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Липецкий государственный технический университет

Предмет:

Математический анализ

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(n2 + 5)(n4 + 2)

− n6 − 3n3 + 5

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☆

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Задача 1. Доказать, что


1.1.	a	=		3n − 2			,		a =		3			.

	n			2n −1					2
1.3.	a	=		7n + 4				,	a =			7			.

	n			2n +1					2
1.5.	a	=		7n −1		,			a = 7.

	n			n +1
1.7. an		=	9−n3		,				a = −	1			.

		1+2n3							2

Расчетные задания

liman = a (указать N (ε )

n→∞

1.2. an =

4n −1, a = 2.

2n +1

1.4. a		=	2n − 5	,	a =	2	.
	n
			3n +1		3

1.6.	a =		4n2 +1		, a=		4	.

	n		3n2 +2			3
1.8.	a	=		4n − 3	,	a = 2.
				2n +1
	n

1.9. a =				1−2n2									,	a = −								1			.
				2+4n2
	n																2
1.11.	a		=				n +1		,					a = −							1			.
		n
						1− 2n											2
1.13. a		=			1−2n2			,						a= −2.
						n2 +3
	n
1.15.	a		=				n	,						a =	1			.
		n					3n −1
														3
1.17. a			=				4 + 2n					,		a = −									2			.
		n
							1− 3n										3
			=				3−n2							a = −			1
1.19. an											,									.
					1+2n2
																	2
1.21.	a		=				3n −1			,				a =		3			.
		n
							5n +1							5

1.10. a

= −

a = −5.

n +1

1.12.

2n +1

a =

3n − 5

1.14. an

3n2

a = −3.

2−n2

1.16.

3n3

a =3.

n3 −1

1.18.

5n +15

a = −5.

6 − n

1.20.

2n −1

a = −

2 − 3n

1.22.

4n − 3

a = 2.

2n +1

1.23.

1−2n2

a = −

1.24.

5n +1

a =

2+4n2

10n − 3

1.25. a

2 − 2n

a = −

1.26.

23− 4n

a = 4.

2 − n

3+ 4n

1.27. a

1+ 3n

a = −3.

1.28.

2n + 3

a = 2.

6 − n

n + 5

1.29.

3n2 +2

a =

1.30.

2−3n2

a = −

4+5n2

4n2 −1

1.31.

2n3

a = 2.

n3 −

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

	(3− n)2 + (3+ n)2			.
2.1. lim		− (3+ n)2
n → ∞ (3− n)2
	(3− n)4 − (2 − n)4			.
2.3. lim		− (1+ n)3
n → ∞ (1− n)3
	(6 − n)2 − (6 + n)2			.
2.5. lim		− (1− n)2
n → ∞ (6 + n)2
	(1+ 2n)3 − 8n3
2.7. lim			.

n → ∞ (1+ 2n)2 + 4n2

(3− n)3

2.9. lim .

n → ∞ (n +1)2 − (n +1)3

	2(n +1)3 − (n − 2)3
2.11. lim					.
2.11. lim	n2 + 2n − 3				.
n → ∞	n2 + 2n − 3
2.13. lim	(n + 3)3 + (n + 4)3			.

	(n + 3)4 − (n + 4)4
n → ∞	(n + 3)4 − (n + 4)4
2.15. lim	8n3 − 2n		.

	(n +1)4 − (n −1)4
n → ∞	(n +1)4 − (n −1)4
2.17. lim	(2n − 3)3 − (n + 5)3					.

	(3n −1)3 + (2n + 3)3
n → ∞	(3n −1)3 + (2n + 3)3
2.19. lim	(2n +1)3 + (3n + 2)3					.

	(2n + 3)3 − (n − 7)3
n → ∞	(2n + 3)3 − (n − 7)3
2.21. lim	(2n +1)3 − (2n + 3)3						.

	(2n +1)2 + (2n +	3)2
n → ∞	(2n +1)2 + (2n +	3)2
2.23. lim	(n + 2)4 − (n − 2)4			.
2.23. lim	(n + 5)2 + (n − 5)2			.
n → ∞	(n + 5)2 + (n − 5)2
2.25. lim	(n +1)3 − (n −1)3		.

	(n +1)2 − (n −1)2
n → ∞	(n +1)2 − (n −1)2
2.27. lim	(n + 2)3 + (n − 2)3			.
2.27. lim	n4 + 2n2 −1			.
n → ∞	n4 + 2n2 −1

2.2. lim (3− n)4 − (2 − n)4 .

n → ∞ (1− n)4 − (1+ n)4

2.4. lim (1− n)4 − (1+ n)4 .

n → ∞ (1+ n)3 − (1− n)3

2.6. lim (n +1)3 − (n +1)2 .

n → ∞ (n −1)3 − (n +1)3

2.8. lim

(3− 4n)2

n → ∞ (n − 3)3 − (n + 3)3

2.10. lim

(n +1)2 + (n −1)2 − (n + 2)3

(4 − n)

n → ∞

2.12. lim

(n +1)3 + (n + 2)3

(n + 4)3 + (n + 5)3

n → ∞

2.14. lim

(n +1)4 − (n −1)4

(n +1)3 + (n −1)3

n → ∞

2.16. lim

(n + 6)3 − (n +1)3

(2n + 3)2 + (n + 4)2

n → ∞

2.18. lim

(n +10)2 + (3n +1)2

(n + 6)3 − (n +1)3

n → ∞

2.20. lim

(n + 7)3 − (n + 2)3

(3n + 2)2 + (4n +

1)2

n → ∞

n3 − (n −1)3

2.22. lim

n → ∞

(n +1)4 − n4

2.24. lim

(n +1)4 − (n −1)4

(n +1)3 + (n −1)3

n → ∞

2.26. lim

(n +1)3 − (n −1)3

(n +1)2 + (n −1)2

n → ∞

2.28. lim

(n +1)3 + (n −1)3

n3 − 3n

n → ∞

2.29. lim	(n +1)3 + (n −1)3			.	2.30. lim	(n + 2)2 − (n − 2)2			.
						(n	+ 3)
	n	3	+1					2
n → ∞	n		+1		n → ∞
n → ∞					n → ∞
2.31. lim	(2n +1)2 − (n +1)2				.

	n2	+ n +1
n → ∞	n2	+ n +1

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

	n 3	5n2			+ 4 9n8 +1
3.1. lim							.


n → ∞ (n +			n	)		7 − n + n2

3.3. lim n3 +1 − n −1. n → ∞ 3n3 +1 − n −1


	3n −1 − 3		125n3 + n
3.5. lim				.
3.5. lim				.
n → ∞	5	n	− n
n → ∞	5

3.7. lim n + 2 − n2 + 2 .

n→ ∞ 4 4n4 +1 − 3 n4 −1

3.9.lim 6n3 − n5 +1.

n→ ∞ 4n6 + 3 − n


	n	4 3n +1 + 81n4 − n2 +1
3.11. lim						.
		(n + 3		)

n → ∞			n		5 − n + n2

3.13. lim n5 + 3 − n − 3 . n → ∞ 5n5 + 3 + n − 3

3.15. lim 4n +1 − 327n3 + 4 .

n → ∞ 4n − 3 n5 + n

3	n3 − 7 + 3 n2 + 4
3.17. lim		.


n → ∞	4 n5 + 5 + n

4n2 − 4 n3

3.19. lim .

n → ∞ 3 n6 + n3 +1 − 5n

n −1 −

n2 +1

3.2. lim

n → ∞ 3 3n3 + 3 + 4 n5 +1

n2 −1 + 7n3

3.4. lim

n → ∞ 4 n12 + n +1 − n

5 n − 3 27n6 + n2

3.6. lim

(n + 4

)

n → ∞

9 + n2

3.8. lim n4 + 2 + n − 2 . n → ∞ 4n4 + 2 + n − 2

5n + 2 − 3

8n3 + 5

3.10. lim

n → ∞

n + 7

− n

n + 3 − n2 − 3

3.12. lim

n → ∞ 3 n5 − 4 − 4 n4 +1

n − 9n2

3.14. lim

n→ ∞ 3n − 4 9n8 +1

3.16.lim n 37n − 481n8 −1.

n→ ∞ (n + 4n )n2 − 5

n6 + 4 +

n − 4

3.18. lim

n → ∞ 5 n6 + 6 − n − 6

n + 3 − 3

8n3 + 3

3.20. lim

n → ∞ 4n + 4 − 5 n5 + 5

n 4 11n + 25n4 − 81

3 n2 − n2 + 5

3.21. lim

3.22. lim

n → ∞ (n − 7

)

n2 − n +1

n → ∞ 5 n7 − n +1

n7 + 5 − n − 5

3 n2 + 2 − 5n2

3.23. lim

3.24. lim

n → ∞ 7 n7 + 5 + n − 5

n → ∞ n − n4 − n +1

n + 2 − 3

n3 + 2

n 71n −

3 64n6 + 9

3.25. lim

3.26. lim

n → ∞ 7 n + 2 − 5 n5 + 2

n → ∞ (n − 3

)

11+ n2

n + 6 − n2 − 5

n8 + 6 − n − 6

3.27. lim

3.28. lim

n → ∞ 3 n3 + 3 + 4 n3 +1

n → ∞ 8 n8 + 6 + n − 6

n2 − n3 +1

n +1 − 3

n3 +1

3.29. lim

3.30. lim

n → ∞ 3 n6 + 2 − n

n → ∞ 4 n +1 − 5 n5 +1

n 6 n + 3

n10 +1

3.31. lim

n → ∞ (n + 4

)

3 n3 −1

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

4.1. nlim→ ∞ n(n2 +1 + n2 −1).

4.3. nlim→ ∞ (n − 3n3 − 5)nn.


		− n
				n(n2 + 5)
	n5 − 8
4.5. lim					.


n → ∞			n

4.7. nlim→ ∞ (n + 34 − n3 ).

4.2. lim n(

−

n2 − 3

n(n − 2)

n → ∞

(

)

4.4. lim

+1 n2 − 4

− n4

− 9

n → ∞

)(

(

− n).

4.6. lim

n2 − 3n + 2

n → ∞

−

4.8. lim

n(n + 2)

n2 − 2n + 3

n → ∞

(

n + 2

)(

)

−

(

)(

n + 3

)

4.9.

lim

n +1

−1

4.10. nlim→ ∞ n2 (n(n4 −1) − n5 − 8).

4.11. lim n(3		− 2n).		(3		− 3		).
	5+ 8n3		4.12. lim n2		5+ n3		3+ n3
n → ∞			n → ∞

4.13. lim

(n + 2)2

− 3

(n − 3)2

4.14. lim

n → ∞

(

4.15. lim

n2 + 3n − 2 −

n2 − 3

4.16. lim

n → ∞

(

n5 +

)

−

(

n4 −

)(

)

1 n2

4.17. lim

n → ∞

(

− n).

4.18. lim

(n + 5)

4.19. lim

n → ∞

(

)(

)

−

(

)

+1 n2

4.20. lim

n → ∞

(

n2 +

)(

n2 + 2

)

−

(

)(

− 2

)

4.21. lim

−1

(

)(

−

)

− n n

(

n4 +

)

+1 n2

4.22. lim

n → ∞

(

)(

)

−

− n6 −1

+1 n2

4.23. lim

4.24. lim

n → ∞

(

)

n → ∞

(

)

(

)

4.25. lim n

+ 4

−

−1

4.26. lim

− 3

4.27. lim 3

n(n −1)

4.28. lim

n → ∞

4.29. lim n(

n4 + 3 −

n4 − 2

n → ∞

(n +1)3 − n(n −1)(n − 3)

n (n + 2 − n − 3).

n3 + 8(n3 + 2 − n3 −1).

n − n (n −1) .

nn − n (n +1)(n + 2) .

n + 2(n + 3 − n − 4).

4.30. lim n(n +1)(n + 2)(n3 − 3 − n3 − 2).

n → ∞

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

n −1

(

)

(

2n + 2

)

+ ...+

2n +1 !+

5.1. lim

5.2. lim

(2n +

3)!

n → ∞

1+ 3+ 5 + 7 + ...+

(

2n −1

2n +1

5.3. lim

)

−

n +1

n → ∞

2n+1

+ 3n+1

1+ 2 + 3+ ...+ n

5.4. lim

5.5. lim

+ 3n

n → ∞ 2n

n → ∞

9n4 +1

5.6. lim

1+ 3+ 5 +...+ (2n −1)

n → ∞

1+ 2 + 3+ ..+ n

5.9. lim

(n + 4)!− (n + 2)!

5.10. lim

(3n −1)!+ (3n +1)!

n → ∞

(n + 3)!

n → ∞

(3n)!(n −1)

2n − 5n+1

+...+

5.11. lim

5.12. lim

n → ∞ 2n+1 + 5n+2

n → ∞

+...+

5.13. lim

1− 3+ 5 − 7 +

9 −11+ ...+ (4n − 3)− (4n −1)

n → ∞

n2 +1 + n2 + n +1

1− 2 + 3− 4 + ...+ (2n −1)

− 2n

5.14. lim

n → ∞

9n4 +1

3n − 2n

5.15. lim

3 n3 + 5 − 3n4 + 2

5.16. lim

2n −1)

n → ∞ 1+ 3+ 5 + ...+ (

n → ∞ 3n−1 + 2n

n + 2

−

+ ...+

3n + 2n

5.17. lim

5.18. lim

+ 2 + 3+...n

n → ∞

5.19. lim

2 − 5 + 4 − 7 +...+ 2n − (2n + 3)

. 5.20. lim

(

2n +1)!+ (2n + 2)!

n → ∞

n + 3

n → ∞

(2n + 3)!− (2n + 2)!

1+ 2 +...+ n

5.21. lim

5.22. lim

n2 +

n −1

..+ (5n −3)

n → ∞ n − n2 +

n → ∞ 2 + 7 +12 +

+...+

1+ 2

2 + 4 + 6 +...+ 2n

5.23. lim

5.24. lim

+ 3+ 5 +..+ (2n −1)

n → ∞

4 16

n → ∞ 1

1+ 5 + 9 +13+...+ (

4n −3)

−

4n +1

5.25. lim

n +1

n → ∞

5.26. lim

1− 2 + 3− 4 +...− 2n

5.27. lim

2n + 7n

n → ∞

3 n3 + 2n + 2

n → ∞ 2n − 7n−1

5.28. lim

n!+

(

n + 2

)

5.29. lim

3+ 6 + 9 +...+ 3n

(n −1)!+ (n +

n → ∞

2)!

n → ∞

n2 + 4

2n + 5n

2 + 4 +...+ 2n

5.30. lim

+...+

5.31. lim

− n .

n + 3

n → ∞

100

n → ∞

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

n +1 n

6.1. lim

n → ∞ n −1

−

6.3. lim

n → ∞

6.5. lim

+ 2

n → ∞

−

3n + 6

n/2

6.7. lim

+ 5n +1

n → ∞ n

6n − 7 3n+2

6.9. lim

n → ∞ 6n

+ 4

n2 + n +1 −n2

6.11. lim .

n → ∞ n2 + n −1

2n + 3 n+1

6.2. lim .

n → ∞ 2n +1

n −1			n+2
6.4. lim			.

n → ∞ n + 3

	2	−	6n + 7	−n+1
6.6. lim	3n			.
	2	+ 20n −1
n → ∞	3n
n −10			3n+1
6.8. lim			.
	n +1
n → ∞

3n2 + 4n −1 2n+5

6.10. lim .

n → ∞ 3n2 + 2n + 7

2n2 + 5n + 7 n

6.12. lim .

n → ∞ 2n2 + 5n + 3

n −1			n2
6.13. lim			.

n → ∞ n +1

3n +1 2n+3

6.15. lim

n → ∞

3n −1

n + 3

n+4

6.17. lim

n → ∞ n + 5

+ 21n − 7

2n+1

6.19. lim

+18n + 9

n → ∞

−5n

n+1

6.21. lim

n → ∞

3n − 5n + 7

− 6n +

3n+2

6.23. lim

− 5n + 5

n → ∞ n

+18n −15

n+2

6.25. lim

+11n +15

n → ∞

n +1

2n2

6.27. lim

+ 2

n → ∞

+ 2n + 3

3n2−7

6.29. lim

+ 2n +1

n → ∞

+ 4n −1

1−2n

6.31. lim

+ 2n + 3

n → ∞

5n2 + 3n −1 n2

6.14. lim .

n → ∞ 5n2 + 3n + 3

2n2 + 7n −1 −n2

6.16. lim .

n → ∞ 2n2 + 3n −1

n3 +1 2n−n3

6.18. lim .

n → ∞ n3 −1

10n − 3 5n

6.20. lim .

n → ∞ 10n −1

n + 3 −n2

6.22. lim . n → ∞ n +1

n + 4 n

6.24. lim .

n → ∞ n + 2

2n −1 n+1

6.26. lim .

n → ∞ 2n +1

13n + 3 n−3

6.28. lim .

n → ∞ 13n −10

n + 5 n/6+1

6.30. lim .

n → ∞ n − 7

Задача 7. Доказать (найти δ (ε )), что:

7.1.

lim

2x2

+ 5x − 3

= −7.

7.2. lim

5x2

− 4x −1

= 6.

x + 3

x −1

x → -3

x → 1

7.3.

lim

3x2

+ 5x − 2

= −7.

7.4. lim

4x2

−14x + 6

=10.

x + 2

x − 3

x → -2

x → 3

7.5.

lim

6x2 + x −1

= −5.

x +1 2

x → -1 2

7.7.

lim

9x2 −1

= −6.

+1 3

x → -1 3 x

7.9.

lim

3x2 − 2x −1

= −4.

x +1 3

x → -1 3

7.11. lim

− 4x + 3

= 2.

x − 3

x → 3

7.13.

lim

6x2 − 5x +1

= −1.

x −1 3

x → 1 3

7.15.

lim

2x2 +13x + 21

= −

2x + 7

x → -7 2

7.17.

lim

6x2 + x −1

= 5.

x −1 3

x → 1 3

7.19.

lim

2x2 − 21x −11

= 23.

x −11

x → 11

7.21. lim

2x2 +15x + 7

= −13.

x +

x → -7

7.23.

lim

6x2 − x −1

= −

3x +1

x → -1 3

7.25. lim

3x2 − 40x +128

= 8.

x − 8

x → 8

7.27.

lim

2x2 − 5x + 2

= −3.

x −1 2

x → 1 2

7.29.

lim

3x2 +17x − 6

=19.

x −1 3

x → 1 3

15x2 − 2x −1

= 8.

7.31.

lim

x −1 3

x → 1 3

7.6.

lim

6x2

− x −1

= 5.

x → 1 2 x −1 2

7.8. lim

3x2

− 5x − 2

= 7.

− 2

x → 2

7.10. lim

7x2

+ 8x +1

= −6.

x +1

x → -1

7.12.

lim

2x2 + 3x − 2

= 5.

x −1 2

x → 1 2

10x2 + 9x − 7

= −19.

7.14.

lim

x + 7 5

x → -7 5

7.16.

lim

2 − 9x +10

2x − 5

x → 5 2

7.18.

lim

6x2 − 75x − 39

= −81.

x +1 2

x → -1 2

7.20. lim

5x2

− 24x − 5

= 26.

x − 5

x → 5

7.22. lim

2x2

+ 6x − 8

= −10.

x + 4

x → -4

7.24. lim

+ 2x −15

= −8.

x + 5

x → -5

7.26.

lim

5x2 − 51x +10

= 49.

x −10

x → 10

7.28. lim

3x2

+17x − 6

= −19.

x + 6

x → -6

15x2 − 2x −1

= −8.

7.30.

lim

x +1 5

x → -1 5

Задача 8. Доказать, что функция

8.1.	f (x) = 5x2 −1,	x		= 6.
			0
8.3.	f (x) = 3x2 − 3,	x		= 4.
			0
8.5	f (x) = −2x2 − 5,		x			= 2.
				0
8.7	f (x) = −4x2 − 7,		x			=1.
				0
8.9	f (x) = −5x2 − 9,		x			= 3.
				0
8.11	f (x) = −3x2 + 8,			x			= 5.
					0
8.13	f (x) = 2x2 + 6,		x			= 7.
				0
8.15	f (x) = 4x2 + 4,		x			= 9.
				0
8.17	f (x) = 5x2 +1,	x			= 7.
			0
8.19	f (x) = 3x2 − 2,		x			= 5.
			0
8.21	f (x) = −2x2 − 4,			x = 3.
						0
8.23	f (x) = −4x2 − 6,			x			=1.
					0
8.25	f (x) = −4x2 − 8,			x			= 2.
					0
8.27	f (x) = −2x2 + 9,			x			= 4.
					0
8.29	f (x) = 3x2 + 7,		x			= 6.
			0
8.31	f (x) = 5x2 + 5,		x		= 8.
			0

f (x) непрерывна в точке x0		(найти δ (ε )).
8.2.	f (x) = 4x2 − 2,	x			= 5.
			0
8.4.	f (x) = 2x2 − 4,	x			= 3.
			0
8.6	f (x) = −3x2 − 6,		x		=1.
			0
8.8	f (x) = −5x2 − 8,		x		= 2.
			0
8.10	f (x) = −4x2 + 9,			x		= 4.
					0
8.12	f (x) = −2x2 + 7,			x		= 6.
					0
8.14	f (x) = 3x2 + 5,		x		= 8.
			0
8.16	f (x) = 5x2 + 3,		x		= 8.
			0
8.18	f (x) = 4x2 −1,	x			= 6.
			0
8.20	f (x) = 2x2 − 3,		x		= 4.
			0
8.22	f (x) = −3x2 − 5,		x			= 2.
					0
8.24	f (x) = −5x2 − 7,			x		=1.
					0
8.26	f (x) = −3x2 − 9,		x			= 3.
					0
8.28	f (x) = 2x2 + 8,		x		= 5.
			0
8.30	f (x) = 4x2 + 6,		x		= 7.
			0

Задача 9. Вычислить пределы функций.

	(	x			)(				)
				3								x	3	− 3x − 2
													3
9.1.	lim									.	9.2. lim				.
9.1.	lim				x4 + 4x2 − 5					.	9.2. lim				.
	x → −1	(			x4 + 4x2 − 5						x → −1			x + x2
		(				)	2				(			)		2
	lim		x2 + 3x + 2				2	.			9.4. lim		2x2 − x −1			2		.
9.3.
9.3.													+ 2x2 − x −
	x → −1 x3			+ 2x2 − x − 2							x → 1 x3		+ 2x2 − x −				2

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