Лекции / SKD_Lektsia_12_-_Kolebania_materialnoy_tochki

n k

C1t C2 e

1,2 n. Общее решение:

x e

nt

C1t C2

x ne

nt

nt

C1 .

Определение констант: Начальные условия: при

t 0 : x x0 , x v0 .

x0 1 C1 0 C2 ;

C2 x0 ;

v0 nC2 C1 ;

C1 v0 nx0 .

n k

C1e

2

Общее

nt

k2t

k2t

n kгде,

2

2

c

1,2

k2

n

k

2m

m

.

решение:

x

e

C2e

2

ne

nt

C1e

k2t

C2e

k2t

e

nt

k2 C1e

k2t

C2e

k2t

.

x

пределение констант:

Начальные условия:

при

t 0 : x x0 , x v0 .

x0 C1 C2 ;

C1

x0 n k2 v0

;

C2

x0 n k2

v0

.

v0 n C1 C2 k2 C1 C2 ;

2k2

2k2

Частное решение дифференциального уравнения

затухающего движения материальной точки :

x

nt

v0 > 0

x

e

x0 e k2t ek2t

v0 e

k2t ek2t

v0 = 0

2k2

x0

O

t

Пластина C массой m = 0.1 кг , подвешенная на пружине АВ, движется между полюсами

магнита. Вследствие вихревых токов движение тормозится силой, пропорциональной скорости. Сила

A

сопротивления движению

R = fФ2v Н, где f = 0,001, Ф = 10√5 [Вб] — магнитный поток между

полюсами магнита. В начальный момент скорость пластинки равна нулю и пружина не растянута;

жесткость пружины

с = 19,6 н/м.

Найти уравнение движения пластины.

Решение:

x e nt C

1

cos k t C

2

sink t

1

1

nt

C1 cos k1t C2

sink1t e

nt

C1k1 sink1t C2k1 cos k1t .

x ne

R

F

Начальные условия: при t 0 : x0 ст 0,05 м; x0 0.

y

Определение

C1

0.05 ;

B

C

положение

произвольных

C2

n

ст 0.0091.

равновесия

постоянных:

статического

k1

x e 2.5t 0.05 cos13.77t 0.0091sin13.77t м.

x P

Ответ: x e 2.5t 0.05 cos13.77t 0.0091sin13.77t м.

m

mx F H ;

mx cx N sin pt

p k

x2

B sin pt ;

2

sin pt ;

x2

Bp cos pt ; x2 Bp

Bp2 Bk2

h sin pt 0;

B

h

;

x2

h

sin pt ;

2

p

2

2

p

2

k

k

сновная форма

x C1 coskt C2 sinkt

h

sin

pt

2

p

2

бщего решения:

k

пределение констант:

Начальные условия: при

t 0 : x x0 , x v0 .

x

C

1

2

h

2

sin ;

C

1

x

2

h

2

sin ;

0

p

0

p

k

k

hp

;

C2

v

hp

p2 cos .

v0 C2k k2

p2 cos

k0

k k2

p k

x2 B sin pt ;

2

sin pt ;

x2 Bp cos pt ;

x2 Bp

Bp2 Bk2

h sin pt 0;

B

h

;

x2

h

sin pt

;

2

p

2

2

p

2

бщего решения:

x Asin kt k2 p2

k

k

sin pt

мплитудная форма

h

2

1

hp

2

2

2

h

Амплитуда собственных колебаний: A

С1

С2

x0

sin

v0

cos

.

k2

p2

k2

k2 p2

Начальная фаза собственных колебаний: arctg

C1

arctg k

x0

k2 p

2 h sin

.

C2

v0 k2 p2

hp cos

p k

x2 Bt cos pt ;

2

t cos pt ;

x2 B cos pt

Bpt sin( pt ); x2

2Bp sin pt Bp

2Bp h sin pt 0;

B

h

; x2

ht

cos pt

ht

sin pt 2 ;

2 p

2 p

2 p

бщего решения:

x C1 coskt C2 sinkt 2 p sin pt 2

сновная форма

ht

x C1k sinkt C2k coskt 2 p

sin pt 2

2

cos pt

2 .

h

ht

пределение констант:

Начальные условия:

при

t 0 : x x0 , x v0 .

x x0

coskt k

2 pk cos sinkt

2 p sin pt

2

v0

h

ht

p k

x2 Bt cos

pt ;

2

t cos pt ;

x2

B cos pt Bpt sin( pt ); x2 2Bp sin

pt Bp

2Bp h sin pt 0;

B

h

; x2

ht

cos pt

ht

sin pt 2 ;

2 p

2 p

2 p

.

Амплитуда собственных колебаний: A

x02

1

v0

h

cos 2

С12 С22

k2

2 p