Занятие 2
Определители II и III порядков и формулы Крамера.
(технический аппарат)
Определителем второго порядка называется число, соответствующее квадратной матрице второго порядка, равное a11a22 – a21a12. Для обозначения определителя обычно используют прямые скобки (или символ det):
a |
a |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
11 |
12 |
|
→ |
det A = |
A |
= d = |
11 |
12 |
= a11a22 |
− a21a12 |
A = |
|
|
|
|
||||||
a21 |
a22 |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
Возникновение математической конструкции «определитель» связывают с задачей исследования и отыскания решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
a |
x + |
a |
x |
2 |
=b , |
11 |
1 |
12 |
|
1 |
a21x1 + a22x2 =b2 ,
где коэффициенты a11, a21, a12, a22 при неизвестных x1, x2 и свободные члены b1, b2 системы уравнений считаются заданными.
Если ввести обозначения:
A |
|
= d = |
a11 a12 |
, d1 |
= |
b1 |
a12 |
, d2 |
= |
a11 b1 |
, |
||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
a |
21 |
a |
22 |
|
|
b |
a |
22 |
|
|
a |
21 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
Если d ≠ 0 , то решение системы может быть записано при помощи
формул Крамера:
x |
= |
d1 |
, |
x |
2 |
= |
d2 |
|
|
||||||||
|
|
|||||||
1 |
|
d |
|
|
d . |
|||
|
|
|
|
|
||||
d = 0 , то применение формул Крамера
невозможно, и дальнейшее исследование системы уравнений требует рассмотрения ряда случаев.
Пусть имеем квадратную матрицу третьего порядка:
|
a |
a |
A = |
11 |
12 |
a21 |
a22 |
|
|
|
a32 |
|
a31 |
a13 a23 , a33
элементами aij , которой могут быть элементы любого числового поля.
Определителем третьего порядка называется число:
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32 ,
составленное из элементов матрицы A. Слагаемые суммы называют членами определителя 3-го порядка. Обозначения определителя 3-го порядка аналогичны введенным для определителя 2-го порядка:
13
a11 a12 a13
det A = A = d = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Формула для вычисления определителя третьего порядка называется правилом Саррюса. Для запоминания этого правила нередко используют геометрическую схему составления членов
определителя и выбора их знаков.
1) положительные члены определителя составляют по схеме С1:
11 |
|
|
12 |
|
13 |
22 |
|
|
23 |
|
21 |
33 |
|
31 |
|
|
32 |
2) отрицательные члены определителя составляют по схеме С2:
|
13 |
|
|
12 |
|
11 |
22 |
|
|
21 |
|
|
23 |
31 |
|
|
|
33 |
|
32 |
Вычисление определителя третьего порядка разложением по первой строке:
(это одно из свойств определителя, но пока мы будем работать с этим свойством, не вникая в его происхождение)
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a22 |
a23 |
|
|
a21 |
a23 |
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
a |
a |
= a |
|
−a |
|
+ a |
|
= |
||||||
21 |
22 |
23 |
11 |
|
a |
a |
12 |
|
a |
a |
13 |
|
a |
a |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
32 |
33 |
|
|
31 |
33 |
|
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=a11(a22a33 −a23a32 )−a12 (a12a33 −a13a32 )+ a13 (a12a23 −a13a22 )=
=a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32
Рассмотрим приложение определителя 3-го порядка к решению систем по
формулам Крамера.
Пусть имеем систему уравнений с тремя неизвестными:
a11x1 + a12x2 + a13x3 =b1,a21x1 + a22x2 + a23x3 =b2 ,a31x1 + a32x2 + a33x3 =b3 ,
14
где коэффициенты aij, i =1,2,3; j =1,2,3 при неизвестных xi , |
i =1,2,3 и свободные члены bi , |
|||||||||||||||||||||||||||||
i =1,2,3 системы уравнений считаются заданными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
|
|
|
b1 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
|
a11 |
a12 |
b1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
d = |
a21 |
|
a22 |
a23 |
|
, d1 = |
|
b2 a22 |
a23 |
|
, d2 = |
|
a21 b2 |
a23 |
|
, d3 = |
|
a21 |
a22 |
b2 |
|
|
||||||||
|
a31 |
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
b3 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
|
|
|
a31 |
a32 |
b3 |
|
|
|||
Если d ≠ 0 , то для записи решения системы можно использовать формулы Крамера: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
= |
d1 |
, |
|
|
x2 = |
d2 |
|
, |
x3 = |
d3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
d = 0 , то применение формул Крамера
невозможно, и дальнейшее исследование системы уравнений требует рассмотрения ряда случаев.
Упражнение 2.1. Вычисление определителей II порядка
Посмотрите/Вспомните Упражнения 4 и 5 из Занятия 1. Выполните их, затем перейдите к выполнению данного упражнения.
Введите
>>syms a11 a12 a21 a22
Создадим матрицу 2х2:
>>A=[a11 a12; a21 a22]
1.Мы можем вычислить определитель матрицы A, обращаясь к индексам элементов массива A: >>detA=A(1,1)*A(2,2)-A(2,1)*A(1,2)
detA= a11*a22-a12*a21
2.Мы можем вычислить определитель матрицы A
с помощью стандартной функции det(имя квадратной матрицы), тем самым сделав проверку: >> detA=det(A)
detA =
a11*a22-a12*a21
И мы получили известную формулу для вычисления определителя.
Упражнение 2.2 |
|
|
1 |
|
|||
|
1 |
4 |
, |
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить определители второго порядка, при необходимости вводя символьные переменные, |
|||||||
а также |
прибегая к упрощению см. в help через Index в разделе simplifications (упрощения) как делать |
||||||
5 |
2 |
|
|
4 |
1 |
|
|
различные преобразования в алгебраических выражениях.
1)в тетради
2)обращаясь через индексы к элементам массива
3)сделать проверку с помощью стандартной функции det()
Упражнение 2.3. Вычисление определителей III порядка
>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
Создать из этих символов квадратную матрицу B размером 3х3. Вычислить определитель матрицы B
1)по правилу Саррюса, обращаясь через индексы к элементам массива 2)разложить по первой строке, обращаясь через индексы к элементам массива 3)сделать проверку, обращаясь к стандартной функции det()
15