10.Скалярное произведение в координатной форме
Выше в примерах 1,2,3 мы фактически предвосхитили тему данного параграфа.
Теорема 3. Пусть
,
,
– декартов базис,
,
.
Тогда
.
Доказательство. Имеем
.
Следствие. Пусть , , – декартов базис, , , , . Тогда
.
(5)
В самом деле, из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, находим
,
и соотношение (5) доказано.
В частности,
.
Скалярное произведение двух векторов a и b заданных в координатной форме в MATLAB мы будем вычислять различными способами:
1. Создать формулу, обращаясь индексами к элементам массива
2. Вычислить с помощью поэлементного умножения «.*» произведения соответствующих координат, убедиться, что вычисления соответствуют ожидаемым, затем применить к результату функцию sum.
3. Затем сразу применить обе операции ab=sum(a.*b).
4. В matlab есть стандартная функция, вычисляющая скалярное произведение dot()
Упражнение 26. Скалярное произведение в координатной форме.
Вычислить скалярное произведение двух векторов a={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}
>> syms x1 x2 y1 y2 z1 z2
>> a=[x1,y1,z1];b=[x2,y2,z2];
Далее самостоятельно:1,2 3 и 4 способы.
Упражнение 27. Скалярное произведение в прямоугольном и косоугольном базисе.
Выразить скалярное
произведение векторов 
,
,
то есть
,
A) в
декартовом базисе
,
и 
B) косоугольном базисе , и . Пользуясь геометрическим свойством скалярного произведения, убедиться, что векторы a,b,c образуют косоугольный базис.
C) в
прямоугольном, но не в ортонормированном
базисе
,
и 
Определение скалярного произведения через понятие проекции.
Заметим, что в формуле (1) ,
если принять за
орт
вектора
,
и
,
поэтому можно дать определение скалярного произведения и в иной, равносильной форме, иногда более удобной.
Определение
.
Скалярным произведением векторов
и
называется число, равное проекции одного
вектора на другой, умноженной на длину
последнего.
.
(6)
Упражнение 28. Определение скалярного произведения через понятие проекции.
Пусть , – декартов базис, a=3i+4j, b=2i-j. Сделать геометрическую интерпретацию, определения .
11.Задание для самостоятельной работы
1. Выполнить в тетради и в MATLAB все упражнения данного практикума.
2. Ответить на контрольные вопросы (некоторые темы изучить самостоятельно). Уметь отвечать на вопросы по темам лабораторной работы и по темам презентаций, даже если презентацию вы не готовите.
3. Подготовить краткую презентацию (5–7 минут) с применением графических средств MATLAB, и выступить с ней у доски. Презентация должна включать в себя вопросы к аудитории.
Темы для презентаций:
1) Орт вектора, направляющие косинусы вектора.
2) Расстояние между векторами.
3) Проекция вектора на ось, свойства, декартов базис.
4) Физический смысл скалярного произведения (найти, рассказать)
Задачи для презентаций:
1. Танковый биатлон.
Ведется огонь по некоторой цели. Цель представляет собой стальной плоский лист толщиной 200 мм, внешняя поверхность листа лежит на плоскости ZY. Координаты орудия в метрах {30, 30, 2}, огонь ведётся по точке {0, 0.5, 0.3} (в метрах). Найти толщину листа по прямолинейной траектории полета снаряда от момента вхождения в цель до момента выхода из цели. Для решения задачи создать скрипт, в котором можно быстро изменить входные параметры.
2. Заданы начало и конец отрезка. Необходимо нарисовать стрелку с усиками, ширина раствора которых равна w, а высота h (см. рисунок). Тригонометрию использовать нельзя (подобное ограничение часто возникает во встраиваемых системах, где вычисление тригонометрических функций слишком дорого по времени). Проиллюстрировать скриптом в матлабе.
