Упражнение 22. Линейная зависимость четырёх векторов.
Даны четыре вектора a = {2,1,0}, b = {1,-1,2}, c = {2,2,-1} и d = {3,7,-7}. Определить разложение каждого из этих четырёх векторов, принимая в качестве базиса три остальных. Сделать геометрическую интерпретацию задачи на отдельных четырёх рисунках. Команда figure перед командами, отвечающими за графику, позволяет открывать новое графическое окно. На первом рисунке изобразить координатные оси, орты осей и четыре вектора. На оставшихся трёх – геометрическую интерпретацию разложений. Векторы базиса представлять синим цветом, разлагаемый вектор – красным.
8.Косоугольная и прямоугольная система координат.
В результате выполнения упражнения 2 можно получить примерно следующее.
Рис. 15
На первом рисунке мы видим разложение вектора s по прямоугольному декартовому базису, в котором базис суть орты (единичные векторы), причём взаимно перпендикулярные. Прямоугольную систему координат и прямоугольную декартову системы координат следует различать. В прямоугольной системе координат векторы базиса, будучи ортогональными, не обязаны быть единичными.
На втором рисунке мы видим разложение того же вектора s в базисе векторов (p,q), которые не единичны и не взаимно перпендикулярны. Векторы p и q приведённые к общему началу образуют косоугольную систему координат.
9.Скалярное произведение векторов
Нумерацию формул и рисунков начнём заново.
Определение 1.
Скалярным произведением векторов
и
называется число
. (1)
Геометрические свойства скалярного произведения даются теоремами 1 и 2.
Теорема 1. Два вектора и ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Условие перпендикулярности двух векторов выглядит так:
Скалярное произведение может быть использовано для проверки или для доказательства перпендикулярности векторов.
Упражнение 23. Условие ортогональности векторов.
Найти все векторы,
перпендикулярные вектору
.
Изобразить эти векторы.
Теорема 2. Для
любых двух векторов
и
,
если
,
,
угол
является острым тогда и только тогда,
когда
,
и тупым – тогда и только тогда, когда
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1.
2.
|
3.
4.
|
;
;
;
,
если
;
,
если
.Алгебраические свойства дают возможность, перемножая линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.
Замечание 1. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:
)
;
)
.
Упражнение 24.1. Свойства скалярного произведения векторов.
Даны векторы , и . Используя функцию isequal, проверить свойства 1, 2, , 3, , 4 скалярного произведения векторов.
Скалярное произведение векторов обладает многими свойствами, которыми обладает произведение действительных чисел. Однако, автоматическое (бездумное) перенесение на векторы свойств действительных чисел, которыми векторы не обладают, является ошибочным. В частности, для векторов несправедлив закон ассоциативности (сочетательный закон), т.е. в общем случае
. (2)
(3)
(4)
Упражнение 24.2. Свойства скалярного произведения векторов.
Даны векторы , и . Используя функцию isequal, убедиться в невыполнении равенств (2), (3), (4).
Приведём
ещё примеры. 1) если
векторы,
изображённые на рисунке 2, то
но
2) для векторов на рисунке 3
но
Рис.1. Рис.2.