1.3. Нечеткие множества
1.3.1. Определение нечеткого множества
Основы нечеткой логики были заложены в 60-е гг. ХХ века, когда появилась потребность принятия решений в условиях неполной и нечеткой информации. Понятие нечеткого множества введено Лотфи Заде (американский математик, 1921 – 2017) в 1965 году. Он расширил понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности) может принимать любые значения на отрезке [0, 1], а не только значения 0 или 1.
Лотфи Заде
англ. Lotfi Askar Zadeh — Лотфи А. Заде, азерб. Lütfi Zadə — Лютфи Заде,
американский математик и логик, основатель теории нечётких множеств и нечёткой логики, профессор Калифорнийского университета (Беркли)
(4 февраля 1921, Новханы, Азербайджанская ССР – 6 сентября 2017, Беркли, Калифорния)
Нечеткое множество – совокупность элементов, обладающих двумя
свойствами:
1)в нечетком множестве нет повторяющихся элементов;
2)относительно каждого элемента можно сказать, с какой степенью он принадлежит этому нечеткому множеству. Степень принадлежности элемента изменяется на отрезке [0, 1].
Обозначение нечёткого множества: |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
A, B, C,… |
|||
Нечеткое множество может быть |
задано перечислением элементов с |
||
указанием соответствующей степени принадлежности
ˆ |
(x)) | x U}, |
A {(x | ˆ |
|
A |
|
где U – универсальное множество, |
|
ˆ (x) – функция принадлежности, характеризующая степень принадлежности |
||
A |
|
|
элемента х нечёткому множеству |
ˆ |
(x) [0; 1]. |
А, ˆ |
||
|
A |
|
Рассмотрим универсальное множество U {x | x [2, 8], x R}, т.е. элементами являются действительные числа из отрезка [2, 8]. Пусть множество A {y | y [3, 5], y R} является подмножеством множества U. Представим характеристическую функцию множества A графически (рис. 1.2)
|
Рис. 1.2. Характеристическая функция множества А |
|||
Таким |
образом, |
если |
элемент |
универсального множества x A, то |
A (x) 1, |
если x A, |
то |
A (x) 0. |
В данном случае четко определяется |
принадлежность элемента множеству.
Рассмотрим множество В = {множество молодых людей}. Нижняя граница
определяется значением 0 (0 лет), а верхняя граница пусть равняется 25 годам,
т.е B {x | x [0, 25]}. Введем нечеткое множество, |
ˆ |
= {он ещё молодой}. |
В |
Функцию принадлежности Вˆ представим графически (рис. 1.3)
ˆ
Рис. 1.3. Функция принадлежности нечеткого множества В Таким образом, число 1 соответствует элементу универсального
множества, принадлежащему нечеткому множеству ˆ , число 0 означает, что
В
элемент точно не принадлежит ˆ . Все другие значения определяют степень
В
принадлежности к ˆ .
В
Пусть |
ˆ |
|
ˆ |
– |
нечеткие |
множества, U – универсальное (четкое) |
||
А и |
|
В |
||||||
множество. Говорят, что |
ˆ |
содержится в |
ˆ |
|||||
А |
В , если для любого элемента x U |
|||||||
имеем: ˆ (x) |
ˆ (x). |
|
|
|
|
|
||
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
Обозначение: |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
||
A B. |
|
|
|
|||||
Нечеткие |
множества |
ˆ |
и |
ˆ |
равны, если для любого элемента x U |
|
А |
В |
|||||
имеем: ˆ (x) ˆ (x). |
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
Обозначение: A B. |
|
|
|
|
||
1.3.2. Операции над нечеткими множествами
Операции над нечеткими множествами определим как операции над
функциями принадлежности. Здесь x U . |
|
|
|
|||||
1. |
Объединение нечетких множеств |
ˆ |
ˆ |
|
||||
A и |
B |
|
||||||
|
ˆ |
ˆ |
(x) max( ˆ |
(x), ˆ (x)). |
||||
|
A B |
|
|
|
A |
|
B |
|
2. |
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
Пересечение нечетких множеств A и B |
|
|||||||
|
ˆ |
ˆ |
(x) min( ˆ |
(x), |
ˆ (x)). |
|||
|
A B |
|
|
|
A |
B |
||
3. |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
Дополнение нечеткого множества A |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(x) 1 ˆ (x). |
|
||
|
|
|
ˆ |
|
||||
|
|
|
A |
|
A |
|
||
4. |
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
Произведение нечетких множеств A и B |
|
|||||||
|
|
ˆ |
ˆ (x) ˆ (x) ˆ (x). |
|||||
|
|
A B |
A |
B |
|
|||
Пример. Даны нечеткие множества: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
| 0,3; f | 0,8; |
q | 0,6; |
y | 0,5 , |
|
|
|
||
A b |1; e |
|
|
|
|||||
ˆ |
b | 0,7; e |1; |
h | 0,7; |
o | 0,8; |
u | 0,6 , |
||||
B a | 0,9; |
||||||||
ˆ |
d |1; e | 0,5; |
f | 0,1; |
o | 0,4 . |
|
|
|
||
C b | 0,3; |
|
|
|
|||||
Составить функции принадлежности и выполнить операции: ˆ |
ˆ |
, ˆ |
ˆ , |
|
|
, |
||
|
ˆ |
|||||||
|
|
A B |
C B |
C |
||||
ˆ ˆ .
B C
Решение.
Универсальное множество
U {a,b,d,e, f ,h,o,q,u, y}. Функции принадлежности
|
ˆ |
U |
[1 |
1 1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1], |
|||
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0 |
1 0 |
0,3 |
0,8 |
0 |
0 |
0,6 |
0 |
0,5 , |
|||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0,9 |
0,7 |
0 |
1 |
0 |
0,7 |
0,8 |
0 |
0,6 0 , |
||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0 |
0,3 |
1 |
0,5 |
0,1 0 |
|
0,4 |
0 |
0 |
0 . |
||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 0 |
1 0 |
0,3 |
0,8 |
0 |
0 0,6 |
0 0,5 , |
A |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0,9 |
0,7 |
0 1 |
0 |
0,7 |
0,8 0 |
0,6 0 , |
B |
|
|
|
|
|
|
|
1. Объединение
ˆ |
ˆ |
0,9 1 0 1 0,8 0,7 |
0,8 0,6 0,6 0,5 . |
A B |
|
|
|
|
ˆ 0 |
0,3 |
1 |
0,5 |
0,1 0 |
0,4 |
0 |
0 |
0 , |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0,9 |
0,7 |
0 |
1 |
0 0,7 |
0,8 |
0 |
0,6 |
0 , |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Пересечение |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
0 |
0,3 0 0,5 0 0 0,4 0 0 0 . |
C B |
|
|
|
ˆ |
U [1 |
1 1 |
1 |
1 1 |
1 1 |
1 |
1], |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0 0,3 1 |
0,5 |
0,1 |
0 |
0,4 |
0 |
0 0 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Дополнение
|
|
1 0,7 |
0 0,5 0,9 1 0,6 1 1 1 . |
ˆ |
|||
C |
|
|
|
ˆ |
0,9 |
0,7 |
0 |
1 |
0 0,7 |
0,8 |
0 |
0,6 |
0 , |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 0 |
0,3 |
1 |
0,5 |
0,1 0 |
0,4 |
0 |
0 |
0 . |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Произведение |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
0 0,21 0 0,5 0 |
0 0,32 0 0 0 . |
B C |
|
|
|