подгон 2018 (легендарный) / 1 семестр / Линейная алгебра / Коллоквиум 1 поток / Новая папка / 9Смешанное произведение векторов

Вопрос №9 Определение Смешанное произведение векторов — число, равное по модулю скалярному произведению вектора на векторное произведение двух других векторов. <a;b;c>=([a;b]c)=|a|*|b|sin(x)*|b|cos(y) где а,b,c — векторы х — угол между а и b y – угол между с и [a;b] смешанное произведение векторов положительно, если векторы образуют правую тройку в декартовой системе координат и отрицательно, если образуется левая тройка

Также смешанное произведение равно произведению определителя матрицы координат векторов а,b,c на смешанное произведение базисных векторов системы координат, в которых выражены координаты данного вектора a1 a2 a3 <a;b;c>= b1 b2 b3 *<i;j;k> (где i,j,k — базис данной системы координат) c1 c2 c3

(доказать можно по свойству 1 (см. ниже), представив а,b,с в виде <a1*i+a2*j+a3*k;b1*i+b2*j+b3*k;c1*i+c2*j+c3*k>)

Г

а

b

c

y

x

еометрический смысл смешанного произведения Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенного на данных векторах

О

H

бъем параллелепипеда равен произведению основания на высоту: V=H*S=(|a|*|b|sin(x))*(|b|cos(y))=|<a;b;c>|

С войства смешанного произведения

1

линейность

) <a+a';b;c>=<a;b;c>+<a';b;c>(аналогично для векторов b и с) 2) <k*a;b;c>=k*<a;b;c> (аналогично для векторов b и с) 3) <a;b;c>=<b;c;a>=<c;a;b>= = -<c;b;a>= -<a;c;b>= -<b;a;c> Линейные свойства доказываются из свойств векторного и скалярного произведений. 3 свойство можно доказать с помощью определения геометрического смысла смешанного произведения векторов