Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
Опр. Пусть
задана на луче
и интегрируема на любом конечном отрезке
.
Если существует предел
,
то он называется несобственным интегралом
первого рода и обозначается
.
Опр. Пусть
задана на полуинтервале
,
интегрируема на любом конечном отрезке
,
и неограниченна в окрестности точки
.
Если существует предел
,
то он называется несобственным интегралом
второго рода и обозначается
.
Теор. (Критерий Коши сходимости
несобственных интегралов) Пусть задан
интеграл
с единственной особенностью в точке
(
неограниченна в точке
или
).
Для его сходимости необходимо и достаточно
выполнения условия Коши:
.
Док. Рассмотрим функцию
Тогда сходимость интеграла
означает существование конечного
предела функции
при
,
а этот конечный предел, согласно Критерию
Коши для функции
,
существует в том и только том случае,
когда
удовлетворяет условию:
.
Но
.
Теорема доказана.
Несобственные интегралы. Их свойства
Опр. Пусть задана на луче и интегрируема на любом конечном отрезке . Если существует предел , то он называется несобственным интегралом первого рода и обозначается .
Опр. Пусть задана на полуинтервале , интегрируема на любом конечном отрезке , и неограниченна в окрестности точки . Если существует предел , то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается .
Свойства несобственных интегралов
1.
и
,
особенность в точке
- сходятся и расходятся
одновременно. (Критерий Коши формулируется
одинаково).
2.
=
+
.
(Является следствием равенства
=
+
).
3. Если
-
сходится, то сходится
,
причем
.
( Из условия Коши сходимости интеграла
следует условие Коши для интеграла
,
т.к. справедливо неравенство
.
Воспользуемся неравенством
В силу сходимости интегралов существуют
пределы от левой и правой частей. Переходя
к пределам, получаем неравенство
.)
Необходимое и достаточное условие сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций
Теор. Если
,
то для сходимости
необходимо и достаточно, чтобы функция
бала ограничена сверху, т.е.
.
Док. Так как
возрастающая функция, то из сходимости
интеграла следует
Обратно, если
возрастающая функция и ограничена
сверху, то она имеет конечный предел.
Теорема доказана.
Признак сравнения
Теор. (Признак сравнения). Если
выполняется условие
,
тогда:
а). Из сходимости
следует сходимость
;
б). Из расходимости следует расходимость .
Док. а). Имеем
Так как
,
то по предыдущей теореме
сходится.
б). Из расходимости следует расходимость . Предположим обратное, что сходится, тогда по пункту а) тоже сходится. Противоречие. Теорема доказана.
Предельный признак сравнения
Теор. (Предельный признак сравнения).
Пусть функции
и
положительны и
,
тогда несобственные интегралы
и
сходятся и расходятся одновременно.
Док.
.
Раскрывая последнее неравенство
и используя признак сравнения, получим,
что интегралы
и
сходятся и расходятся одновременно.
Теорема доказана.
Открытые, замкнутые, ограниченные, связные множества
Пусть
-
некоторое множество точек в пространстве
.
Опр. Точка
называется внутренней точкой, если
существует
окрестность
точки
,
содержащаяся в множестве
.
Опр. Множество называется открытым, если все его точки внутренние.
Опр. Точка называется граничной точкой множества, если в любой окрестности этой точки существуют точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие множеству.
Опр. Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки.
Опр. Множество
называется ограниченным, если существует
мерный
шар с центром в начале координат, такой,
что
.
Опр. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной прямой, принадлежащей этому множеству.
Опр. Областью называется открытое связное множество.
Предел функции.
Критерий Коши существования конечного предела
Опр.
,
если
определена в некоторой окрестности
точки
,
за исключением быть может самой этой
точки, и если
.
Опр. (По Гейне)
,
если
.
Непрерывность функции в точке
Опр. Функция
непрерывна в точке
,
если она определена в некоторой
окрестности точки
и в самой этой точке, и если
,
то есть
.
Дифференцируемость функции.
Необходимое условие дифференцируемости
Опр. Функция
называется дифференцируемой в точке
,
если ее приращение можно представить
в виде
,
где:
-
не зависит от
;
при
;
;
.
Теор. (Необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , тогда она имеет в этой точке все частные производные.
Док. Пусть
дифференцируема в точке
,
то есть
.
Пусть
.
Тогда
,
.
Следовательно существует предел
.
Аналогично доказывается для
.