Добавил:

CyberTechWiz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

TR_2_proizvodnye

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.09.2024

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

12.y (x 5)ch x .

13.y x tg x.

14.y (cos5x)x .

15.y (x4 5)ctg x .

16.y (cos x) x .

17.y (tg x)ln tg x .

18.y (x8 1)th x .

19.y (sin 3x)x 4.

Задание 9. Найти производные

параметрически.

20.y (3x 2) tg x.

21.y ( x 1)sin x .

22.y (cos 3x)ctg x .

23.y (x3 4)tg x .

24.y (cos x)ln(x 5) .

25.y (x2 1)sh x .

26.y (ln x)cth 2x .

y	и	y	от функции, заданной
x		xx

x (2t 3) cos t,

1.y 3t 3.

x 2 cos2 t,

2.y 3sin 2 t.x 6cos3 t,

3.y 2sin 3 t.

		1
	x				,
	x	t			,
4.		t	2
4.		t		2
	y	t					.

						2
		(t 2)
		(t 2)

x e 2t ,

5.y e4t .

x t ,

6.y 5t.

x et cos t,

7.y et sin t.

ln t

8.x t ,y t ln t.

x arctg t,

9.y ln (1 t 2 ).x arcsin t,

10.y 1 t 2 .

11.x 3(t sin t),y 3(1 cos t).

x sin 2t,

12.y cos2 t.

x e3t ,

13.y e 3t .

x arccos t,

14.y 1 t 2 .

15.x 3 (t 1)2 ,y t 1.

	x t et ,
16.				t
16.				t
	y						.
	y			e		t	.
				e
		1
	x				,
	x		t		,
17.			t
17.						1
	y					1		.

			1 t 2
			1 t 2
18.	x arcsin t,
	y ln t.

x cos 2t,

19.y 2sec2 t.

20.x cos t t sin t,

y sin t t cos t.

x sh t,

21.y th2t.

22.x ln t,

y arctg t.

23.x sin t,

y ln cos t.

24.x t 3,

y ln (t 2).

25.x ln 2 t,

y t ln t.

26.x cos2 t,

y tg 2t.

Задание 10. Найти производные
Задание 10. Найти производные		yx ,	yxx	, x y , xyy .
1. e y xy x2.					5.	x3 4y3 3x2 y 2.
2.	x2 3xy y2 5.				6. 1 y cos(x y) cosx.
3.	y arctg (x y) x.				7.	x2 2xy y3 1.
4.	y cos(x y) x.				8.	x y ex y
			12

9. x3 y3 3xy 0.			19.	y cos(x y) x.
10.	cos xy x y.		20.	x32xy y2 2.
11.	ex e y ex y .		21.	x y e y x .
12.	y sin (x y) x.		22. 1 x cos(x y) cos y.
		y	23. sin − 3 = 2 .
		x e.
13.	ln x e
14.	x2 5xy y2 2x y 6 0.		24.	ex e y x y.
15.	ex e y y x.		25.	sin 2 (x y) x.
16.	y sin 2 (x y).		26. . 4 + 3 − 2 2 = 1.

17.4x3 y3 3xy2 1.

18.ex y2 xy.

Задание 11. Найти дифференциалы первого и второго порядков.

1.y x1 x2 .

2.y ln (3x2 5x 2).

3.y sin 3 (2x 5).

4.y e5x (1 2x x2 ).

5.y ln 2 (3x 4).

6.y (4x 9)sin 7x.

7.y cos4 (1 2x).

8.y x2arctg x.

9.y (4 x)ln (2x 3).

10.y e2x2 5x 3.

11.y (5x 7)cos2x.

12.y ln (x2 8x 9).

13.y sin 2 (1 x).

14.y e x (2x2 4x 4).

15.y ln 2 (7x 2).

16.y (3 8x)sin 3x.

17.y cos3 (4x 1).

18.y 1 x2 arcsin x.

19.y (6x 1)ln (9x 5).

20.y e x2 6x 2.

21.y (1 7x)cos5x.

22.y ln (2x2 4x 7).

23.y sin 4 (6x 5).

24.y e2x (x2 6x 10).

25.y (8 3x)cos6x.

26.y ln 2 (1 4x).

Задание 12. Вычислить приближенно значение функции в данной точке хо при помощи дифференциала.


1.	y	x2 5 ,		x	1,97 .
				o
2.	y x7 ,			x	2,001.
				o
3.	y	1	,	xo	1,016.


		2x2 x 1
		2x2 x 1
4.	y 3			xo	8,15.
4.	y 3	x,		xo	8,15.

5.	y	x2 x 3,		x	1,98.
				o
6.	y x11,			x	1,021.
				o
	y 3
7.	y 3	x3 7x ,		x	1,012.
				o
8.	y x21,			xo	0,998.

9.	y 3	x2 ,		xo	1,03.

10.	y	1			,	x		4,16.
10.	y				,	x		4,16.
				x		o
				x
11.	y 4					xo		16,01.
11.	y 4			x,		xo		16,01.
12.								1,18.
12.	y		4x 3,			xo		1,18.

13.	y		x3 ,			x		0,98.
						o

14.	y		x2 x 1,			x		1,06.
						o
15.	y x5,					xo		1,99.
16.								2,02.
16.	y		4x 1,			xo		2,02.

17.	y 5		x2 ,			xo	1,05.

18.	y		2x2 2x 3,			x		0,96.
						o
19.							1,98.
19.	y 3		3x 2,			xo	1,98.

20.	y x8,		xo 0,998.		24.	y x3,				xo	3,001.
21.	y 5		xo	32,01.			1
		x,			25.		1				0,98.
		x,				y			,	xo
						y	x2		,	xo
							x2	3
22.	y 3	x2 ,	xo	8,003.	26.	y x10,				xo	1,001.
					26.	y x10,				xo	1,001.

23.	y	x2 3 ,	x	1,97 .
			o

Задание 13. Составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой хо.

1.	y		x2		2x 3								,			x		4.
1.	y												,			x		4.
							4										o
							4
2.	y x e3x ,															x		0.
																	o
3.																		xo 1.
3.	y 14					x 153								x 2,				xo 1.


4.	y 3(3 x2 6 x ),																	x 1.
																		o
5.	y		x2		3x 3								,		x		3.
5.	y												,		x		3.
							3								o
							3
6.	y			64						,					xo		2.

			3x
			3x		2
7.															xo 1.
7.	y 63 x 164 x,														xo 1.
8.	y		2(x8 2)										,		x		1.
8.	y												,		x		1.
				3(x4 1)											o
				3(x4 1)
9.															xo 2.
9.	y 55 x 1,														xo 2.
10.																1.
10.		y 33					x 2						x,		xo	1.
11.		y		1 3x2								,			x	1.
11.		y										,			x	1.
				3 x2											o
				3 x2
12.		y			2x						,				x 0.
12.		y		x2							,				x 0.
				x2					1						o
13.																	1.
13.		y 3(3						x 2						x ),	xo		1.

14.	y	x5		1	,

		x4		1

15.
	y		x 33				x,
16.	y	x3		2	,
		x3		2

17.
	y (x 1)					3 x,
18.	y			2	,

		1 x2

19.y x3 , 3

20.y x2 e2x ,

21.y xx 11,

22.y ln 2 (2 x),

23.y (x 2)5 x,

24.y 25 x,

25.y ln 1x ,

xo 1.

xo 64.

xo 2.

xo -1.

xo 1.

xo -1.

xo 0.

xo 2.

xo 1. xo 1. xo 1.

xo 1.

26. y	1	x	,	x	4.

1		x		o

Задание 14.
1. В каких точках кривой y x3 3x						касательные параллельны прямой y 9x 2 ?

2. Написать уравнение касательной к кривой y 4x x2 в точке пересечения с осью ОХ.

3.Под каким углом пересекаются кривые 2 y x2 и 2y 8 x2 ?

4.Найти уравнения тех касательных к гиперболе y xx 95 , которые проходят

через начало координат.

5. Составить уравнения касательных к линии

y x 1x в точках еѐ пересечения с

осью абсцисс.

5. Под каким углом кривая y ln x пересекает ось абсцисс?

7.	На линии	y	1	найти точку, в которой касательная параллельна оси

			1 x2
абсцисс.
8.	Составить	уравнения касательных к параболе y x2 4x 4 в точках,

ординаты которых равны 1.

9.На синусоиде y sin x найти точки, в которых касательная параллельна прямой x y 1 0.

10.Найти тангенс угла, под которым пересекаются касательные, проведѐнные к параболе y x2 в точках с абсциссами x 2 и x 4 .

11.Под каким углом пересекаются кривые y x4 и y x5 ? (рассмотреть x 0 ).

12. Составить уравнение касательных к линии y x 4x в точках еѐ пересечения с осью абсцисс.

13.На косинусоиде y cos x найти точки, в которых касательная параллельна прямой y 0,5x 1.

14.На каком расстоянии от начал координат касательная, проведѐнная к кривой y x 1 в точке с абсциссой xo 2 , пересекает ось ординат?

15.Под каким углом кривая y ex пересекает прямую y 1 ?

16.Под каким углом пересекаются кривые y x2 8 и y x2 ?

17.На параболе y 2x2 4 найти точку, касательная к которой параллельна

биссектрисе первого координатного угла.

18.Найти угол между кривой y x x3 и прямой y 5x .

19.На синусоиде y sin 2x найти точки, в которых касательная параллельна прямой y x 1 0 .

20.Под каким углом кривая y ex 1 пересекает ось абсцисс?

21.Под каким углом пересекаются кривые y sin x и y cos x ( 0 x 2 )?

22.	Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой y sh х,
проведѐнная в точке (0;0)?

23.	Найти уравнение касательной к кривой			y (4 x)3	в точках пересечения с
осями ОХ и OY.
24.	Составить уравнения касательных к окружности				x2 y2 2x 2y 3 0			в
точках еѐ пересечения в осью абсцисс.
25.	Составить уравнения касательных к			гиперболе	y	x 4	в точках	еѐ
25.	Составить уравнения касательных к			гиперболе	y	x 2	в точках	еѐ
						x 2
пересечения с осями координат.
	2
26.	На линии y		найти точку, в которой касательная параллельна оси
26.	На линии y	1 x2	найти точку, в которой касательная параллельна оси

абсцисс.

Задание 15. Найти уравнения касательной и нормали к кривой, заданной неявно, в данной точке А.


1.	3x2 y2 6,
						A(1; 3).
2.	9x2 4 y2		5,			A(1; 1).
3 x 2y ln( x 2) ln( y 1) 3,						A( 1;2).
4.	4x2 9y2		27,			A( 3;1).
5.	x2 3xy y2 9,					A(2;1).
6.	e1 x ey 1		x2 y2 3,			A(1;1).
7.	x2 x y2 y 2,					A(1;0).
8.	x2 4xy y2 4 0,					A(3;1).
9.	cos( x) tg( y) x y 1 0,					A(1;1).
10.		x2 2y2	1 0,			A(1;1).
11.		2ex ey	3 0,			A(0;0).
12.		x2 2y2	9,			A(1;2).
13.		ln( x 2) xy y 4,				A(3;1).
14.		tg( x) tg( y) 2 0,			A(0,25;0,25).

15.		4 x 2		y x 5,		A(1;1).

16.	3ex 1 ey 4y 4 0,	A(1;0).
17.	x2 3xy y2 4,	A(2;0).
18.	tg( x) cox( y) x y 1 0, A(1;1).
19.	xy x ln( x 2) 8,	A(2;3).
20. 16x2 9y2 20 0,		A(1;2).
21.	ex 1 2xey 1 1 0,	A(1; 1).
22.	tg( x) tg(2 y) 1,	A(0,25;0,5).
23.	ln( x 3) ln( y 2) x 4,	A(4;3).
24.	cos( x) sin( 0,5 y) 2x 2, A(0,5;0,5).
25.	x3 y3 3xy 1,	A( 1;1).
26.	5x2 xy 6y2 10,	A(1;1).

Задание 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрически, в точке, соответствующей значению параметра to .

1.	x 2et ,		,
1.			,
	y e t .

2.	x 2t ,	,
2.		,
	y 4t.

3.	x 2tgt,				,
	y 2sin 2 t sin 2t.
4.	x sin	3 t,		,
4.				,
	y cos3 t.

5.x 2(t sin t), ,

y 2(1 cost).

6.x 3e t , ,y e3t .

to 0.

to 4 .

to 3 .

to 0.

7.x 3 cost, ,y sin t.

8.	x sin 4 t,	,
8.		,
	y 2 cos4 t.

	x ln(1 t 2 ),
9.			,
	y t 2 .

10. x 3cost, ,y 4sin t.

11. x t t3 , ,

y 1 t 2 .

12. x e4t , ,

y 4et .

to 3 .

to 4 .

to 1.

to 4 .

to 2.

to 0.

13.	x t 2 ,			,
13.				,
	y (t	2)2 .

14.	x sin 2 t,		,
14.			,
	y cost.
15.	x 2sin t, ,
	y cost.
16.	x sin 3	2t,		,
16.				,
	y cos3 2t.

17.	x 2et ,	,
17.		,
	y e2t .

18.x sin t, ,

y 2t.

19.x et sin t, ,

y et cost.

to 1.

to 3 .

to 6 .

to 0.

20.	x t 2	,		,
20.				,
	y ln(1 t 2 ).

21.	x 3(t sin t),				,
	y 3(1 cost).
22.	x sin 3 t,		,
22.			,
	y cos3 t.

23.x 4t , ,y 2t.

24.x t sin t, ,y 2 cost.



25.	x t ,		,
25.			,
	y 3	t 1.

26.	x t3	1,		,
26.				,
	y t 2	t 1.

to 1.

to 3 .

to 4 .

to 1.

to 4 .

to 9.

to 1.

Задание 17. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя.

)

lim

2 2−5 +9

;

b) lim

sin −sin 6

→∞ 6 2+4 −4

1−cos

→0

)

lim

8 2−5 +5

;

b) lim

sin 4−sin 6

→∞ 6 2+8 −4

1−cos 2

→0

)

lim

2 3−5 +5

;

b) lim

ln 1+sin

→∞ 3 2+8 −4

sin 4

→0

)

lim

2 3

−5 +5

;

b) lim

ln 1+2

→∞ 4 3

+8 −3

3 −1

→0

)

lim

2 4

−5 +6

;

b) lim

3 2−4

→∞ 5 3

+8 −3

→0

sin 4

2 4

)

lim

−5 −6

;

b) lim

1−

cos

→∞ 3 4

+7 −3

→0

sin 4

)

lim

2 3

−5 +5

;

b) lim

ln 1−6

→∞ 8 4

+8 −1

sin 8

→0

)

lim

5 3

−5 +5

;

b) lim

cos −1

→∞ 4+7 −1

→0 cos 6 −cos 4

4+6 −6

9. ) lim→∞ 9 4+7 −3 ;

3 4−5 −1 10. ) lim→∞ 2 4+8 −3 ;

2 3−5 +15

11. ) lim→∞ 21 4+8 −1 ;

12 4−5 +6

12. ) lim→∞ 5 3+8 −13 ;

3 3−5−14

13. ) lim→∞ 12 4+8 −3 ;

3 3−5 −14

14. ) lim→∞ 15 3−7 −3 ;

12 3−5 +1

15. ) lim→∞ 3 3+8 −14 ;

4 3−3 +11

16. ) lim→∞ 3 4+8−14 ;

2 2−5 +1

17. ) lim→∞ 3 3−2 −14 ;

6 3−5−24

18. ) lim→∞ 5 3−7 −3 ;

4−15 +6

19. ) lim→∞ 5 3+8 −3 ;

2 2−5 +16

20. ) lim→∞ 13 2−2 −14 ;

3 3−5 −4 21. ) lim→∞ 2 3−6 −3 ;

4 3−5 −4 22. ) lim→∞ 2 3− −23 ;

4 3−5 −4 23. ) lim→∞ 2 4−−2 ;

3−15 −4 24. ) lim→∞ 2 4−−1 ;

7 4− −4 25. ) lim→∞ 2 4+−1 ;

4 3− −14 26. ) lim→∞ 2 2+3 −1 ;

b) lim

−sin

→0 (1−cos 4 )

b) lim

2−1

→1

b) lim

1+cos .

→1

( )

b) lim

cos 5 −cos 3

→

sin 2

b) lim

sin 7

→2 sin 8

b) lim→1

35 −3−32 2

b) lim

1−2

→1 sin

b) lim

→

cos 2

b) lim

2 −16

sin

→4

b) lim

1+cos 3

→

b) lim

2−2

→

sin 2

b) lim→

−

sin 5−sin 3

b) lim

cos 3 −cos

→

1−sin

b) lim

→

−

cos

b) lim

→1 1−

b) lim→1

sin

1−

2−3 +3

b) lim

ln sin 3

→

6 − 2

b) lim

ln cos

→2 3sin

2 −1

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
14.09.2024335.98 Кб1TR_1_predely.pdf
#
14.09.20242.28 Mб0TR_2_proizvodnye.pdf
#
14.09.2024596.84 Кб0TR_3_issledovanie_funktsiy.pdf
#
14.09.2024440.15 Кб0TR_3_Zadacha_17.pdf
#
14.09.20241.64 Mб0TR_4_FNP.pdf
#
14.09.20242.08 Mб7Задания по теме Функции нескольких переменных - Лубенец.pdf
#
14.09.20241.75 Mб1ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКцИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И РЯДы - ЛУБЕНЕЦ .pdf