Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии в среде МАТЛАБ.
Модуль 1. Аналитическая геометрия.
Цель модуля. С помощью графических иллюстраций MATLAB освоить фундаментальные понятия векторной алгебры и аналитической геометрии.
Лабораторный практикум 1.2. Векторная алгебра.
Цели работы. Работа с графикой: построение векторов на плоскости и в пространстве. Работа с М-файлами. Приобретение навыков решения задач векторной алгебры с помощью средств системы MATLAB. Освоение с помощью графических иллюстраций MATLAB фундаментальных понятий векторной алгебры:
геометрический вектор, линейные операции над векторами,
длина вектора, орт вектора, направляющие косинусы,
линейная зависимость двух, трех, четырех и более векторов,
понятие базиса, проекция векторов на ось,
прямоугольная и косоугольная системы координат,
скалярное произведение векторов.
Продолжительность работы. 4 академических часа в аудитории и 4 часа на самостоятельную работу (2 недели)
Срок сдачи: 4,5 недели.
Оборудование, приборы, инструментарий. Письменная часть работы выполняется в тетради, электронная часть работы выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.
Порядок выполнения.
Упражнения выполняются параллельно с изучением теоретического материала из параллельного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», см. приложения, лекции и другую литературу.
Большинство упражнений необходимо предварительно решать в тетради.
При выполнении упражнений в случае появления сообщения об ошибке рекомендуется сначала самостоятельно выяснить, чем оно вызвано, и исправить команду; если многократные попытки устранить ошибку не привели к успеху, - проконсультироваться с преподавателем.
Дома доделать примеры и упражнения, которые Вы не успели выполнить во время занятия; выполнить дополнительные упражнения для самостоятельной работы и ответить на контрольные вопросы.
Подготовить отчёт, в который включить результаты по упражнениям и развернутые ответы на контрольные вопросы. Отчёт представить в виде документа Microsoft Word, имя файла (пример): «мп_17_Иванов_Павел_лаб_1_1» (факультет_группа_Фамилия студента_Имя студента_номер лабораторной). По каждому выполненному упражнению отчет должен содержать:
№ упражнения; текст упражнения;
команды, скопированные из командного окна, с комментариями к ним
результаты их выполнения, включая построенные графики;
выводы и комментарии к полученным результатам.
*Без предъявления письменных решений электронный отчет не рассматривается. **При проверке решений и отчета у преподавателя не должно возникать необходимости обращаться к источнику задания.
1.Геометрические векторы и линейные операции над ними.
Геометрическим вектором (или просто вектором) называется отрезок, концы которого рассматриваются в определенном порядке (т. е. указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом).
В
екторы
обозначают символом
,
либо одной малой полужирной латинской
буквой, например,
,
Если за начало отрезка
принята точка
,
то точку
называют точкой приложения вектора.
На чертеже (рис. 1.) вектор изображен отрезком со стрелкой в конечной точке B.
Длиной вектора
назовем длину отрезка
и
в записи используем знак абсолютной
величины:
(либо
).
Вектор
называется нулевым вектором, если
его конечная точка
совпадает
с начальной
.
Нулевой вектор, в силу его определения, не имеет направления, а длина его равна нулю.
Векторы
и
назовем коллинеарными, если они
лежат либо на одной прямой, либо на
параллельных прямых (рис. 2).
Два вектора и называют равными, если они коллинеарны, имеют общее направление и равные длины (рис. 3).
Из определения
следует, что два вектора, равные третьему,
равны между собой (Рис. 3.) Именно поэтому
в аналитической геометрии не различают
равные векторы, имеющие разные точки
приложения. Векторы, изучаемые в
аналитической геометрии, называются
свободными. Обычно их и обозначают
малой полужирной латинской буквой,
например
.
Векторы, приложенные к какой-то точке
или
,
называются закрепленными.
Напомним, что сумма двух векторов может быть найдена:
а) по правилу треугольника; б) по правилу параллелограмма (см. рис. 4).
Рис.4.
Если векторы
и
коллинеарны,
то “работает” только первое правило.
Кроме того, для
любых точек M, N,
P плоскости или
пространства имеет место правило трёх
точек:
(см. рис. 5).
Рис.5.