Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции / SKD_Lektsia_12_-_Kolebania_materialnoy_tochki

.pptx
Скачиваний:
3
Добавлен:
19.09.2024
Размер:
1.48 Mб
Скачать

 

 

y

x(t)

 

F c x;

mx F ;

 

 

 

m

 

 

 

F

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

mx cx 0

 

 

 

O

 

x

x 0; k

2

 

 

 

;

k

c

круговая

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

m

колебаний

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

частота

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x k

 

 

– дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки.

 

 

x 0Решение ищем в виде:

 

x e

 

;

 

 

k

 

0;

k i;

бщего решения:

x C1 cos kt C2 sinkt

 

x C1k sinkt C2k cos kt.

сновная форма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

x v0

 

 

 

пределение констант: Начальные условия: при

 

t 0

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

,

 

 

.

 

 

 

x0 C1 C2 0;

C

1

x ; C

2

v0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v0 C1k 0 C2k;

 

 

0

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos kt v0 sinkt

Частное решение дифференциального уравнения

x x

 

свободных колебаний материальной точки в

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

k

 

 

основной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

t

 

2

 

2

 

 

 

 

 

– дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки.

x k

 

x 0Решение ищем в виде:

x e ;

 

 

k

 

0;

 

k i;

 

 

 

 

 

 

 

 

мплитудная форма

 

 

или

x A sin cos kt Acos sinkt.

бщего решения:

 

 

x A sin kt

 

 

 

 

x C1 cos kt C2 sinkt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1 A sin ; C2 Acos .

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А – амплитуда колебаний: A C 2

C 2

x2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

0

 

k2

tg C1

kx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

α – начальная фаза колебаний (изменяется в пределах [0,2π]):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

2

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частное

решение дифференциального уравнения

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

v0

 

 

 

 

kx0

свободных

колебаний

материальной

точки в

 

x

 

 

 

sin kt

arctg

 

 

 

 

 

амплитудной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

v0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Т – период колебаний.

x

A – амплитуда колебаний.

начальная фаза

x0

 

колебаний

O

t

 

ериод колебаний: Значение периода колебаний получается из условия, по которому добавление периода к переменной изменяет фазу колебаний на наименьший период для синуса .

 

 

 

2

 

 

 

k t T kt 2 ;

T

Для прямолинейных

T 2

m

k

C

1

 

k

 

 

 

колебаний точки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2 .

 

 

 

 

 

 

– частота колебаний (Гц);

 

 

T

2

 

 

A

F

B y

C

P

x

Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, имеет жесткость с = 19,6 н/м. В некоторый момент к нижнему концу В недеформированной пружины подвешивают гирю С массой m = 0.1 кг и отпускают ее без начальной скорости.

Найти уравнение движения гири, амплитуду и период ее колебаний пренебрегая массой пружины.

 

 

 

 

 

ma P F ;

 

mx mg F ; mx mg cx; k c m ;

Решение:

x k

2

x g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– дифференциальное уравнение движения гири.

mg ;

x x1 x2 ;

 

частное решение неоднородного дифуравнения: x2 g

 

 

 

 

 

общее решение однородного дифуравнения: x

k2 x 0;

k2

c

 

 

C

 

 

характеристическое уравнение: 2 k2 01

 

1 ki;

 

 

x

1

1

cos kt C

2

sinkt.

 

начальные условия: при

t 0 :x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mg

0;x0 0.

x C1 cos kt C2

sinkt

определение

C1 mg c ;

 

 

c

произвольных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2 0.

 

 

x C1k sin skt

C2k cos kt

постоянных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x mg cos

mg t mg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

c

c

 

A

C

BF

 

λст

 

x

Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, имеет жесткость с = 19,6 н/м. В некоторый момент к нижнему концу В недеформированной пружины подвешивают гирю С массой m = 0.1 кг и отпускают ее без начальной скорости.

Найти уравнение движения гири, амплитуду и период ее колебаний пренебрегая массой пружины.

Решение: ma P F . В положении статического равновесия: 0 P F ;

 

F c ст

 

ст P c mg c

 

 

 

движения

 

mx mg F ; mx mg c x ст ;

начало

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x mg k x mg;

 

 

 

деформация

 

k

c m 14;

 

 

 

 

2

 

статическая

x+λст

 

 

 

 

 

 

 

положение y

 

 

2

 

 

 

 

 

деформация

 

 

 

 

 

 

 

статического

 

 

 

 

 

 

 

пружины

x k

x 0

– дифференциальное уравнение

равновесия

 

 

 

 

движения гири.

P

Характеристическое уравнение: 2 k2 0

ki.

x

Общее решение однородного дифуравнения:

x C1 cos kt C2 sinkt

P

 

A

F

B

λст

x C

Пружина

АВ, закрепленная одним концом

в точке А, имеет жесткость с =

19,6 н/м. В некоторый момент к нижнему концу В недеформированной пружины

подвешивают гирю С массой m = 0.1 кг и отпускают ее без начальной скорости.

Найти уравнение движения гири, амплитуду и период ее колебаний пренебрегая

массой пружины.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

x C1 cos kt C2 sinkt

x C1k sin skt C2k cos kt;

 

Начальные условия:при t 0 : x0 ст ; x0

0.

 

 

0.

Определение произвольных постоянных: C

1

 

0,05;

C

2

начало

 

 

 

ст

 

 

 

 

движения

 

x 0.05 cos 14 t

м – уравнение движения гири.

деформация

 

статическая

x+λст

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положение y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

деформация

Амплитуда колебаний: A C1 C2

0.05 м.

статического

пружины

 

 

 

 

2

2

 

 

равновесия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Период колебаний:

T 2 k 0.45 c.

x

 

x 0.05 cos 14 t м; A 0.05 м;

T 0.45 c.

P

Ответ:

 

 

y

x(t)

 

 

F c

x; R

 

mx

R F ;

m

 

F

 

 

x;

 

O

 

 

 

 

 

c

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0; k

 

; 2n ;

 

R

R

 

x

 

x

 

 

 

 

 

m

 

m

 

 

m

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2nx k

2

x 0

– дифференциальное уравнение затухающих

 

 

 

 

 

 

 

колебаний материальной точки.

 

 

ешение ищем в виде:

x e t ;

2 2n k2 0;

 

n

n2 k2 ;

 

 

Три случая решения дифференциального уравнения:

1.Случай малого сопротивления:

2.Предельный случай:

3.Случай большого сопротивления:

n k;

nk;

nk;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2 n k1i,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

круговая частота

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1 k

 

n

 

 

 

 

mc 2m

 

Затухающих колебаний

 

 

где

 

 

 

 

 

Основная форма общего решения:

x e nt C1 cos k1t C2

sink1t

 

nt

C1 cos k1t C2 sink1t e

nt

C1k1 sink1t C2k1 cos k1t .

x ne

 

 

 

 

 

пределение констант: Начальные условия: при

 

t 0 : x x0 , x v0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0 1 C1 C2 0 ; v0 nC1 C2k1 ;

Частное решение дифферен- циального уравнения затухающих колебаний материальной точки в основной форме:

C

1

x ;

C

2

 

1

v nx .

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

k1

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x e nt x

cos k t

1

v

nx

sink t

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n k

 

 

 

 

 

мплитудная форма

x Ae nt sin k t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бщего решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ли x e nt A sin cos k t Acos sink t

. C

A sin ;

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

C12 Acos .

 

x e nt C1 cos k1t C2 sink1t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

v

nx

2

 

 

 

 

 

 

Амплитуда колебаний: A C

2

C

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

0

0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

k2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

C1

 

 

x0k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α – начальная фаза колебаний (изменяется в пределах [0,2π]): tg C

 

 

 

 

 

;

2

v

nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

Частное решение дифферен- циального уравнения затуха- ющих колебаний материальной точки в амплитудной форме:

x

x2 v0

nx0

2

sin kt arctg

 

x0k1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

k2

 

 

 

 

 

 

 

v

nx

 

 

1

 

 

0

0

 

n k

 

Т1

 

x0 – начальная фаза колебаний;

x

 

T – период колебаний;

 

 

A1

e nt

Т1

A1 , A2 – амплитуда колебаний;

 

 

 

Условный период колебаний (c):

T

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

k1

 

 

 

m

2m

 

 

 

 

 

c

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частота колебаний (Гц):

O

 

 

 

t

 

 

 

 

e nt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

A1

e

nT

;

 

Декремент затухания:

2

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

nT

Логарифмический

 

ln D

 

декремент затухания:

2

 

1

 

k

 

1

 

c

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

T1

2

2

 

m

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Добротность: Q

k

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2 0.25

 

 

 

Соседние файлы в папке Лекции