3.Синтез системы автоматической стабилизации ме-
тодом пространства состояний
3.1. Синтез регулятора состояния
Целью системы автоматического управления является стабилизация верхнего неустой-
чивого положения равновесия маятника. Каретка должна находиться в заданном поло-
жении покоя.
Задачу будем решать на основе линеаризованной модели объекта, т. е. система ав-
томатической стабилизации должна будет обеспечивать устойчивость при достаточно малых отклонениях состояния от положения равновесия.
Пусть имеется информация о всех переменных состояния объекта
ddvt = Av + Bf; (4)
Алгоритм регулятора состояния запишется так:
|
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
|
f |
= Kv = |
(k1 |
k2 |
k3 |
k4) |
|
|
= |
|
(k1v1 + k2v2 + k3v3 + k4v4) |
(5) |
v2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ |
− |
− |
|
|
|
v3 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
v4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение замкнутой системы в стандартной форме пространства состояний
ddvt = (A − BK) v; (6)
Задача синтеза регулятора имеет решение, если объект управляем. Для анализа управляемости воспользуемся критерием Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы управляемости:
>> rank ( ctrb (A,B) ) 4
Существует произвол в выборе желаемых собственных значений системы. Ясно, что все они должны иметь отрицательные действительные части, причем чем дальше от мни-
мой оси находится собственное значение, тем быстрее затухает составляющая процесса.
Вместе с тем, большее быстродействие системы управления достигается при больших ускорениях, что означает необходимость в приложении чрезмерных усилий на каретку.
8
Выбор, как всегда, компромисс между противоречивыми требованиями. Если нет особых требований к быстродействию системы управления, следует ориентироваться на
естественную динамику объекта.
Назначим «желаемые» собственные значения, затем нейдем матрицу регулятора,
обеспечивающего желаемое расположение собственных значений и проверим устойчи-
вость системы
>> p = |
[ −0.5 , −0.1 , |
−2, −3.4310] '; |
>> K = |
place (A, B, |
p ) ; |
>>e i g (A − B K)
4
3.2.Синтез наблюдателя состояний
Регулятор состояния формирует управляющие воздействия на основе текущей инфор-
мации о всех переменных состояния.
Задача имеет решение, если объект наблюдаем полностью по выходу х. Наблюдае-
мость состояния можно проверить по критерию Калмана, который сводится к проверке ранга матрицы наблюдаемости.
>> rank ( obsv (A,C) ) 4
Матрица наблюдаемости имеет полный ранг, следовательно, состояние объекта наблю-
даемо полностью.
Для обеспечения большего быстродействия назначим собственные значения наблю-
дателя несколько дальше от мнимой оси в левой полуплоскости, затем вычислим мат-
рицу наблюдателя L:
>> po = 5 p ;
>> L = place (A' ,C' , po ) ' ; L =
30.1550 −116.2319 −569.6291 273.8850
9
3.3. Динамический регулятор
Динамический регулятор получим, если объединить регулятор и наблюдатель состоя-
ния. Замкнутая система устойчива и имеет желаемые собственные значения системы и наблюдателя. Таким образом, неустойчивый объект и неустойчивый регулятор образуют устойчивую систему с отрицательной обратной связью.
>> |
[ Ar , Br , Cr , Dr ] = reg (A, B, C, D, K, L ) ; |
>> |
c o n t r o l l e r = s s (Ar , Br , Cr , Dr ) ; |
>>sysc=feedback ( plant , c o n t r o l l e r ) ;
>>e i g ( sysc )
ans =
−17.1550
−10.0000
−0.1000
−0.5000
−0.5000
−3.4310
−2.0000
−2.5000
3.4. Оценка области притяжения положения равновесия
Устойчивость линейной модели означает устойчивость «в малом» положения равновесия нелинейной системы (первый метод Ляпунова). Другими словами, существует область притяжения положения равновесия.
Подключим динамический регулятор к нелинейному объекту (рис. 3.1).
Для нелинейной системы (см. рис. 3.1) проведем проверку выполнения условия устой-
чивости «в малом». Линеаризуем замкнутую систему и вычислим собственные значения:
10
Рис. 3.1. Модель с регулятором.
>>[ Ac , Bc , Cc , Dc]= linmod2 ( ' cartpole_closed ' ) ;
>>e i g (Ac)
ans =
−17.1550
−10.0000
−0.1000
−0.5000
−0.5000
−3.4310
−2.0000
−2.5000
Получены те же собственные значения. Таким образом, существует область устойчи-
вости -- положение равновесия нелинейной системы управления устойчиво «в малом».
Для определения устойчивости "в большом" было проведено многократное модели-
11
рование (см. приложение 1). Для индивидуального варианта M = m = 0.1, l = 0.1
получены предельные значение θmax = 0.35 Рис. 3.2 и max = 0.040 Рис. 3.3.
Рис. 3.2. θ = θmax.
Рис. 3.3. x = xmax.
12