подгон 2018 (легендарный) / 1 семестр / Линейная алгебра / Коллоквиум 1 поток / Новая папка / 12.Уравнение прямой в пространстве каноническое, параметрическое

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Выберем следующий способ задания прямой линии в пространстве: укажем точку, через которую проходит прямая a, и направляющий вектор прямой a. Будем считать, что точка   лежит на прямой а и   - направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек   трехмерного пространства определяет прямую атогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны.

апишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов   и   в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора   нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора   - они равны разности соответствующих координат точек   и  , то есть,   (при необходимости смотрите нахождение координат вектора по координатам точек). Теперь записываем условие коллинеарности векторов   и  : , где   - произвольное действительное число (при  точки   и   совпадают, что нас тоже устраивает).

Если  , то каждое уравнение системы   можно разрешить относительно параметра   и приравнять правые части:

Полученные уравнения вида   в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения   есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.