подгон 2018 (легендарный) / 1 семестр / Линейная алгебра / Коллоквиум 1 поток / Новая папка / 5.Параллельный перенос и поворот осей координат на плоскости

Б

CollokviumpoLinaly

илет №5

Пусть точка М имеет координаты (х, у) в "старой" системе и координаты (х,' у')в "новой" системе, α - угол поворота осей координат, отсчитываемый в положительном направлении от "старой" оси Ох. В данном случае происходит изменение базиса   на базис  Запишем координаты векторов   и   в базисе  Итак 1)действие

<<Пояснение: cosα,cos(π/2-α), cos(π/2+α), есть не что иное как проекция iי,jיна старые оси x и y(Чтобы найти проекцию вектора на ось надо модуль этого вектора умножить на косинус угла между направлением оси и направлением вектора, модуль=1,т.к вектора единичные)>>

2)действие

<<Пояснение: OM-радиус вектор,который мы раскладываем по единичным векторам в старой и новой системе координат(как видно они равны) ,далее во второй строчке мы раскладываем iי,jיпо старым i,j, для этого умножаем полученные координатыв 1 действии на вектора I,j. Раскрываем скобки в 3 строчке ,делаем преобразования и выносим I и j соответственно.>>т.е., мы получили

формула(43)выражает "старые" координаты через "новые".

3)действие

Чтобы найти выражение "новых" координат через "старые”

З аменим α на –α получим

X’=xcosα+ysinα

Y’= -xsinα+ycosα

Параллельный перенос системы координат

Мы рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. При параллельном переносе системы координат сохраняется направление координатных осей, но меняется положение начала координат

Пусть Оху - "старая" система координат, аО'х'у' - "новая" система координат. Пусть произвольная точка имеет координаты (х, у) в "старой" системе, и она же имеет координаты (х', y')в новой системе, кроме того, пусть новое начало O' имеет координаты (а, b) в "старой" системе (рис. 12).

Тогда

Т.к. при параллельном переносе осей координат базис не меняется, то при сложении векторов можно складывать их координаты.

Следовательно, имеем