Mechanics-19
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет
им. П. Г. Демидова
В.П. Алексеев, Е. О. Неменко,
В.А. Папорков, Е. В. Рыбникова
Лабораторная работа № 19
Изучение собственных колебаний физического маятника с пружинами.
Ярославль 2013
Лабораторная работа № 19.
Изучение собственных колебаний физического маятника с пружинами1
Цель работы:
•изучение собственных колебаний маятника при различной приведённой длине;
•определение момента инерции маятника.
Оборудование:
•экспериментальная установка “Физический маятник с пружинами;
•секундомер.
19.1. Краткая теория
Рис. 19.1. Физический маятник с пружинами
Физический маятник представляет собой твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции (рис. 19.1). В положении равновесия центр инерции маятника C находится под точкой подвеса маятника O, на одной с ней вертикали. При отклонении маятника от положения равновесия на угол ϕ возникает момент силы тяжести M0,
стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Модуль момента силы тяжести:
M0 = −mgL sin ϕ, |
(19.1) |
1Ранее данная работа имела номер 11.
1
19.2. Описание экспериментальной установки |
2 |
|
|
где m – масса маятника, L – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника. Если в точке P на расстоянии l от точки подвеса к маятнику прикреплены две пружины с
коэффициентами жесткости k1 и k2, как показано на рис. 19.1, то возникает дополнительный момент
сил:
|
M′ = F l cos ϕ, |
(19.2) |
|||||
где F – сила упругости: |
|
||||||
F = −(k1 + k2)l sin ϕ, |
(19.3) |
||||||
Результирующий момент равен: |
|
||||||
|
|
= |
|
0 + |
|
′. |
(19.4) |
|
M |
M |
M |
||||
В случае малых колебаний для модуля M получается более простое выражение (т. к. sin ϕ ≈ ϕ,
cos ϕ ≈ 1): |
|
M = −mgLϕ − (k1 + k2)l2ϕ. |
(19.5) |
Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса (ось качания), буквой J, запишем уравнение колебаний маятника в виде:
M = Jϕ′′ = − mgL − (k1 + k2)l2 ϕ′′.
Это уравнение является уравнением гармонических колебаний:
ϕ′′ + ω2ϕ = 0,
в котором циклическая частота колебаний ω равна: |
|
|
||
|
|
|
|
|
ω = r |
|
mgl + ( J |
. |
|
|
|
k1 |
+ k2)l2 |
|
Период колебаний определяется выражением: |
|
|
||
s
T = 2π M + M′ + M0 . mgl + (k1 + k2)l2
(19.6)
(19.7)
(19.8)
(19.9)
Если в течение опыта величины m, g, L, J, k1, k2, оставались постоянными, а менялась только величина l, то график зависимости
f(l2) = |
2π |
(19.10) |
|
T 2 |
|||
|
|
должен иметь вид прямой, которая отсекает на оси ординат отрезок f(0) = mgL/J и имеет тангенс угла наклона к оси абсцисс, равный tg α = (k1 + k2)/J . Отсюда, при известных m, g, (k1 + k2) находятся величины J и L.
19.2. Описание экспериментальной установки
Экспериментальная установка изображена на рис. 19.2. На основании 1 установлена стойка 2, которая закрепляется на основании винтом 3. В верхней части стойки запрессована ось качания 4, на которой в шарикоподшипнике подвешен маятник, состоящий из стержня 5 и груза 6. На стойке имеется кронштейн 7, который через пружины 8 соединён с втулкой 9, охватывающей стержень 5. Пружины прикрепляются к кронштейну и втулке через винты с ушками 10. Винтами регулируется равномерность натяжения пружины. Кронштейн 7 может передвигаться по стойке и закрепляется винтом 11.
Груз 6 и втулка 9 могут передвигаться по стержню и закрепляться соответственно винтами 12
и13. На стойке и стержне имеются риски с цифрами, которые используются для установки груза
ипружин на требуемых расстояниях от оси качания.
Если груз устанавливается так, что его верхняя грань совпадает с риской на стойке, то соответствующая этой риске цифра даёт в мм расстояние от центра груза до оси качания. Центр груза может располагаться на расстояниях, 100 мм, 150 мм, 200 мм, 250 мм, 300 мм, 325 мм до оси качания.
Установка кронштейна и втулки также производится по их верхним граням.
Если верхняя грань кронштейна совпадает с риской на стойке, то соответствующая цифра даёт расстояние в мм от осевой линии пружин (при условии, что оси пружин горизонтальны) до оси качания. Для горизонтального расположения осей пружин верхняя грань втулки совмещается с соответствующей риской на стержне. Осевая линия пружин может располагаться на расстоянии 50 мм, 100 мм, 150 мм, 200 мм, 250 мм от оси качания.
19.3. Порядок выполнения работы |
3 |
|
|
Рис. 19.2. Схема установки “Физический маятник с пружинами”
19.3. Порядок выполнения работы
1)Стойка 2 устанавливается вертикально по уровню, укреплённому на основании 1.
2)Груз 6 закрепляется на расстоянии R1 = 325 мм от оси качания.
а) Определяется период собственных колебаний маятника T для четырёх положений кронштейна, соответствующих расстояниям 50, 100, 150 и 200 мм от осевой линии пружин до
оси качания.
б) Период T вычисляется по времени двадцати колебаний маятника t/20; измерение t про-
водится не менее трёх раз.
в) Вычисляются ошибки эксперимента для периода T и величины (2π/Т)2.
г) По результатам вычислений строится график зависимости (2π/Т)2 от l2 с указанием ошибок, полученных для вычисления (2π/Т)2.
3) Груз 6 закрепляется на расстояние R2 = 250 мм от оси качания.
а) Измеряется период колебания маятника Т для четырёх положений кронштейна, указанных в пункте 2а.
б) Строится график зависимости (2π/Т)2 от l2 аналогично пункту 2г.
4) Из построенных графиков находятся величины F (0) и tg α. По формуле:
m0(R2 − R2)
k1 + k2 = 1 2 (19.11) ctg α1 − ctg α2
определяется коэффициент упругости пружин k1 + K2. Здесь m0 – масса груза маятника.
5)Затем вычисляют момент инерции маятника J и L – расстояние между центром инерции
маятника и осью качания.
19.4. Контрольные вопросы |
4 |
|
|
19.4. Контрольные вопросы
1)Дайте определение момента сил и момента импульса.
2)Сформулируйте законы вращательного движения.
3)Почему маятник необходимо устанавливать по уровню?
4)Как выглядит дифференциальное уравнение колебаний маятника с пружинами?
5)Какой вид имеет решение этого уравнения?
6)Каким образом период колебаний зависит от массы груза?
7)Каким образом период колебаний зависит от жесткости пружины?
8)Зависит ли частота колебаний пружинного маятника от амплитуды колебаний?
9)Каким был бы результат опыта в условиях невесомости?
10)Проанализируйте возможные причины погрешности в каждом из экспериментов.
Литература
1.Майсова, Н. Н. Практикум по курсу общей физики / Н. Н. Майсова. – М.: Высшая школа, 1970.
2.Иверонова, В. И. Физический практикум: Механика и молекулярная физика / В. И. Иверонова.
– М.: Наука, 1967.
3.Комплект описаний к “Типовому комплекту учебного оборудования ”Механика“ на 6 рабочих мест” / НПИ “Учебная техника и технологии” ЮУрГУ – Челябинск, 2008.
4.Каленков, С. Г. Практикум по физике. Механика / С. Г. Каленков. – М.: Высшая школа, 1990.
5.Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Т.1: Механика / Д. В. Сивухин. – М.: Наука, 1989 (и др. года издания).
6.Савельев, И. В. Курс общей физики (Том 1. Механика) / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1970 (и др. года издания).
7.Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М.: Наука, 1971
8.Касандрова, О. Н. Обработка результатов наблюдений / О. Н. Касандрова, В. В. Лебедев. – М.: Наука, 1970.
9.Зайдель, А. Н. Элементарные оценки ошибок измерений / А. Н. Зайдель. – М.: Наука, 1967.
10.Щиголев, Б. Н. Математическая обработка наблюдений / Б. Н. Щиголев. – М.: Физматгиз, 1962.
5
Оглавление
19.Изучение собственных колебаний физического маятника с пружинами2 |
1 |
|
19.1. Краткая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
1 |
19.2. Описание экспериментальной установки . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
19.3. Порядок выполнения работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
19.4. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
2Ранее данная работа имела номер 11.
6
Учебное издание
Алексеев Вадим Петрович
Неменко Евгений Олегович
Папорков Владимир Аркадьевич Рыбникова Елена Владимировна
Лабораторная работа № 19
Изучение собственных колебаний физического маятника с пружинами.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова 150000, г. Ярославль, ул. Советская, 14.