Лекции / SKD_Lektsia_12_-_Kolebania_materialnoy_tochki
.pptx
A
R
FB 
y
C
P 
T 
x D
На пружине АВ жесткостью с = 19,6 н/м подвешены магнит C массой m = 0.05 кг , движущийся в поле соленоида, по катушке которого идет переменный ток i = 20sin(8πt) и
пластина D массой m = 0.05 кг, движущаяся между полюсами постоянного магнита.
Сила взаимодействия между катушкой соленоида и магнитом T = 0.016πi Н. Ток идет с момента t = 0, втягивая стержень в соленоид.
Сила сопротивления движению пластины R = fФ2v Н, где f = 0,001, Ф = 10√5 [Вб] —
магнитный поток между полюсами магнита. В начальный момент магнит и пластину подвесили
кконцу нерастянутой пружины и сообщили скорость v0 = 0,05 м/с , направленную вниз. Определить уравнение дальнейшего движения магнита с пластиной.
Решение:
Определение |
0.05 C1 0.022 sin 0.28 ; |
C1 0.044; |
|
произвольных |
|||
0.05 nC1 k1C2 5.53cos 0.28 ; |
C2 0.043; |
||
постоянных: |
x e 2.5t 0.044 cos13.77t 0.043 sin13.77t 0.022 sin 25.12t 0.28
Ответ: x e 2.5t 0.044 cos13.77t 0.043 sin13.77t 0.022 sin 25.12t 0.28
Вынужденные колебания при линейном сопротивлении являются незатухающими. Амплитуда их постоянна как при отсутствии резонанса, так и при резонансе.
Линейное сопротивление не влияет на частоту вынужденных колебаний, которая совпадает с частотой возмущающей силы.
Вынужденные колебания как при линейном сопротивлении, так и при его отсутствии не зависят от начальных условий.
Амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю с увеличением относительной частоты возмущающей силы, причем при наличии линейного сопротивления – быстрее.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: mv P sin ; v l; ; ml |
mg sin ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
sin 0 |
– дифференциальное |
уравнение |
движения |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математического |
маятника |
– не |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
интегрируется в элементарных функциях. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinφ ≈ φ |
l 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
τ |
|
|
В случае малых колебаний ( |
|
): |
|
|
g |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Asin kt |
|
|
– |
|
|
общее |
решение |
|
дифференциального |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
|
малых |
колебаний |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
математического маятника . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
l |
|
|
– период малых колебаний. |
|
||||||||||||||||
|
|
– |
круговая частота колебаний; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
g |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A– |
амплитуда колебаний; – |
начальная фаза колебаний; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В случае обычных колебаний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
T 2 |
|
|
|
|
|
1 2 |
2 |
sin |
2 |
2 |
2 4 |
|
|
2 |
sin |
4 |
|
2 ... |
|
|
|
|
период колебаний зависит от амплитуды. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
A |
|
1 3 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
– |
колебания не являются гармоническими, |
||||||||||||||||||||||
T 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
– приближенная формула вычисления периода негармонических колебаний |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
g |
16 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математического маятника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
O
φ h |
|
|
|
|
С |
|
l |
O1 |
|
P |
||
|
|
|
n |
e |
; JOz Phsin ; |
||
|
|
|||||
|
JOz MOz Fi |
|
||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
Mgh |
sin 0 |
– |
дифференциальное |
уравнение |
|
|
движения физического маятника – |
|||||
|
|
|
||||
|
JOz |
|
|
не интегрируется в элементарных |
||
|
|
|
функциях. |
|
||
В случае малых колебаний ( sinφ ≈ φ ): Mgh 0
J\Oz
Общее решение дифференциального |
Asin kt |
||
уравнения |
малых |
колебаний |
|
физического маятника : |
|
||
l |
JOz |
|
|
– приведённая длина физического маятника; |
O |
– |
точка привеса; |
||||||||||||||
Mh |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
– |
центр качаний; |
|
k |
Mgh |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
JOz |
|
|
|
– |
|
круговая частота колебаний; |
A1 |
|
|
|||||||||||
|
|
l |
– |
амплитуда колебаний; |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
JOz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T |
|
2 |
|
|
2 |
l |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
– период малых колебаний. |
– |
начальная фаза колебаний; |
|||||||||||
k |
|
|
Mgh |
g |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Приведенная длина физического маятника больше расстояния от точки |
||||||||||||||
|
привеса до центра масс – |
l > h . |
|
|
|
|
||||||||||
|
Применяя теорему Штейнера получим: |
|
|
|
|
|
||||||||||
l |
J |
Oz |
|
J |
Cz |
Mh2 |
|
J |
Cz |
|
h h, так как O1C |
J |
Cz |
|
l h 0. |
|
|
|
|
Mh |
Mh |
Mh |
|||||||||||
|
|
Mh |
|
|
|
|
|
|||||||||
Центр качаний и точка привеса обратимы (взаимозаменяемы).
Если то же тело подвесить за ось, проходящую через центр качаний параллельно первоначальной оси, то приведенная длина полученного нового физического маятника будет равна приведенной длине
|
|
старого l1 = l . |
|
|
|
|
|
||||
|
Применяя теорему Штейнера получим: |
|
|
|
|
|
|||||
l1 |
|
JO z |
|
J |
Cz |
M l h 2 |
|
J |
Cz |
l h l, так как JCz Mh l h . |
|
1 |
|
|
|
||||||||
M O1C |
|
|
M l h |
M l h |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||