Лекции / SKD_Lektsia_06_-_Tsentr_tyazhesti
.pptx
z 
F1 
A2
n |
F2 |
A1 |
Ai |
An |
Fi |
|
y
F1 ,F2 ,...,Fi ,...,Fn
F1 ,F2 ,...,Fi ,...,Fn R,M
Rx in 1 Fix 0; |
M x in 1 M x ( F i ) 0; |
Ry in 1 Fiy 0; |
M y in 1 M y ( F i ) 0; |
Rz in 1 Fiz 0. |
Mz in 1 Mz ( F i ) 0. |
ni 1 Fix 0;
ni 1 Fiy 0;
ni 1 Fiz 0.
ni 1 Mx ( F i
ni 1 M y ( F i
ni 1 Mz ( F i
) 0;
) 0;
) 0.
ni 1 Fiz 0.
ni 1 Mx ( F i ) 0;
ni 1 M y ( F i ) 0;
A1
C1
A 
C 
B
α |
α |
α |
2 |
|
|
* |
|
|
|
|
*
F1 |
,F2 |
|
R ; R F1 |
F2 |
; |
|||||
R F1 |
F2 ; |
AC BC F2 F1 ; |
||||||||
F1* ,F2* R* ; R* F1* F2* ; |
||||||||||
R* |
F* F* |
F F R; |
||||||||
A C |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
BC |
1 |
F* |
F* F F ; |
||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
||
При повороте любой системы параллельных сил вокруг их точек приложения на одинаковый угол равнодействующая так же поворачивается вокруг своей точки приложения на тот же угол.
На линии действия равнодействующей имеется точка, вокруг которой она поворачивается при повороте системы параллельных сил. Эта точка называется –
центр системы параллельных сил.
z F1
|
A1e |
r1 |
С |
|
rC r2 |
O n
Определение координат центра системы параллельных сил:
F2 |
F1 ,...,Fn R ; |
F1 F1 |
e ,..., |
Fn Fn e; R Fi e . |
|||
|
По теореме Вариньона: |
|
R ( ri Fi ). |
||||
|
MO ( R ) MO ( Fi ) |
rC |
|||||
A2 |
rC Fi e (ri Fi e ), Fi rC e (Fi ri e ); |
||||||
|
( Fi rC Fi ri ) e 0, |
|
|
Fi rC |
Fi ri 0; |
||
|
An |
|
|
|
|
|
|
|
|
Firi |
|
|
|
||
|
|
rC |
Fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты центра |
|
Fi xi |
|
Fi yi |
Fi zi |
|
n |
системы параллельных |
xC Fi |
|
; yC Fi |
; zC Fi . |
||
сил: |
|
||||||
y |
|
̶? |
статические моменты системы |
||||
|
Fi xi , Fi yi , Fi zi относительно плоскостей yOz, xOz и xOy. |
||||||
R xC Fi xi , |
R yC Fi yi , |
R zC Fi zi |
|
v2 |
v1 |
vi |
2 |
|
1 C |
i |
z rC |
vn |
n
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi xi |
|
|
|
|
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
Pi zi |
|
||||||||||||
|
Piri |
;xC |
; yC |
|
yi |
; zC |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i i |
Pi |
mi g; mi |
vi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vi xi |
|
|
|
|
|
|
vi yi |
|
|
|
|
|
vi zi |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
v r |
; |
xC |
|
|
; yC |
|
|
|
|
; zC |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
rC |
|
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
V |
|||||||||||||||||||
r |
|
1 |
|
|
rdv; x |
C |
1 |
|
|
xdv; y |
C |
1 |
|
|
|
|
ydv; z |
C |
|
1 |
|
|
zdv. |
|||||||||||||||
C |
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
V |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|||
Для определения центра тяжести однородной поверхности: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
1 |
|
|
rds; |
|
x |
C |
|
1 |
|
|
xds; |
y |
C |
|
1 |
|
|
yds; z |
C |
|
1 |
|
zds. |
||||||||||||||
C |
|
|
S |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
Для определения центра тяжести однородной линии: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
rC |
L1 |
lrdl; |
xC |
L1 |
l xdl; yC |
L1 |
|
l ydl; |
zC L1 |
l zdl. |
||||||||||||||||||||||||||||
Если однородное тело имеет плоскость геометрической симметрии, то центр тяжести тела находится в этой плоскости.
Если однородное тело имеет ось геометрической симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.
Если однородное тело имеет точку геометрической симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.
|
Центр |
|
симметрии |
|
Ось |
|
симметрии |
С |
С |
|
С |
Плоскость
симметрии
|
|
|
|
|
Положение |
|
центра |
тяжести |
|
можно |
||||
|
|
|
|
|
определить, если разбить тело на части, |
|||||||||
|
|
|
|
|
координаты центров тяжести которых заранее |
|||||||||
z |
С1 |
|
|
|
известны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С2 |
|
|
|
rC |
rivi |
r1V1 r2V2 r3V3 |
r4V4 |
; |
|||||
|
r1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
V1 V2 V3 V4 |
||||||
|
r3 |
С3 |
|
|
С4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1V1 x2V2 x3V3 x4V4 |
|
|
||||||
|
r2 |
|
|
|
xC |
; |
|
|||||||
|
|
|
r4 |
|
V1 V2 V3 V4 |
|
|
|||||||
O |
|
|
|
yC |
|
y1V1 y2V2 y3V3 y4V4 |
; |
|
||||||
|
|
|
y |
V1 V2 V3 V4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z1V1 z2V2 z3V3 z4V4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
zC |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
V1 V2 V3 V4 |
|
|
||||||
z 
Сr1 С1 
С2
r
r2
O
y
Рассмотрим тело, имеющее пустые полости.
Центр тяжести массы, которая могла бы занимать полость обозначим как С2 , ее объем – V2 .
Центр тяжести полностью заполненного тела (без полости) обозначим как С1 , его объем – V1 .
Центр тяжести тела с полостью (исходного) обозначим как С, его объем – V .
V1 V V2 ;
r |
rV r2V2 ; |
r r1V1 r2V2 . |
||||
1 |
|
V1 |
|
|
V1 V2 |
|
xC ( x1V1 x2V2 )
(V1 V2 ); yC ( y1V1 y2V2 )
(V1 V2 ); zC ( z1V1 z2V2 )
(V1 V2 ).
|
|
2.5.1. Треугольник |
|
|
y |
B |
|
|
|
|
|
|
|
F |
h |
|
|
|
h/3 |
A |
|
E |
D |
|
|
x |
|
Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан.
Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2/1, считая от соответствующей вершины. Следовательно, от каждого основания центр тяжести находится на расстоянии 1/3 соответствующей высоты треугольника.
Имея координаты вершин треугольника
А(xA,yA,zA), B(xB,yB,zB) и V(xD,yD,zD), можно вычислить координаты его центра тяжести по формулам: xC ( xA xB xD ) / 3,
yC ( yA yB yD ) / 3, zC ( zA zB zD ) / 3.
Способ не подходит для вычисления центра тяжести треугольника, масса которого распределена по периметру. В этом случае необходимо рассматривать трехточечную систему, точки которой расположены в серединах сторон и имеют массу соответствующих сторон.
2.5.2. Дуга окружности
|
y |
A |
|
|
|
dθ |
|
|
|
dl |
|
|
|
|
Ось |
|
α |
|
симметрии |
O |
С |
x |
B
xC
Рассмотрим однородную дугу окружности длиной l, радиусом R и центральным углом 2α.
Центр тяжести находится на оси симметрии, с которой совместим ось Оx. Требуется найти только
координату xC центра тяжести дуги окружности. Статический момент дуги относительно оси Oy:
l xC x dl.
AB
В полярных координатах: x Rcos , R 2R .
|
|
|
|
|
|
2R xC |
Rcos R d , |
|
|||
xC R sin |
|
|
|
|
|
|
|
; |
xC |
2R |
|
Для половины окружности: |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
2.5.3. Круговой сектор
|
xC |
A |
Рассмотрим однородный круговой сектор радиусом R и |
|
|
с центральным углом 2α. |
|
|
|
|
Разобьем круговой сектор на элементарные одинаковые |
|
|
|
секторы. |
|
|
|
Центр тяжести каждого элементарного треугольника |
|
|
|
отстоит от его вершины на 2/3 его высоты (здесь – |
O |
α |
|
радиуса R). |
|
Через центры тяжести элементарных треугольников |
||
2 |
α |
С |
x можно провести дугу радиуса 2/3R. |
/ |
|
|
Центр тяжести сектора будет совпадать с центром |
3 |
|
|
тяжести этой дуги и его положение вычисляется по |
R |
|
||
|
|
|
формуле: |
Сi |
xC |
2 |
R |
sin |
|
3 |
|