Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1313 вуза, 5306 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Ростовский Государственный Университет Путей Сообщения
Предмет:
Теоретическая механика
Файл:
Лекции / SKD_Lektsia_15_-_Teorema_ob_izmenenii_kineticheskoy_energii.pptx
Скачиваний:
21
Добавлен:
19.09.2024
Размер:
5.1 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

4.4.1. Поступательное движение твердого тела

 

 

 

 

 

N

m

 

v2

 

v2

N

 

N

 

 

T M

v2

 

 

 

 

T

k

 

k

2

 

mk , M mk ,

2

 

 

 

 

 

k 1

2

 

 

 

 

k 1

 

k 1

 

 

 

ω

 

 

 

 

4.4.2. Вращательное движение твердого тела

 

2

 

 

 

 

 

N

m

v

2

 

 

2

N

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

mk hk2

 

 

 

 

 

hk

vk

 

vk hk ,

k

 

k

 

 

2

 

2

Jz .

T Jz

2

 

 

 

 

 

k 1

2

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jz – момент инерции твердого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тела относительно оси вращения

 

 

 

Mv2

4.4.3. Плоскопараллельное движение твердого тела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ

B

T

2 C TC( r ) , TC( r )

 

JCz 2

 

 

 

 

MvC2

2

 

A

 

При плоском движении твердого тела кинетическая энергия складывается из

T

 

2

JCz

 

2

 

 

кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярно плоскости движения тела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ma F

dr m dv dt

dr v dt

 

dv

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

m dt

F dr

 

m dt

dr

F

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mv dv dA

 

 

 

 

 

 

dA F dr

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

mv

 

mv

 

 

 

 

 

mv

dv

d

2

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме:

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку

 

 

2

 

mv

 

dA

d

2

 

 

 

 

 

 

2

 

d

 

 

2

 

dA

mv

 

dA dt

mv

 

 

d

2

 

 

 

2

 

dt

 

 

 

dt

 

 

Мощность:

Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке

Nd mv2

dt 2

 

 

2

 

v

 

 

2

M

mv

 

dA

 

mv

 

dA

d

2

 

d

2

 

 

 

 

v0

 

 

M0

mv2 2 mv202 A

Теорема об изменении кинетической энергии точки в конечной форме:

Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении

 

 

5.1.1. Пример 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тело весом P падает на пружину без начальной скорости с высоты h.

 

 

P

 

h

 

 

Определить наибольшее сжатие пружины λ, если ее статическое сжатие под

 

 

F

 

 

действием этого тела равно λст . Массой пружины пренебречь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Fупрупр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

упр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

упр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fупрупр

λ

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2

 

Fупр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mv

mv0 ;A v

 

 

A A A

 

P( h ) c ;

 

 

 

 

0

; 0 v ; 0

упр

 

 

 

 

2

 

2

 

P

 

2

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

P

 

P 2

0

P( h ) c ;2

с

ст;

0 P( h )

ст ;2

2 2 ст 2 ст h 0 2 ст ст2 2 стh

Ответ: 2 ст ст2 2 стh

 

 

 

 

5.1.2. Пример 2

 

 

P , подвешенному в точке О1

 

 

 

 

 

 

O1

 

 

Грузу

весом

на пружине, статическое удлинение

 

 

 

которой под действием груза P равно λст , сообщена начальная скорость v0 из положе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fупр

ния М0 вертикально вниз.

 

 

 

 

 

 

 

O

 

M0

Определить скорость груза в положении М, если груз скользит по кольцу радиусом

R

 

N

 

R , что ОО1 = R и естественная длина пружины равна R.

 

 

 

 

 

 

 

v0

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

mv2

 

mv2

 

c

 

 

 

 

v

M

 

 

 

 

A Ph

2

2

c P ; ст

h R

 

 

1

vk

P

2

2

0 ;A

2

r1

r0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

PR

P

R

2

R

2

 

2

1

2

 

 

1

 

R

 

2 1

 

 

r0 R 2 R

 

 

 

 

A PR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ст

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

ст

 

;

 

 

r1 2R R R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 R

 

P v

 

 

P v0

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

PR 1

 

2 1

 

v

 

 

 

 

1

 

 

g 2

g 2

ст

 

v0

2gR

 

ст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: v v02 2gR( 1 ( 2 1 )R ст )

 

 

( i )

 

( i )

m

1

v2

 

 

 

( e )

 

 

 

 

( i )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( e )

F1

 

 

 

 

 

1

 

 

F1

 

 

dr1 F1 dr1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2

d

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F1 m1

m2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

( e )

 

 

 

( i )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( e )

m

2

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m3

F

 

 

 

 

2

 

F2

 

 

 

dr2 F2 dr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( i )

 

 

2

II

 

 

 

 

 

N

 

Mk

 

 

 

 

 

 

N

 

Mk

 

 

 

 

 

mk

 

 

 

 

 

 

 

( i )

 

 

 

Fk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( e )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dT

 

 

 

 

 

dA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

mk vk

 

 

 

( e )

 

k

 

( i )

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fk

drk

Fk

k

drk

 

 

 

 

 

 

 

mN

 

 

 

I

2

 

 

 

 

 

k

1 M

k0

 

 

 

 

1 M

k0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

F

( e )

 

( e )

m

N

v

2

 

 

 

 

( e ) N

 

( i )

 

 

 

 

 

 

 

 

FN

 

d

 

 

 

N

 

F

 

 

 

 

dr F

 

 

 

dr

 

 

 

( i )

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

FN( i )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( e )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T2

 

 

T0

 

Ak

 

 

 

 

ТеоремаAk

об изменении

 

 

 

 

 

N m v

2

 

 

 

N k 1

 

 

 

N

 

 

 

 

кинетической энергии системы в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( i )

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( e )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциальной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

Fk

 

drk Fk drk

 

 

 

 

d

 

2

 

 

 

 

 

Дифференциал от кинетической

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема об изменении кинетической энергии системы в конечной форме:

сумме

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного

всех

 

 

 

dT

 

 

 

 

 

 

dA( e )

 

 

 

 

dA( i )

 

 

 

 

 

положения в другое равно

суммеk работ всех внешнихk

и внутренних сил,

сил,

 

 

действующей на систему,k 1

на соответствующихk 1

перемещениях точек системы

у

 

N

N

 

 

T T0 Ak( e )

Ak( i )

 

 

k 1

k 1

 

 

F ( i )

F ( i )

F ( i )

F ( i )

0

1

2

1

2

 

 

N

 

 

 

 

Fk( i ) 0

 

 

N

k 1

 

 

 

Ak( i ) 0

A1( i ) A2( i )

k 1

6.1. Частный случай

М1

 

N

Ak( i ) 0 A1( i ) A2( i ) k 1

N

T T0 Ak( e ) k 1

S1

М1

( i )

 

 

 

 

F1

 

М1

( i )

 

 

 

 

F1

 

F

( i )2

 

F2( i )2

 

2

 

 

S2

S1 S2

S1

F1( i )

F2( i )2

S2

S1 S2

6.1.1. Пример 1

В маятнике Макcвелла однородный цилиндр весом P и радиусом R падает вниз без начальной скорости, разматывая нить.

Определить скорость оси цилиндра С в зависимости от высоты его опускания.

S

Решение:

R

T T0

C

 

v

P

 

( e )

 

 

A

( e )

Ph;

 

 

P v2

 

 

 

2

;

 

 

 

 

T

C

JCz

;

A

 

 

 

 

 

 

 

g 2

2

 

 

P R2

 

 

 

 

 

 

 

 

JCz

 

vC R;

 

 

 

 

 

 

g

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T P vC2

P R2 vC2

 

3 P v;

2

 

 

 

 

g

 

2

 

g 2 2R2

 

4 g

C

 

 

 

 

3 P v2

Ph;

 

 

 

 

vC

 

2

3gh

4 g

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Ответ: vC 23 gh3

6.1.2. Пример 2

Колесо А катится по горизонтальной поверхности под действием постоянного вращающего момента М и посредством нити, переброшенной через неподвижный блок С, приводит в движение груз В, скользящий вверх по наклонной плоскости.

Масса колеса А - m1

, блока С - m2

, груза В - m3

, радиус колеса А - r1 , блока С - r2 , момент трения на блоке - Mтр ,

угол наклона плоскости – α , коэффициент трения между грузом и плоскостью - f.

Определить скорость груза В в момент, когда колесо А переместится на расстояние s . В начальный момент

система находилась в покое.

 

 

 

 

s

 

 

 

Решение:

M

N1

 

 

 

 

 

 

T T0 A;

A

Mтр

 

 

 

 

 

 

 

N2

 

T0 0;

 

 

C

 

N3

 

P1

 

 

 

T TA TC TB ;

 

 

 

 

 

 

 

P2

 

B

A AM AMтр AP3 AFтр .

 

 

 

 

 

 

 

α

Fтр

 

 

 

 

 

P3

Соседние файлы в папке Лекции
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности