Mechanics-20
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова
В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,
В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова
Лабораторная работа № 20
Изучение колебаний связанных маятников.
Ярославль 2013
Лабораторная работа № 20.
Изучение колебаний связанных маятников 1
Цель работы:
•изучение колебаний связанных маятников;
•определение частоты синфазных и противофазных колебаний;
•изучение явления "биения".
Оборудование:
•лабораторный макет “связанные маятники”;
•секундомер;
•лабораторная установка FPM-13.
20.1. Краткая теория
Два или несколько маятников, соединённых между собой при помощи деформируемых связей представляют связанную систему.
Все мы знакомы с колебательными движениями маятника. Одиночный маятник, представляет собой тело массы m, подвешенное на стержне длиной l. Стержень может вращаться относительно
горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Рассмотрим случай, когда масса стержня много меньше массы тела m, а размеры тела много меньше длины стержня l. При смещении такого маятника на угол α от положения равновесия появляется момент силы, стремящийся вернуть
маятник в исходное положение. Модуль этого момента:
|
|
M = −mgl SIN α. |
(20.1) |
|||||||||||||||
|
Модуль момента импульса маятника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
L = J |
dα |
, |
|
|
(20.2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
dα – угловая скорость; J = ml2 |
– момент инерции тела, |
dL |
|
|
|
||||||||||||
= M |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||
|
Тогда основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси запи- |
|||||||||||||||||
шется так: |
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
(20.3) |
|||||||||
|
|
|
|
M = J |
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
dt2 |
||||||||||||||
|
С учетом этого (20.1) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ml2 |
d2 |
α |
= −mgl SIN α. |
(20.4) |
||||||||||||
|
|
dt2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1Ранее данная работа имела номер 12.
1
20.1. Краткая теория |
2 |
|
|
Если угловое смещение невелико, то SIN α ≈ α. После преобразований такое уравнение называ-
ется уравнением свободных гармонических колебаний:
α′′ + ωα = 0. |
(20.5) |
Если отклонить груз на угол α0 и отпустить его при t0 = 0, то решением этого уравнения будет α = α0 COS(ωt); где ω = gl 1/2 – циклическая частота колебаний маятника.
Рассмотрим теперь связанную систему, состоящую из двух маятников (рис. 20.1), связанных упругой связью (пружиной). Сместим один маятник, удерживая другой на месте, а затем отпустим их одновременно. В этом случае маятник 1 начнёт колебаться, но с течением времени колебания маятника 2 будут нарастать, а колебания маятника 1 – затухать. Через некоторое время маятник 1 остановится, а маятник 2 будет колебаться с максимальной амплитудой и т. д. Потом ситуация
повторится в обратном направлении. Это поведение кажется значительно более сложным, чем поведение одного маятника.
Исследуем движение связанных маятников. Пусть в какой-то момент времени маятник 1 отклонится на угол α1, а маятник 2 – на угол α2. Если угол смещения α2 > α1, на маятник 1 действует
дополнительный к (20.1) положительный вращательный момент (рис. 20.1), равный: |
|
||
|
Mk1 = kε2l2(SIN α2 − SIN α1) |
(20.6) |
|
где k – жесткость пружины, ε = |
l0 |
, l0 – расстояние между точкой подвеса маятника и точкой |
|
|
|||
|
l |
|
|
закрепления пружины.
Рис. 20.1. Два маятника, связанные упругой связью
Аналогично, маятник 2 будет испытывать вращающийся момент противоположного знака:
Mk2 = −kε2l2(SIN α2 − SIN α1) |
(20.7) |
С учётом уравнений (20.6) и (20.7), описывающих связь между маятниками, получим следующие уравнения движения:
|
2 d2 |
α1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
(20.8) |
|||
ml |
|
|
|
|
|
= −mgl SIN α1 |
+ kε |
l |
|
(SIN α2 |
− SIN α1); |
|||||
|
dt2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 d2 |
α2 |
|
= −mgl SIN α2 |
2 |
2 |
(SIN α2 |
− SIN α1); |
(20.9) |
|||||||
ml |
|
|
|
|
|
− kε |
l |
|
||||||||
|
dt2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если α1 и α2 малы, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 d2 |
α1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
(20.10) |
||
|
|
ml |
|
|
|
|
= −mglα1 + kε |
l |
(α2 |
− α1); |
||||||
|
|
|
|
dt2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20.1. Краткая теория |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 d2 |
α2 |
2 |
2 |
|
|
(20.11) |
|
ml |
|
|
|
= −mglα2 − kε |
l |
(α2 |
− α1); |
|
|
dt2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Получилась довольно сложная система уравнений для двух переменных. Мы можем упростить ситуацию, написав новые уравнения, получаемые сложением и вычитанием уравнений (20.10) и
(20.11). Сложив эти два уравнения получаем: |
|
|
|
||||||
|
|
d2(α1 |
+ α2) |
= −mg(α1 |
+ α2), |
(20.12) |
|||
|
ml |
|
|
|
|||||
dt2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
а вычтя: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d2 |
(α1 − α2) |
|
|
|
||||
ml |
|
|
|
|
= (−mg − 2kε2l)(α1 − α2). |
(20.13) |
|||
|
dt2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, с помощью этой операции нам удалось “развязать” уравнения.
Сначала напишем формальные решения этих двух уравнений, а затем обсудим их значение. Рассматривая (20.12), мы видим, что величина (α1 + α2) – переменная и если при t = 0 смещения равны α10 и α20, то сумма 2-х смещений будет иметь зависимость от времени вида:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 + α2 = (α10 + α20) COS(ω+t). |
(20.14) |
||
где частота ω |
+ |
= |
|
g |
|
1/2 |
равна частоте одиночного осциллятора. Наша переменная является суммой |
|||||||||
|
|
l |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смещений |
маятников 1 и 2, поэтому амплитуда изменения этой переменной постоянна. Решение |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (20.13) можно записать в следующем виде: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 + α2 = (α10 + α20) COS(ω−t). |
(20.15) |
||
где частота ω− = |
|
g |
+2ε2 |
k |
|
1/2 |
немного больше частоты одиночного осциллятора. Как и сумма сме- |
|||||||||
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
щений, разность |
смещений меняется с постоянной амплитудой. Если мы сложим равенства (20.14) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и (20.15), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 |
= |
1 |
(α10 + α20) COS(ω+t) + |
1 |
(α10 − α20) COS(ω−t). |
(20.16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
Если вычтем из равенства (20.14) равенство (20.15), получим: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
α2 |
= |
1 |
(α10 + α20) COS(ω+t) − |
1 |
(α10 − α20) COS(ω−t). |
(20.17) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
Заметим, что если оба маятника имеют вначале равные смещения α10 = α20, то они будут
колебаться с постоянной амплитудой и частотой |
|
|||
|
|
|
||
ω+ = r |
|
l |
. |
(20.18) |
|
|
g |
|
|
Если при t = 0 , α10 = −α20, то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой, но с более
высокой частотой: |
|
|
ω− = r gl + 2kεm |
2 . |
(20.19) |
Эти два вида движений называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов. Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой частицы остаётся неизменной. Если мы сместим только один из маятников, то результирующим движением будет комбинация двух нормальных мод движения. Например, если α20 = 0, мы получим
α1 |
= |
α |
10 |
COS( |
ω+t) + COS(ω−t) |
|
, |
(20.20) |
|
|
2 |
||||||
α2 |
= |
α |
10 |
COS( |
ω+t) − COS(ω−t) |
|
, |
(20.21) |
|
|
2 |
Используя тригонометрические тождества:
|
α + β |
|
α − β |
|
|
|
|||
COS α + COS β = 2 COS |
|
|
COS |
|
|
, |
(20.22) |
||
|
2 |
|
2 |
||||||
|
|
α + β |
|
|
α − β |
|
|||
COS α − COS β = −2 SIN |
|
|
SIN |
|
|
, |
(20.23) |
||
2 |
|
2 |
|
||||||
20.1. Краткая теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы можем записать (20.20) и (20.21) в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
α1 = α10 COS |
(ω+ + ω−)t |
|
|
( |
ω+ |
− ω− |
t |
|
||||||
|
|
COS |
|
|
|
) |
|
, |
(20.24) |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
(ω+ + ω−)t |
|
|
( |
ω+ |
− ω− |
|
t |
|
||||
α2 = −α10 SIN |
|
|
SIN |
|
|
) |
|
. |
(20.25) |
|||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
Поведение α1 и α2 показано на рис. 20.2
Рис. 20.2. Изменение со временем величин α1 и α2
Обратите внимание на то, что при t = 0 амплитуда α20 = 0; с течением времени α2 растет, а α1
падает до тех пор, пока в момент времени, определяемый из соотношения
12 (ω− − ω+)t = π2
амплитуда α1 не станет равной нулю, а амплитуда α2 достигнет максимума, такое поведение можно
понять, апеллируя к нормальным модам колебаний. В случае чётной моды нормальных колебаний, обозначенной знаком “+”, маятники движутся вместе, пружина не растянута, и частота такая же, как и для одиночного осциллятора. В случае нечётной моды нормальных колебаний (знак “-”) пружина растянута, что увеличивает частоту этой моды колебаний. Если смещён только один из маятников, мы имеем две нормальные моды колебаний, находящихся в определённой относительной фазе.
Но поскольку частота нечётного колебания немного выше частоты чётного колебания, относительная фаза меняется. Через некоторое время два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, амплитуда α1 упадет до нуля, в то время как амплитуда α2 достигнет максимума и т. д.
Рассмотрим ситуацию с энергетической точки зрения. При t = 0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1, в результате связи через пружину, энергия постепенно передаётся от маятника 1 к маятнику 2 до тех пор, пока вся энергия не скопится в маятнике 2. Время необходимое для перехода энергии от 1 к 2 и обратно можно получить из уравнения:
12 (ω− − ω+)tобм = π
Тогда частота, с которой осцилляторы обмениваются энергией, находится так:
ωобм = |
2π |
= ω− − ω+. |
(20.26) |
|
|||
|
tобм |
|
|
Эта частота называется частотой биения.
Принцип работы прибора состоит в том, что колебание каждого из двух, соединенных друг с другом пружиной, маятников, состоит из суммы двух синусоидальных колебаний с частотами близкими ω1 и ω2.
20.1. Краткая теория |
5 |
|
|
Значения этих частот зависят от параметров маятников (их длины, массы грузов, жесткости пружин и места закрепления пружин), но не зависят от начальных условий возникновения колебаний. В общем случае, совершающие колебания маятники, подвергаются явлению “биения”.
При возбуждении колебаний связанных маятников внешней синусоидальнй силой, действующей на один из них, оба маятника будут совершать колебания с частотой внешней силы. В случае разных длин маятников резонанс колебаний будет наблюдаться тогда, когда одна из с обственных частот связанных маятников будет равна частоте силы, возбуждающей колебания. В этом случае наблюдается “двугорбый” резонанс.
Рис. 20.3. “Двугорбый” резонанс. ω1 – собственная частота колебаний 1-го маятника, ω2 – собствен-
ная частота колебаний 2-го маятника.
При первом резонансе маятники будут иметь одинаковые фазы, но угол отклонения более длинного маятника будет больше и частота будет близка собственной частоте ω1 более длинного маятника. Собственная частота более короткого маятника ω2 > ω1. При повторном резонансе маятники
будут иметь противоположные фазы, а частота будет близкой собственной частоте более короткого маятника ω2. Диаграмма двугорбого резонанса наблюдается также при равных параметрах
маятников.
Ниже (рис. 20.4) представлена диаграмма, реализованная при представлении “биения” маятников. Во время колебаний амплитуда отклонения маятников по очереди изменяется от нуля до максимума.
Рис. 20.4. Диаграмма “биения” маятников.
Период "биения"(Tбиения) понимается как промежуток времени между двумя очередными мак-
симальными амплитудами колебаний маятника.
20.2. Описание экспериментальной установки |
6 |
|
|
20.2. Описание экспериментальной установки
20.2.1. Лабораторная установка “Связанные маятники”
Схема лабораторной установки “Связанные маятники” приведена на рисунке 20.5. Установка состоит из двух идентичных маятников, представляющих собой стальные стержни 2, на которых закреплены грузы 1. Грузы могут
перемещаться вдоль стержня. Маятники соединены пружиной 3, точки крепления которой 4 также могут перемещаться вдоль стержня между грузом 1 и точкой подвеса 5. Измерение времени колебаний осуществляется ручным
секундомером.
20.2.2. Лабораторная установка FPM-13
Общий вид прибора FPM-13 для исследования колебаний связанных систем представлен на рис. 20.6. Он соРис. 20.5. Схема лабораторной установстоит из следующих составных частей: основания 1, вер-
ки “Связанные маятники” тикальной стойки 2, на которой размещены верхний 3 и нижний 4 кронштейны. На стержне 5 верхнего кронштейна находятся три подвески 6, на которых посредством шариковых подшипников подвешены два
маятника и стержень 7, возбуждающий колебания.
Рис. 20.6. Схема лабораторной установки FPM-13.
Маятники состоят из стержня 8 и перемещаемого груза 9. Маятники соединены друг с другом при помощи двух пружин 10, закрепленных в специальной С-образной обойме 11, которую можно
перемещать вдоль стержней маятников.
20.3. Выполнение измерений |
7 |
|
|
Возбуждение колебаний маятников осуществляется при помощи приводного диска, закрепленного на вале электродвигателя, который, перемещая стержень 7, соединенный при помощи двух пружин 10 со стержнем маятника, возбуждает колебания.
К нижнему кронштейну прикреплена угловая шкала 13, позволяющая измерять амплитуды колебаний маятников. К нему прикреплены также фотоэлектрический датчик 14, световой поток
которого пересекает стержень одного из совершающих колебания сопряженных маятников.
На основании 1 закреплены блок управления и измерения 12, который содержит миллисекун-
домер для измерения времени и числа колебаний, а также тумблер включения электродвигателя и регулятор его скорости вращения (частоты колебаний).
Прибор для исследования колебаний несвободных систем позволяет измерять периоды и частоты синфазных и антифазных колебаний двух связанных маятников, наблюдать биения и вынужденные колебания, вызванные действием внешней силы.
20.3. Выполнение измерений
20.3.1. Лабораторная установка “Связанные маятники”
Запуск колебаний на данной установке осуществляется вручную. Измерение времени колебаний производится с помощью секундомера.
20.3.2. Лабораторная установка FPM-13
Определение частоты синфазных и противофазных колебаний связанных маятников.
1) Измерение частоты синфазных колебаний:
а) установить обоймы, крепящие пружины на верхней части стержней, для обоих маятников на одинаковом расстоянии (одинаковые грузы и пружины);
б) отсоединить пружины от обоймы, соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания, - нажать <СЕТЬ>;
в) отклонить маятники в одну сторону на небольшой угол и отпустить их;
г) нажать <СБРОС>;
д) подсчитать прибором 10 периодов колебаний и нажать <СТОП>;
е) считать с индикаторов время и количество колебаний;
ж) вычислить частоту синфазных колебаний связанных маятников.
2)Измерение противофазных измерений проводится аналогично, как измерение синфазных колебаний, но маятники надо отклонить в противоположные стороны на одинаковый угол.
3)Возбуждение связанных маятников внешней синусоидальной силой:
а) установить пружины на обойму соединенную со стержнем, возбуждающим колебания; б) включить питание двигателя; в) регулируя обороты двигателя наблюдать амплитуду колебаний маятников;
г) когда маятники колеблются с амплитудой около 20◦ происходит явление резонанса.
4) Наблюдение явления биения связанных маятников:
а) отсоединить пружины от обоймы соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания;
б) установить произвольные параметры маятников’ в) один из маятников отклонить на любой угол и отпустить; г) наблюдать происходящее явление.
20.4. Порядок выполнения работы |
8 |
|
|
20.4. Порядок выполнения работы
20.4.1.Измерения с помощью лабораторной установки “Связанные маятники”
1)Соединить маятники пружиной вблизи точек подвеса на одинаковых расстояниях l0 = 10 см. Установить грузы маятников на максимальном одинаковом расстоянии l от точки подвеса.
2)Определить период T + и частоту ω+ симметричной нормальной моды. Для возбуждения сим-
метричной моды маятники отклоняются от положения равновесия в одну сторону на небольшое расстояние (3–5 см) и отпускаются без начального толчка. Измеряется время t+ , в течение которого они совершат n+ полных колебаний (n+ = 10 ÷ 20 колебаний). По этим данным
рассчитывается период T + = nt++ и частота ω+ = T2π+ .
3)Повторить действия, описанные в п. 2, для антисимметричной нормальной моды. При этом маятники отводятся от положения равновесия в разные стороны на 3–5 сми отпускаются без начального толчка. Измеряется время t−, в течение которого совершаются n− = 10÷20 полных
|
− |
|
t− |
|
− |
|
2π |
|
колебаний, далее рассчитывается период T |
|
= |
|
и частота ω |
|
= |
|
. |
|
n− |
|
T − |
|||||
4) По данным п. п. 2, 3 рассчитать период биений по формуле
2π
T= ω− − ω+
5)Измерить период биений, для чего отклонить один из маятников от положения равновесия на расстояние 3–5 см, удерживая второй в положении равновесия. После этого первый маятник отпускают без начального толчка. Измерить время t , через которое первый маятник остановится, и рассчитать период биений T = 2t.
6) |
Повторить действия, описанные в п. п. 2-5 для других значений параметра l0 = |
|
15, 20, 25, . . . , 60 см. |
7) |
Построить графики зависимости периодов симметричной T + и антисимметричной T − моды |
|
от l0. Рекомендуется нанести оба графика на один рисунок. Сравните качественный характер |
|
этих зависимостей с предсказаниями теории. |
8)Построить график зависимости периода биений T от l0 . На этот же график нанести зависимость T (l0), полученную путем расчетов (п. 4). Сопоставить оба графика.
9)По формуле (20.19) вычислите коэффициент жесткости пружины k. Массу груза маятника
определите путём взвешивания на весах. Массой стержня можно пренебречь.
20.4.2. Измерения с помощью лабораторной установки FPM-13
С помощью данной установки требуется изучить собственные колебания одинаковых связанных маятников, что сводится к опытному нахождению нормальных частот ω− и ω+. Исследовать
резонанс связанных маятников.
1)Соединив пружинкой маятники, отклонить их на небольшой угол ( 10◦). После чего плавно
отпустить маятники и измерить секундомером время t, за которое происходит n колебаний, и
по формуле ω+ = 2π nt найти нормальную частоту колебаний. Измерение проделать не менее
трёх раз.
2)Аналогично пункту 1 измерить нормальную частоту ω− противофазных колебаний.
3)Отклонить маятник 1, оставив маятник 2 в положении равновесия (придерживая рукой), воз-
будите несимметричные колебания и убедитесь, что они представляют собой биения. По формуле ωобм = 2π nt определите частоту биений.
4)Найденную в пункте 1 частоту ωобм сравнить с рассчитанной по формуле ωобм = ω− − ω+.
5)По формуле (20.19) вычислите коэффициент жесткости пружины k. Массу груза маятника
определите путём взвешивания на весах. Массой стержня можно пренебречь.
6)На установке FPM-13, определив ω− и ω+б исследовать возбуждение связанных маятников
внешней синусоидальной силой.
20.5. Контрольные вопросы |
9 |
|
|
20.5. Контрольные вопросы
1)Какие системы называются связанными?
2)Как определяется вращающий момент в связанных маятниках?
3)На что влияет жесткость пружины и точка её крепления на спице?
4)Что такое биения, и при каких условиях они возникают?
5)Как определить частоту биений?
6)В чём заключается явление резонанса?
7)Получите уравнения колебаний связанных идентичных маятников и охарактеризуйте их решения.
8)Охарактеризуйте собственные (нормальные) моды системы связанных маятников и приведите формулы для собственных частот.
9)Как по данным измерения собственных частот можно определить жесткость пружины?
10)Что такое нормальные колебания.