Динамика – часть теоретической механики, изучающая движение материальных объектов в зависимости от сил, вызвавших это движение
Основные положения динамики и аксиомы впервые выдвинуты Ньютоном и Галилеем в XVII веке. Основные положения динамики сформулированы применительно к материальной точке.
В основе классической динамики лежат два основных допущения:
1. Существование абсолютного пространства:
пространство обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения.
2. Абсолютное время:
время считается независимым.
На основании этих допущений утверждается:
1.Существование абсолютно неподвижной системы отсчета.
2.Независимость изменения времени от движения системы отсчета.
В большинстве задач динамики массы движущихся материальных точек не зависят от скоростей движения и остаются постоянными при всех обстоятельствах, обусловливающих движение.
1-й закон Ньютона
Изолированная материальная точка (не подверженная воздействию других объектов) относительно неподвижной системе отсчета движется равномерно и прямолинейно ( v = const ) или находится в покое ( v = 0 )
акое кинематическое состояние точки называется инерциальным.
Инерциальное кинематическое состояние точки определяется равенством нулю ее ускорения a = 0.
Система отсчета, движущаяся поступательно, равномерно и прямолинейно называется инерциальной.
Аксиома применима и к инерциальным системам отсчета.
2-й закон Ньютона
Ускорение, сообщаемое материальной точке относительно инерциальной системы отсчета, прямо пропорционально силе, действующей на точку, и обратно пропорционально массе этой точки
a
F
F ma
Массой называется физическая характеристика являющаяся мерой инерционных свойств вещества.
В поле силы тяжести Земли масса |
P |
(P – сила тяжести, |
|
||
может быть определена по формуле: m g |
g – ускорение свободного падения) |
|
Масса является также мерой и характеристикой гравитационных свойств вещества.
3-й закон Ньютона
Две материальные точки взаимодействуют с силами, одинаковыми по модулю и действующими по одной прямой, соединяющей точки, в противоположные стороны
М1 |
F1 |
|
F2 |
||
|
F1 F2 М2
F1 F2
Принцип суперпозиции
Материальная точка, под действием нескольких сил приобретает ускорение, равное векторной сумме тех ускорений, которые она бы получила от каждой силы, действующей независимо от других
3 |
|
|
a a1 |
a2 a3 ... an |
||
|
F2 |
ma F ; .........; ma |
F ; |
|||
a3 |
a2 |
|||||
|
a3 |
1 |
1 |
n |
n |
|
|
an |
ma ma1 ... man ; |
||||
М |
|
|||||
|
a2 F1 |
ma F1 ... Fn ; |
||||
an |
|
|||||
a |
|
|
|
n |
|
|
Fn |
|
|
|
ma |
Fi |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
n |
|
; |
|
|
d 2r |
; |
|||||
|
|
|
v |
ma Fi |
a |
dt |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d 2r |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
m |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
M |
F |
dt |
2 |
Fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
d |
2 |
x |
|
n |
||||
O |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
Fix ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m d |
2 |
2y |
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fiy ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
i 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m d |
2 |
|
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
Fiz ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
i 1 |
|
|
b |
|
|
|
S |
|
v τ |
|
n |
|
a |
|
ma |
Fi |
|
|
|
|
i 1 |
|
F |
|
|
n |
n |
|
ma Fi ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
n
man Fin ;
i 1
n
mab Fib ;
i 1
a dv ; |
|
|
|
|
|
||
|
m dv Fi ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
dt |
|
|
dt |
i 1 |
|
||
an v |
2 |
|
|
m v |
2 |
n |
|
|
; |
|
|
Fin ; |
|
||
|
|
|
|
i 1 |
|
||
|
|
|
|
|
n |
|
|
ab 0; |
|
|
0 Fib ; |
|
|||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная массу точки и закон ее движения определить действующую на точку силу
Уравнения движения точки: x f1( t ); |
y f2 ( t ); |
|
z f3 ( t ); |
|||||||||||
Скорость точки: |
vx |
dx |
|
|
df1 |
|
; |
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ускорение точки: |
ax |
|
dv |
x |
d 2 x |
; |
|
|
||||||
|
dt |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||
Сила: |
Fx max m |
d 2 x |
; |
|||||||||||
|
dt |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично осуществляется дифференцирование уравнений y(t) и z(t) .
По заданной массе и действующей на точку силе определить движение точки
ила: Fx Fx ( t, x, y,z, x, y,z );
Fy Fy ( t, x, y,z, x, y,z );
Fz Fz ( t, x, y,z, x, y,z );
корость точки: |
m v x |
dvx |
t Fxdt; |
m vx vx0 x , |
|||
m dvx Fx ; |
|||||||
|
v |
|
|
t |
|
|
|
dt |
x0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
vx vx0 |
|
1 |
x ,где |
t |
Fxdt; |
|
|
|
x t |
|||||
|
m |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
По заданной массе и действующей на точку силе определить движение точки
Уравнение движения точки: |
m dx |
|
|
|
|
|
|
||||
mvx x mvx0 , |
x mvx0 , |
|
|
||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
mdx x mvx0 dt, |
m |
x dx t |
xdt |
t |
mvx0dt, |
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
t |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
t |
|
|
|||
x |
x vx0t x0 ,где |
|
xdt; |
||||||||
x t |
|||||||||||
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
Аналогично осуществляется интегрирование для проекций сил Fy и Fz .