Упражнение 25. Для самостоятельной работы.
Составить задачи с конкретными векторами, иллюстрирующие рис.1 и рис.2, а также показать для первой задачи, что но для второй – но
Пример 1. Вычисление скалярного произведения в декартовом базисе.
Пусть
,
– декартов базис, a=3i+4j,
b=2i-j.
Найти скалярное произведение(a,b), длины векторов a и b.
Решение:
(a,b)=(3i+4j,2i–j)=(3i,2i–j)+(4j,2i–j)=(3i,2i)+(3i, –j)+(4j,2i)+(4j, –j)=
=3*2*(i,i)
–3(i,j)+8(j,i)
+4*(-1)*(j,j)=6(i,i)+5(i,j)-4(j,j)=3*2+5*
–4*1=
=6–4= 2.
если придать вычислениям общий вид: a=a1 i+a2 j, b=b1 i+b2 j, получим:
-
формула для вычисления скалярного
произведения в координатной форме.
(a,a)=(3i+4j,3i+4j)=9(i,i)+24(i,j)+16(j,j)=3*3+24*0+4*4=25.
если придать вычислениям общий вид, получим:
-
скалярный квадрат
равен квадрату длины вектора.
- длина вектора –
корень из суммы квадратов координат
вектора.
(b,b)=( 2i-j, 2i-j)= 4(i,i)-4(i,j)+(j,j)=4*1*1-4*1*1* +1*1=4+0+1=5.
если придать вычислениям общий вид, получим:
.
Ответ. (a,b)=2,
,
.
Так как базис
декартов, то есть состоит из двух
единичных взаимно перпендикулярных
векторов. То скалярное произведение
орта самого на себя будет равно единице,
т.к. длины векторов раны единице, и
,
произведение взаимно перпендикулярных
ортов равно нулю.
В косоугольной системе координат решения и ответы будут другие.
Пример 2. Вычисление скалярного произведения в косоугольном базисе, состоящем из единичных векторов.
Пусть p и q – косоугольный базис, векторы длины один, а угол между ними равен 60о, a=3p+4q, b=2p-q. Найти скалярное произведение (a,b) , длины векторов a и b..
Решение.
(a,b)=(3p+4q,2p-q)=(3p,2p-q)+(4q,2p-q)=(3p,2p)+(3p,-q)+(4q,2p)+(4q,-q)=
=6(p,p)-3(p,q)+8(q,p)-4(q,q)=6(p,p)+5(p,q)+4(q,q)=6+5
-4
=6+5/2-4=4,5
если придать
вычислениям общий вид: a=a1
p+a2
q, b=b1
p+b2
q,
получим:
*
-
формула для вычисления скалярного
произведения в координатной форме
изменилась.
(a,a)=( 3p+4q, 3p+4q)= 9(p,p)+2*12*(p,q)+16(q,q)=9+2*12* +16=37.
.
- скалярный квадрат по-прежнему равен квадрату длины вектора,
но вычисляются они теперь по-другому.
(b,b)=(
2p-q,
2p-q)=
4(p,p)-4(p,q)+(q,q)=4-2*2*
+1=3.
.
Ответ. (a,b)=3,
,
.
Пример 3. Вычисление скалярного произведения в косоугольном базисе, состоящем из векторов произвольной длины.
Пусть p и q– косоугольный базис, причем длины векторов равны 2 и 3 соответственно, а угол между ними равен 60о, a=3p+4q, b=2p-q. Найти скалярное произведение (a,b) , длины векторов a и b..
Решение.
(a,b)=(3p+4q,2p-q)=(3p,2p-q)+(4q,2p-q)=(3p,2p)+(3p,-q)+(4q,2p)+(4q,-q)=
=6(p,p)-3(p,q)+8(q,p)-4(q,q)=6(p,p)+5(p,q)+4(q,q)=6*2*2+5*2*3* –4*3*3= =24+15–36=3
если придать вычислениям общий вид: a=a1 p+a2 q, b=b1 p+b2 q, получим:
+
*
-
формула для вычисления скалярного
произведения в координатной форме снова
изменилась.
(a,a)=( 3p+4q, 3p+4q)= 9(p,p)+24(p,q)+16(q,q)=
=
=
=9*2*2+24*2*3* +16*3*3=252.
.
(b,b)=( 2p-q, 2p-q)= 4(p,p)-4(p,q)+(q,q)=4*2*2-4*2*3* +3*3=13.
.
Ответ. (a,b)=3,
,
.
В примерах 1,2 и 3 показано как усложняются расчеты вычисления скалярного произведения векторов и длины вектора в косоугольной системе координат по сравнению с декартовой прямоугольной системой координат.