подгон 2018 (легендарный) / 1 семестр / Линейная алгебра / Коллоквиум 1 поток / Новая папка / 19 Общее уравнение кривой 2-го порядка. Избавление от с помощью поворота

19. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Избавление от с помощью поворота.

Общее уравнение кривой второго порядка:

a_11*x^2+2*a₁₂*x*y+a₂₂*y²+2*a₁*x+2*a₂*y+a=0

a₁₁,a₁₂,a₂₂-не должны равняться нулю одновременно

Теорема: Поворотом системы координат осей можно избавиться от XY

Доказательство:

1)x=x^’cosW-y^’sinW

y=x^’sinW+y^’cosW

2)

a₁₁(x^’cosW-y’sinW)+2a₁₂(x’cosW-y’cosW) +(x’cosW+y’cosW)+a₂₂(x’sinW+y’cosW)²+2a₁(x’cosW-y’sinW)+2a₂(x’sinW+y’cosW)=0

Коэффициенты при x'y’ равен: -2a₁₁cosWsinW+2a₂(cosW²-sinW²)+2a₂₂cosWsinW

2cosWsinW=sin2W

Cos²W-sin²W=cos2W

Ctg2W=a₁₁-a₂₂/2a₁₂

С учетом теоремы получаем:

(xy-нет)

q_1x2+q_2y2+2a₁x+2a₂y+a=0

q₁(x²+(2a¹/q₁)x)+ a₁²/q₁-a₁²/q₁²+q₂y²+2a₂y+a=0

q₁(x+a_1/q)²+q₂y²+2a₂y+a-a₁²/q1=0

%система%

X=x+a₁/q₁

Y=y (ПОСТАВЬТЕЗДЕСЬ НАД ПЕРВЫМИ X Y ВОЛНЫ)

q1x²+q2y²-2a₁y+a=0 (РЕБЯТА,ЗДЕСЬ НАД Х И А ПОСТАВЬТЕ ВОЛНУ СВЕРХУ)