Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции / SKD_Lektsia_14_-_Teorema_ob_izmenenii_kineticheskogo_momenta.pptx
Скачиваний:
3
Добавлен:
19.09.2024
Размер:
553.87 Кб
Скачать

Кинетическим моментом точки относительно какого-либо центра называют момент количества движения точки относительно этого центра:

 

 

 

kO MO mv r

mv

В проекциях на координатные оси:

z

v

 

kOx Mx mv m yvz

kO

 

 

m

 

q mv

kOy M y mv m zvx

 

r y

kOz Mz mv m xvy

O

 

 

 

 

 

kOO

 

 

 

 

 

 

r mv

 

 

 

Размерность:

k

 

 

 

 

 

м кг

м

 

 

 

 

 

 

 

с

zvy ; xvz ; yvz .

н м с

 

 

 

 

Кинетическим моментом системы или главным моментом

 

 

количества движения системы относительно какого-либо

 

 

центра называется векторная сумма кинетических моментов

 

 

точек этой системы относительно того же центра

 

 

 

 

N

N

 

 

N

 

 

 

KO kOk

MO mkvk

rk

mkvk

 

 

 

k 1

k 1

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В проекциях на координатные оси:

KOx Mx mkvk mk ykvkz zkvky ; KOy My mkvk mk zkvkx xkvkz ; KOz Mz mkvk mk xkvky ykvkx .

z

hkmkvk

 

 

M

KO

 

Kz

ω

rk

 

 

 

 

y

О

x

 

N

 

Kz Mz mkvk ; vk hk ;

 

k 1

 

Mz mkvk hkmkvk mkhk2 k ;

 

N

N

Kz mk hk2 mkhk2 Jz

 

k 1

k 1

Kz Jz

Кинетический момент тела относительно оси вращения равен произведению его угловой скорости на момент инерции относительно оси вращения

Kx Jxz , Ky J yz , где Jxz , Jyz – центробежные

моменты инерции.

Jxz J yz 0, Kx Ky 0, если Оz – главная ось

инерции тела для точки О.

z

k0 M0 m

r0 r

O

dkO

dt

mv0

M

y

MO F

 

 

m

dv

 

 

 

 

 

 

 

m

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

ma F

 

dt

F

r слева ; r

dt

r

F ;

 

dv

 

d

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r m dt

 

 

r

mv

dt

mv ;

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

mv

v mv 0;

 

 

 

 

 

r mv r F ;

dt

 

 

 

dt

Производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра

В проекциях на координатные оси:

dkx

 

 

dky

 

 

 

 

Mx F

;

M y F

;

dkz Mz F

.

 

 

 

dt

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rk mkvk rk

Fk e rk

Fk i ,

k 1, N ;

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

d

 

N

 

 

 

 

N

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

rk mkvk

rk Fk e

 

 

rk Fk i

;

 

 

 

rk Fk i 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt k 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

N

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

rk mkvk KO ; MO MO Fk e

rk Fk e ;

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

k 1

 

 

 

 

dKO

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная

по

времени

от

кинетического момента

 

 

 

 

MO

 

 

 

системы относительно какого-либо центра равна главному

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

моменту внешних сил относительно того же центра

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В проекциях на координатные оси:

dKx

MOxe ;

dK y

MOye ;

dKz

MOze .

 

 

 

dt

dt

dt

Для материальной точки:

 

 

 

 

 

 

Если момент силы, приложенной к материальной точке

Если MO F 0,то dkO

 

 

равен нулю, то кинетический момент точки постоянен

0;

 

kO const

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для механической системы:

 

 

Если главный момент всех внешних сил, приложенных к системе,

 

 

 

равен нулю, то кинетический момент системы постоянен

 

ЕслиMOe 0,то dKO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0;

 

KO const

dt

 

 

 

 

проекциях на координатные оси:

Для материальной точки: Для механической системы:

Если Mx F 0

, то kx const;

Если Mxe

0, то Kx const;

 

My F 0

,

ky const;

e

0,

Ky const;

Для тела, вращаю-

My

щегося вокруг оси Oz:

Mz F 0,

kz const;

Mze

0,

Kz const;

Jz Jz0 0

F1(e)

RA

x

z

 

 

dKz

 

 

n

 

 

 

 

;

Kz Jz ;

 

B

RB

Mz Fk e

 

 

 

 

dt

 

k 1

 

 

 

 

 

e

 

 

ε

 

 

 

Jz

d

 

n

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

Mz Fk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

Дифференциальное

 

 

 

 

 

 

n

 

 

e

 

 

 

 

(e)

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение

 

 

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вращательного

 

 

Jz Mz Fk

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

движения

 

ε

 

 

n

 

 

 

e

 

 

e

const ,

const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

Mz Fk

Mz

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

F(e)

 

k 1

Равнопеременное вращение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

Если

 

 

 

 

 

то

 

 

A

 

Mz Fk

 

Mz

0 ,

 

0, const

 

 

k 1

 

Равномерное вращение

 

 

 

 

 

 

Разложим плоское движение на поступательно со скоростью центра масс и вращательное вокруг центра масс.

z1

φ

 

z

С y1

x1

Мk

y

O

По теореме о движении центра масс для поступательной части

движения:

n

e

 

n

e

 

 

,

;

 

 

MxC Fkx

MyC Fky

По теореме об

k 1

 

 

k 1

 

 

изменении кинетического момента в

относительном движении вокруг центра масс:

 

 

r

n

 

 

 

dKCz

MCz Fk e ,

dt

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

MxC

Fkxe

 

 

k 1

 

 

 

 

n

e

 

 

 

 

MyC

Fky

 

 

 

k 1

 

e

 

 

n

 

 

 

 

JCz MCz Fk

k 1

KCzr JCz JCz ;

Дифференциальные уравнения плоского движения тела

O

φ h

 

 

 

 

С

l

O1

P

 

 

 

n

e

; JOz Phsin ;

 

 

 

JOz MOz Fi

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

Mgh

sin 0

дифференциальное

уравнение

 

движения физического маятника –

 

 

 

 

JOz

 

 

не интегрируется в элементарных

 

 

 

функциях.

 

В случае малых колебаний ( sinφ ≈ φ ): Mgh 0

J\Oz

Общее решение дифференциального

Asin kt

уравнения

малых

колебаний

физического маятника :

 

l

JOz

 

 

– приведённая длина физического маятника;

O

точка привеса;

Mh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

центр качаний;

k

Mgh

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JOz

 

 

 

 

круговая частота колебаний;

A1

 

 

 

 

l

амплитуда колебаний;

 

 

2

 

 

 

 

 

JOz

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

2

 

 

2

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– период малых колебаний.

начальная фаза колебаний;

k

 

 

Mgh

g

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведенная длина физического маятника больше расстояния от точки

 

привеса до центра масс –

l > h .

 

 

 

 

 

Применяя теорему Штейнера получим:

 

 

 

 

 

l

J

Oz

 

J

Cz

Mh2

 

J

Cz

 

h h, так как O1C

J

Cz

 

l h 0.

 

 

 

Mh

Mh

Mh

 

 

Mh

 

 

 

 

 

Центр качаний и точка привеса обратимы (взаимозаменяемы).

Если то же тело подвесить за ось, проходящую через центр качаний параллельно первоначальной оси, то приведенная длина полученного нового физического маятника будет равна приведенной длине

 

 

старого l1 = l .

 

 

 

 

 

 

Применяя теорему Штейнера получим:

 

 

 

 

 

l1

 

JO z

 

J

Cz

M l h 2

 

J

Cz

l h l, так как JCz Mh l h .

1

 

 

 

M O1C

 

 

M l h

M l h

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке Лекции