16. Формула Тейлора

Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные до той включительно. Тогда ее можно разложить в окрестности точки по формуле Тейлора , где - точка, лежащая на прямой между точками и .

17. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума

Опр. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если . В случае строгих неравенств экстремумы называются строгими.

Теор. (Необходимое условие экстремума). Пусть имеет экстремум в точке , тогда, если существуют частные производные первого порядка , то они равны нулю в этой точке.

Док. Зафиксируем все переменные кроме той. Получим функцию одной той переменной, которая имеет экстремум, а, значит, ее производная, согласно теореме Ферма, равна нулю. Теорема доказана.

18. Достаточное условие экстремума

Теор. (Достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные второго порядка, и пусть . Тогда, если - положительно определенная квадратичная форма, то - точка строгого минимума, если - отрицательно определенная квадратичная форма, то - точка строгого максимума, если - неопределенная квадратичная форма, то в точке нет экстремума.

Док. Используя формулу Тейлора при и тот факт, что , запишем приращение функции .

Пусть является положительно определенной квадратичной формой, тогда в силу последнего утверждения найдется такое положительное число , что . Теперь приращение функции можно записать в виде . Последний член в неравенстве более высокого порядка малости при , чем предпоследний. Поэтому найдется окрестность точки , в которой предпоследний член превзойдет последний по модулю, и мы получим , то есть в точке будет наблюдаться локальный минимум. Аналогично доказывается для отрицательно определенной квадратичной формы. Для неопределенной квадратичной формы доказывается методом от противного. Теорема доказана.

19. Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума.

Пусть задана функция и уравнения связи

Опр. Функция имеет в точке условный максимум (минимум), если и удовлетворяющим уравнениям связи выполняется неравенство . В случае строгих неравенств условные экстремумы называются строгими.

Прямой метод отыскания условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений связи можно выразить какие-либо переменных через остальные переменных. Тогда, подставив их в получим функцию переменных. Задача отыскания условного экстремума сводится, таким образом, к отысканию обычного экстремума.

20. Теорема о неявной функции.

Теор. Пусть непрерывная функция имеет в окрестности точки непрерывные производные и при этом , , тогда существует прямоугольник в котором функция определяет как неявную функцию . Функция - непрерывно дифференцируема на интервале и .