Литература / Курс лекций по математическому анализу. Н. А. Григорьева. 2013

направление наибольшего изменения функции u f (x, y, z) в данной точке M 0 , при этом модуль вектора grad u есть скорость этого изменения.

8. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка.

Рассмотрим функцию двух переменных z f (x, y) . Её частные производные второго порядка обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные третьего, чет-

порядком дифференцирования, называют смешанными частными производными второго порядка.

70

Определение. Частные производные высших порядков, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные частные производные одного порядка, от-

9. Дифференциал функции нескольких переменных

Определение. Полным дифференциалом функции u f (x1, x2 , , xn ) , имеющей непрерывные частные производные первого порядка, называют выражение:

Заметим, что du есть функция от переменных x1, x2 , , xn .

В частности, для функции двух переменных z f (x, y) имеем

Определение. Дифференциалом второго порядка d 2u называ-

ется полный дифференциал от первого полного дифференциала: d 2u d (du) .

При этом требуется существование непрерывных частных производных второго порядка.

71

Здесь сначала раскрывается квадрат выражения в скобках; затем числители полученных дробей умножаются на u.

Формула d 2u обобщается на случай дифференциала m-го по-

рядка:

ПРИМЕР. Найти полный дифференциал dz и дифференциал второго порядка d 2 z функции z x5 sin y .

Найдём частные производные первого порядка:

Распишем формулу для дифференциала второго порядка:

72

§13. Экстремум функции двух переменных

1.Необходимое условие экстремума функции двух перемен-

ных.

2.Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

3.Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.

1. Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных z f (x, y) . Определение. Точка M0 (x0 , y0 ) называется точкой максимума

(минимума) функции z f (x, y) , если существует такая окрестность точки M 0 , что для всех точек M (x, y) из этой окрестности и отличных от M 0 выполняется неравенство

f (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 ) f (x, y) .

Определение. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремумами этой функции. Максимум и минимум функции называются её экстремумами.

Отметим, что экстремумы имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке M0 (x0 , y0 ) сравнивается с её значе-

ниями в точках, достаточно близких к M0 (x0 , y0 ) .

Теорема (необходимое условие экстремума). Если диффе-

ренцируемая функция z f (x, y) имеет в точке M0 (x0 , y0 ) экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю:

Определение. Стационарными точками функции z f (x, y)

называют точки, в которых частные производные первого порядка данной функции равны нулю, то есть их координаты удовлетворяют системе уравнений:

z 0,

x

z y 0.

Таким образом, стационарные точки – это точки, в которых данная функция может иметь экстремум.

73

2. Достаточное условие экстремума функции двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных z f (x, y) .

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция z f (x, y) непрерывна вместе со своими частными производными

1) Если D 0, то в точке M 0 функция z f (x, y) имеет экс-

тремум, причём при A 0 максимум, при A 0 минимум.

2) Если D 0, то в точке M 0 функция z f (x, y) экстремума

не имеет.

Замечание. В случае D 0 функция может иметь экстремум, а может не иметь. Этот случай называется неопределённым и требует дополнительного исследования.

ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функцию двух перемен-

ных z x3 y3 3xy .

Найдём стационарные точки функции. Для этого запишем её частные производные первого порядка:

Тогда стационарные точки определятся из системы:

значит, M1(0;0) и M 2 (1;1) – стационарные точки. Найдём частные производные второго порядка:

74

Вычислим значения частных производных второго порядка в стационарных точках и применим достаточное условие экстремума

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в области D:

1)найти все внутренние стационарные точки и вычислить значение функции в этих точках;

2)вычислить значение функции в граничных точках области

D;

3)сравнив найденные значения функции, определить наибольшее и наименьшее значения функции во всей области D.

ПРИМЕР. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z sin x sin y sin( x y) в треугольнике, ограниченном прямыми

x0, y 0, x y 2 .

75

Тогда стационарные точки функции определятся из системы:

В силу первого уравнения системы, данная система равносильна совокупности:

функции в OAB .

Вычислим значение функции в стационарных точках: z(M1) 0,

76

Вычислим значение функции на границе OAB :

при x 0 имеем z sin 0 sin y sin( 0 y) sin y sin y 0 , при y 0 имеем z sin x sin 0 sin( x 0) sin x sin x 0,

при x y 2 имеем

z sin x sin( 2 x) sin( x 2 x) sin x sin x 0 0.

ке границы области ( OAB ).

77

О Г Л А В ЛЕ Н И Е

Предисловие………...………………………………………. 3

§1. Множества …………………………………….……….. 4

1.Понятие множества .…………………………..………. 4

2.Операции над множествами, их свойства ..…………. 5

3. Численность множества ……………………………… 7

4.Понятие меры множества ...…………………………... 8

§2. Числовые множества ….…………………...…………. 11

1.Числовые множества. Множество действительных чисел .…………………………………………………….. 11

2. Модуль действительного числа ……………………… 13

3.Расширенная числовая прямая ....……………………. 13

4.Числовые промежутки. Окрестность точки ……….... 14

§3. Функции ...……………..……………………………….. 16

1.Понятие функции ……………………………………... 16

2.График функции ………………………………………. 17

3.Свойства функций …………………………………….. 18

4.Сложная функция. Обратная функция ………………. 20

5.Основные элементарные функции …………………... 21

6.Элементарные функции ……………….……………... 26

§4. Предел функции ……………………………………….. 27

1.Предел функции ………………………………………. 27

2.Примеры вычисления пределов …………………….... 28

3.Некоторые теоремы о конечных пределах ………….. 30

4.Первый замечательный предел ………………………. 30

5.Второй замечательный предел ……………………….. 30

6.Односторонние пределы …………………………….... 31

7.Бесконечно малые и бесконечно большие функции ... 31

8.Некоторые замечательные пределы …………………. 33

§5. Непрерывность функции …………………………….. 33

1.Понятие непрерывности функции …………………... 33

2.Точки разрыва …………………………………………. 34

3. Основные свойства непрерывных функций ………… 36

§6. Производная функции одной переменной …………. 37

1.Понятие производной ……………………………….... 37

2.Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной, обратной функций ……………………………. 38

3.Таблица производных ………………………………... 39

79