, 2008.
4.Каленков, С. Г. Практикум по физике. Механика / С. Г. Каленков. – М.: Высшая школа, 1990.
5.Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Т.1: Механика / Д. В. Сивухин. – М.: Наука, 1989 (и др. года издания).
6.Савельев, И. В. Курс общей физики (Том 1. Механика) / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1970 (и др. года издания).
7.Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М.: Наука, 1971
8.Касандрова, О. Н. Обработка результатов наблюдений / О. Н. Касандрова, В. В. Лебедев. – М.: Наука, 1970.
9.Зайдель, А. Н. Элементарные оценки ошибок измерений / А. Н. Зайдель. – М.: Наука, 1967.
10.Щиголев, Б. Н. Математическая обработка наблюдений / Б. Н. Щиголев. – М.: Физматгиз, 1962.
5
Оглавление
14.Маятник Максвелла2 |
1 |
14.1. Краткая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 1 |
14.2. Описание экспериментальной установки . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 3 |
14.2.1. Параметры установки . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 3 |
14.3. Выполнение измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 3 |
14.4. Порядок выполнения работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 4 |
14.5. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . 4 |
2Ранее данная работа имела номер 16.
6
Учебное издание
Алексеев Вадим Петрович
Неменко Евгений Олегович
Папорков Владимир Аркадьевич Рыбникова Елена Владимировна
Лабораторная работа № 14 Маятник Максвелла.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14.