4. Синтез системы стабилизации частотным методом
Воспользуемся частотным методом синтеза системы стабилизации маятника на каретке.
Метод позволяет учитывать естественным образом собственную динамику управляемого
объекта.
1.Сначала найдем обратную связь, стабилизирующую положение маятника. Переда-
точная функция (ПФ) управляемого объекта по паре вход-выход f → θ вырожда-
ется до второго порядка.
−10 Φfθ = s2 − 107.8
построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику
>> bodemag ( pendulum ) >> g r i d on
>> hold on
Рис. 4.1. ЛАЧХ f → θ.
Для повышения степени подвижности неустойчивого полюса ПФ объекта повысим усиление контура в 1000 раз. Затем введем корректирующее звено:
>>pendulum1=pendulum 200
>>bodemag ( pendulum1 ,{1 ,1000})
13
>> c o r r=t f ( [1 /2 0 1 ] , [ 1 / 1 0 0 0 1 ] )
>>bodemag ( pendulum1 corr ,{1 ,1000})
>>Pend_Control=feedback ( pendulum1 corr , −1)
>>e i g ( Pend_Control )
ans =
−890.1711
−84.7463
−25.0826
Рис. 4.2. ЛАЧХ f → θ.
>>pendulum1=pendulum 200
>>bodemag ( pendulum1 ,{1 ,1000})
>> c o r r=t f ( [1 /2 0 1 ] , [ 1 / 1 0 0 0 1 ] )
>>bodemag ( pendulum1 corr ,{1 ,1000})
>>Pend_Control=feedback ( pendulum1 corr , −1)
>>e i g ( Pend_Control )
ans =
−890.1711
−84.7463
−25.0826
14
Создадим Simulink-модель нелинейной системы с замкнутым контуром стабилиза-
ции маятника (Рис. 4.3).
>>[ A1 , B1 , C1 , D1]= linmodv5 ( ' freq_sim2 ' ) ;
>>e i g (A1)
ans =
0
0
−25.0826
−84.7463
−890.1711
Рис. 4.3. ЛАЧХ f → θ.
Видим, что все полюсы, касающиеся маятника, стабилизированы.
15
2.Второй этап синтеза - стабилизация положения каретки.
Управляемым объектом (второго уровня) синтеза оказывается система, синтези-
рованная на первом этапе (рис. 4.3). Ее входом, как и на первом этапе, является сила, действующая на каретку, а выходом -- положение каретки. Вычислим ПФ объекта второго уровня и построим ЛАЧХ:
>>plant1=s s (A1 , B1 , C1 , D1 ) ;
>>zpk ( plant1 )
>> bodemag ( zpk ( plant1 ) , |
{10e −4 ,1000}) |
ans = |
|
( s +1000) ( s +9.899) |
( s −9.899) |
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
s^2 ( s +25.08) ( s +84.75) ( s +890.2)
Рис. 4.4. ЛАЧХ второго уровня.
Поднять характеристику надо в диапазоне 0.1 - 5. Однако, ввиду ее крутого харак-
тера вблизи нуля стоит сперва опустить на 20-40 дБ. Затем введем корректирующее звено, которое обеспечит ЛАЧХ не более −16... −20 дБ на частоте положительного нуля s = 9.899 и малое усиление на частотах корней, сформированных на первом этапе.
16
>> |
corr1=t f ( [ 1 0 0 1 ] , [ 0 . 2 1 ] ) |
>> |
reg_cart = zpk ( plant1 ) corr1 0 . 2 ; |
>>bodemag ( reg_cart )
>>Cart_Control=feedback ( reg_cart , −1)
Рис. 4.5. ЛАЧХ второго уровня.
Создадим Simulink-модель системы с замкнутым контуром стабилизации каретки
(Рис. 4.6).
Для анализа устойчивости системы преобразуем модель к форме пространства состояний и вычислим собственные значения:
17
Рис. 4.6. ЛАЧХ второго уровня.
>>[ A2 , B2 , C2 , D2]= linmod2 ( ' freq_sim ' ) ;
>>e i g (A2)
ans = −890.1631 −85.7280 −24.1084
−4.3963
−0.5939
−0.0102
Получилась устойчивая «в малом» система шестого порядка. Дальнейший числен-
ный анализ показывает, что «в большом» система оказывается более устойчивой,
чем предыдущая: θmax ≈ 1, что более 50°!
18