7.Линейная зависимость векторов

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами будем называть конечную сумму вида

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из ее коэффициентов отличен от нуля.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация из этих векторов, равная нулевому элементу : .

Простейшие примеры линейно зависимых векторов.

1. Вектор и его противоположный вектор составляют линейно зависимую систему векторов.

Действительно, ,

таким образом, и система векторов , линейно зависима.

2. Коллинеарные векторы (уметь доказывать)

3. Компланарные векторы (уметь доказывать)

4. Любые n ( ) геометрических вектора.

Пример. Составим линейную комбинацию из векторов , и .

. Задача найти коэффициенты линейной комбинации

Очевидно, что решением здесь будут коэффициенты .

Определение

Система векторов называется линейно независимой, если из равенства следует, что все коэффициенты равны нулю (то есть существует только тривиальное решение).

Пример. Составим линейную комбинацию из векторов , и

.

Здесь существует, только тривиальное решение. Эта линейная комбинация может равняться нулевому элементу, только если все коэффициенты равны нулю одновременно.

Два неколлинеарных вектора плоскости составляют базис векторов плоскости. Это означает, что каждый вектор этой плоскости однозначно разлагается по векторам

Некомпланарные векторы образуют базис векторов трёхмерного пространства, и любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде: .

Упражнение 18. Изобразить векторы базиса. Пространство.

Векторы , и образуют базис (показать, что векторы некомпланарны).

Изобразить эти векторы (в виде прямых) с помощью функций line и plot3.

Изобразить орты черным цветом, толщиной ‘LineWidth’, 4

Вычислить и изобразить орты векторов толщиной ‘LineWidth’,4

Упражнение выполнить, создав соответствующий скрипт.

Сразу ввести команды для оформления графика, написать комментарии к ним:

grid on % что выполняют эти команды?

hold on% что выполняют эти команды?

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z') %

axis square %

axis equal %

Упражнение 19. Изобразить векторы базиса. Плоскость.

Векторы p = {2,-3} и q = {1,2} образуют базис (показать, что векторы неколлинеарны). Найти разложение вектора s = {9,4} по базису p и q: s =mp + nq. Изобразить векторы p, q , mp, nq, s, а также координатные оси Ox и Oy и орты i, j.

Упражнение выполнить, создав соответствующий скрипт

Упражнение 20. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

На плоскости даны три вектора a = {3,-2}, b = {-2,1}, c = {7,-4}. Определить разложение каждого из этих трёх векторов, принимая в качестве базиса два других. Графическое окно разбить на четыре области. Во всех окнах изобразить координатные оси Ox и Oy, орты i, j. В первой изобразить три вектора. В оставшихся трёх – геометрическую интерпретацию разложения каждого из этих трёх векторов по двум остальным. Векторы базиса представлять синим цветом, разлагаемый вектор красным.

Упражнение 21. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Письменно и используя графические средства MATLAB проверить векторы на компланарность и, если они некомпланарны, разложить вектор по трем некомпланарным векторам : , считая ортами прямоугольной декартовой системы координат, изобразить некомпланарные векторы черным цветом, толщиной ‘LineWidth’, 4, а также векторы и вектор .

( – коэффициенты разложения – неизвестные в соответствующей системе уравнений)

A) , и , ,

B) , и ,

C) , и , .

Упражнение выполнить, создав соответствующие скрипты.