
- •Внешними силами механической системы называют силы, действующие на систему со стороны механических объектов,
- •Величины, характеризующие распределение масс системы относительно точки (центра), оси, плоскости, выражающиеся через суммы
- •Количеством движения материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость:
- •Количеством движения системы называют векторную сумму количеств движения точек, входящих в систему:
- •Вычисление количества движения системы:
- •Действие силы F на материальную точку в течении времени dt можно охарактеризовать элементарным
- •Для материальной точки:
- •Следствием из теоремы об изменении количества движения системы является теорема о
- •Центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, если векторная сумма всех внешних сил,
- •На основании теоремы о

Внешними силами механической системы называют силы, действующие на систему со стороны механических объектов, не входящих в систему
|
F(e) |
|
Fn' |
1 |
F1' |
|
||
|
|
Fn(e)
F1(e),F2(e),Fn(e)
Рассматриваемая
механическая система F2'
F2(e)
– внешние силы системы
Внутренними силами механической системы называют силы взаимодействия между точками и телами системы
|
F(i) |
|
m2 |
|
|
(i) |
|
|
21 |
F2n |
|
|
|
|
|
F(i) |
|
Fn2(i) |
mn |
12 |
|
||
|
|
|
m1F1n(i) Fn1(i)
F12(i) ,F21(i), … ,Fn1(i) – внутренние силы системы

|
|
|
|
|
|
|
|
еорема: |
|
Главный вектор всех внутренних сил системы и главный момент |
|
|
|
этих сил относительно любой точки равны нулю при любом |
|
|
|
состоянии системы |
|
|
|
|
|
|
|
F2(i) |
M2 |
F1(i) |
F2(i) |
M |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
F (i) |
|
|
M1 |
|
|
|
M1 |
1 |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
r2 |
O

|
|
|
|
|
m |
|
|
d |
2 |
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Fk(i) |
|
|
|
|
|
|
|
F |
e F i ; |
|
||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
1 dt2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
d |
2 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
e |
F i |
|
|
||||||||||||||||
|
mk |
|
|
|
|
|
2 |
|
dt2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(xk , yk , zk) |
В проекциях. .на. .координатные. . . . . . . . . .оси:. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
md |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
m |
2dx rk |
F e |
F i |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k2 |
F ek |
|
F ik |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
F(e) |
|
|
k |
|
|
|
dt |
|
|
kx |
|
|
|
kx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
rk |
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
2 y2 |
|
|
|
e |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
d |
k |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
i |
|
|
||||||||||
O |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
km |
N |
|
2 |
|
|
|
N kyF |
|
kyF |
|
|
|
; k 1, N |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dt dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
m |
|
d 2 zk |
|
F |
e |
F |
i |
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
k |
|
dt |
2 |
|
|
|
|
kz |
|
|
|
kz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m |
|
d rk |
|
|
|
e |
|
|
|
i |
, k 1,N |
|||||||||||||||||
|
|
F |
|
F |
|||||||||||||||||||||||||
|
k |
dt2 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

|
m1 ,m2 ,...,mi ,...,mn ; |
M mi ; |
|
|
|
|
xC |
mi xi |
; |
|
|
|||||
|
r1 ,r2 ,...,ri ,...,rn ; |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
mi yi |
Координаты |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
miri |
yC |
||||||||
|
|
Радиус-вектор центра масс системы: |
|
|
|
|
|
центра масс |
||||||||
|
|
|
|
M |
|
M |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
rC |
|
|
|
|
системы: |
|
||||
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
zC |
mi zi |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
||||
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
Pi mi g;P Pi ; |
|
P r |
||||
|
|
|
P2 |
В поле силы тяжести: |
|
r i i |
||||||||||
|
r1 |
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
P |
|
|
r2 |
|
|
|
Статический момент системы |
|
|
|
||||||||
|
|
|
mi |
|
|
|
относительно полюса О:miri MrC ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
|
C |
ri |
Статические моменты системы |
|
yOz – m x Mx ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
относительно плоскостей: |
|
|||||||||
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
xOz –mi yi |
MyC; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i i |
|
C |
||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
xOy –mi zi |
MzC . |
||
O |
|
|
|
|
|
Статический момент системы относительно |
|
0; |
||||||||
|
y n |
|
P |
|
|
|
|
|
центра масс равен НУЛЮ: M C |
|||||||
|
|
|
|
Статические моменты системы относительно ЛЮБОЙ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
плоскости, проходящей через центр масс равны НУЛЮ |
|

m1 |
Z r2 |
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
r |
1 |
r2 |
z2 |
|
mi |
|
r |
|
|||
|
|
|
i |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ri |
|
|
O rn |
|
|
m |
||
|
|
|
|||
|
|
|
rn |
|
zni |
|
O |
|
|
|
zn
Величины, характеризующие распределение масс системы относительно точки (центра), оси, плоскости, выражающиеся через суммы произведений масс точек на квадраты их расстояний до точки (центра), оси, плоскости называются МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ относительно точки (центра), оси или плоскости
n
JO m–iriмомент2 инерции системы относительно центра О;
i 1 n
JZ m–iriмомент2 инерции системы относительно оси Z;
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
JxOy m–i ziмомент2 |
инерции системы относительно плоскости xOy; |
||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Моменты инерции твердого тела: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
|
|
|
n |
|
|
|
r2dm |
|
O |
|
r2 |
m |
||||||
|
lim |
i |
|
|
i |
|
– относительно центра О; |
||
y |
|
mi 0 |
|
i 1 |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
n |
|
|
|
|
|
J |
lim |
i |
2 |
i |
2dm– относительно оси Z; |
||||
|
|
|
r |
m |
r |
||||
|
|
mi 0 i 1 |
|
|
|
M |
|
x |
|
n |
|
|
mi 0 |
i 1 |
|
|
M |
|
|
|
|
|
кгi 1 |
|
|
|
|
||||||
|
J |
|
mмr |
|
lim |
|
n |
zi |
mi |
|
|
|
азмерность: |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
– относительно плоскости xOy; |
|
|
|
|
i i |
|
|
|
|
|
|
|
|

Величины, характеризующие распределение масс системы относительно точки (центра), оси, плоскости, выражающиеся через суммы произведений масс точек на квадраты их расстояний до точки (центра), оси, плоскости называются МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ относительно точки (центра), оси или плоскости
Момент инерции тела относительно оси часто представляют как произведение массы тела на квадрат некоторого расстояния: JZ M z2 ;
Это расстояние |
|
z |
|
|
Jz |
|
, |
|
|||||||
|
|
|
M |
|
называют РАДИУС ИНЕРЦИИ ТЕЛА относительно оси. |
||
Радиус инерции реальных тел определяют по специальным справочникам. |
JOz JCz Md2
Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между осями

Количеством движения материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки на ее скорость:
qmv
Впроекциях на координатные оси:
|
v |
|
qx mvx mx; |
||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
qy mvy my; |
||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
qz mvz mz. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
q mv |
|
|
x O |
|
|
mv |
||
|
|
Размерность: |
|||
|
|
|
кг м |
||
|
|
|
|
|
с |

Количеством движения системы называют векторную сумму количеств движения точек, входящих в систему:
|
N |
|
N |
|
Q |
qk mkvk |
|||
|
k 1 |
|
k 1 |
|
В проекциях на координатные оси:
N
Qx qxk k 1
N
Qy qyk k 1
N
Qz qzk k 1
N
mkvxk k 1
N
mkvyk k 1
N
mkvzk k 1
N
mk xk
k 1
N
mk yk
k 1
N
mk zk
k 1

Вычисление количества движения системы:
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
N |
N |
dr |
N |
|
||||||
|
|
Q mkvk mk k |
|
|
mkrk |
; |
||||||
|
|
|
||||||||||
N |
|
|
k 1 |
|
k 1 |
dt |
dt k 1 |
|
|
|||
|
|
|
rC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k k |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m r |
M |
r ; |
– радиус вектор центра масс системы |
||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Q M |
C |
M v |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество движения системы равно произведению массы системы на скорость центра масс

Действие силы F на материальную точку в течении времени dt можно охарактеризовать элементарным импульсом силы:
dS F dt
олный импульс силы:
t
S F dt
0
Размерность ( СИ ):
dS FH dtc
В проекциях на координатные оси:
t
Sx Fx dt;
0 t
Sy Fy dt;
0 t
Sz Fz dt;
0

|
mv0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
dv |
|
|
z |
|
|
|
|
ma F ; |
|
|
|
dt |
F ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M0 |
m |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r0 |
|
|
В проекциях на координатные оси: |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
O |
r |
|
|
|
dt |
mv F |
– теорема об изменении количества |
||||||
|
|
|
движения точки в дифференци- |
||||||||||
|
|
y |
|
|
mvx mv0 x |
Sx ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
альной форме |
|||||
|
|
|
|
|
|
Sy ; |
|
|
|||||
|
d mv Fdt; |
|
|
mv0 y |
|
|
|||||||
|
dmvyv dS |
альной форме |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– теорема импульсов в дифференци- |
|||
v |
|
|
t |
|
mv |
mv |
|
S |
; |
|
|
||
|
|
Fdt; |
|
|
z |
|
0 z |
z |
|
|
об изменении |
||
d mv |
|
mv mv |
|
S – теорема |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
количества движения точки |
||
v0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
в конечной форме |
Изменение количества движения точки равно полному импульсу силы, действующей на точку за период изменения

|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
mv F |
– теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
e |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, k 1, N . |
|||||||||
Для системы из N материальных точек: |
|
mkvk Fk |
|
Fk |
|
|||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
e |
|
N i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
d |
N |
|
|
N |
|
|
|
||||
Суммируя по всем точкам системы: |
|
|
mkvk Fk |
|
Fk |
. |
|
|||||||||
dt k 1 |
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mkvk |
Q ; |
|
|
Fk i 0 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:
dQ |
N |
|
Fk e |
||
dt |
k 1 |
|
Теорема об изменении импульсов системы в дифференциальной форме:
|
N |
|
|
N |
|
dQ Fk e dt ; |
dQ |
dSke ; |
|||
|
k 1 |
|
|
k 1 |
|

|
|
N |
|
|
|
Q |
N Sk |
|
|
|
|
|
|
dQ dSke ; |
Интегрируя обе части: |
dQ dSke ; |
|
|
|
|
|||||
|
|
k 1 |
|
|
|
Q |
k 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
e |
|
– теорема об |
изменении |
N |
|
|||||||||
Q Q0 |
|
e |
|
|
dt |
|||||||
Sk |
количества |
движения |
Или: Q |
Q0 |
Fk |
|||||||
|
|
k 1 |
|
системы в конечной форме. |
|
|
k 1 0 |
|
|
Изменение количества движения системы равно суммарному полному импульсу всех внешних сил, действующих на систему за период изменения
N |
|
Qx Q0 x Skxe ; |
|
k 1 |
|
N |
|
В проекциях на координатные оси: Qy Q0 y Skye |
; |
k 1
N
Qz Q0 z Skze . k 1