Сила зависит от времени: F F( t );Метод разделения переменных

y

Точка, имеющая массу m, движется в плоскости

xOy согласно уравнениям

r

y(t)

x = a·cos(kt);

O

y = b·sin(kt), где a, b, k – постоянные, t – время.

x

x(t)

Найти силу, под действием которой точка

совершает это движение.

Решение:

Уравнение траектории:

2

2

2

x a cos kt

x

y

cos2 kt sin2

kt ;

2

y b sin kt

a2

b2

x2

y2

Эллипс:

1

r

x2 y2

a2

b2

y

F

m d

2

x mk2a cos kt mk2 x

r

y(t)

x

dt

2

O

F

x(t)

x

F

m d 2 y mk2b sin kt mk2 y

y

dt

2

F F 2

F 2

mk2

x2 y2 mk2r;

x

y

v

Точка, имеющая

массу

m, брошена

с

v0

R

поверхности земли со скоростью v0 под

углом α к горизонту в вертикальной

α

y(t)

плоскости.

Сила

сопротивления воздуха

x(t)

направлена

против

движения

и

mg

x

пропорциональна скорости и массе R = kmv.

Найти уравнения движения точки.

Решение:

Дифференциальные уравнения движения точки:

m

d 2 x

R ;

ma P R

dt2

x

d 2 y

m

mg

Ry ;

dt2

Разделение переменных:

Интегрирование:

dvx dt

dvx

dt

ln vx kt lnC1

kvx

kvx

dvy

dt

dvy

dt

g

kt lnC2

g

kvy

g kvy

ln vy

k

Результат:

Определение произвольных постоянных:

v

x

C

e kt

C

1

v

cos

v

x

v

cos e kt

1

0

0

vy

g

C2e

kt

C2

g

v0

sin

vy

g

g

kt

k

k

k

k

v0 sin e