2. Анализ объекта управления
2.1. Исходные данные
Принципиальная схема механического объекта — перевернутого маятника на каретке — изображена на рис. 2.1, где приняты следующие обозначения параметров:
•m – масса маятника, кг;
•M – масса каретки, кг;
•l – длина маятника, м,
атакже переменных:
•θ – угол отклонения маятника, рад;
•x(t) – положение каретки, м;
•f(t) – сила, действующая на каретку, Н.
Целью управления является стабилизация верхнего положения равновесия маятника.
Рис. 2.1. Принципиальная схема объекта.
Математическая модель ОУ представляет из себя систему двух дифференциальных нелинейных уравнений:
ml2 dd2t2y − mgl sin y + ml2 cos y dd2t2x = 0 |
|
(1) |
||
d2x |
d2θ |
dy |
2 |
= f |
(m + M) dt2 |
+ ml cos y dt2 |
− ml sin y (dt ) |
|
|
4
Записывая уранвнения (1) в форме Коши получаем систему
dy |
|
= y˙; |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
||
dy˙ |
= y = |
(M+m)g sin y−mly˙2 sin y cos y−f cos y |
; |
|||
|
dt |
|
D |
|
|
|
|
dx |
= x˙ ; |
|
|
(2) |
|
dt |
(ml2y˙2 sin y+lf−mgl sin y cos y) |
|
||||
|
|
|
|
|||
dx˙ |
= x¨ = |
; |
|
|||
|
dt |
|
D |
|
|
|
Где D = lM + lm sin2 y ≠0
Заметим, что правые части уравнений не содержат переменных , т. е. положение и ско-
рость каретки не влияют на ускорения маятника и каретки. Объект может занимать любое положение или совершать равномерное поступательное движение.
2.2. Симуляция автономной системы
Реализация системы в среде Simulink представлена на Рис. 2.2. Пока остаивим вход регулятора открытым, его синтех проведем в дальнешем. Исходные параметры, согласно варианту, следующие: l = 1, m = M = 0.1
Проведя симуляцию с типовыми начальными условиями [1, 0, 0, 0] (Рис. 2.3), видим,
что каретка и маятник совершают незатухающе колебания. Колебания маятника и ка-
ретки не затухают, так как математическая мо-дель игнорирует потери энергии на пре-
одоление сопротивления среды и трение. Для стабилизации верхнего положения равно-
весия маятника необходи-мо создать автоматическую систему управления.
2.3. Линеаризация дифференциальных уравнений
Устойчивость «в малом» положения равновесия нелинейной модели можно выявить по линеаризованной модели.
Будем рассматривать малые отклонения переменных, при этом можно принять sin y ≈ y, cosx ≈ 1, y˙2 ≈ 0.
Получаем линеаризованные уравнения
dy |
|
= y˙; |
|
||
dt |
|
||||
dy˙ |
= |
(M+m)gy−f |
; |
||
dt |
|
lM |
(3) |
||
dx |
= x˙ ; |
||||
|
|||||
dt |
|
||||
dx˙ |
= f−mgy ; |
|
|||
dt |
|
M |
|
||
Используя средства MATLAB и Simulink линеаризуем систему:
5
Рис. 2.2. Модель Simulink.
>>[A, B, C, D] = linmod2 ( ' sim1 ' ) ;
>>E = e i g (A)
E =
0
0
4.4294 −4.4294
Имеется двукратное нулевое собственное значение и одно «правое», что говорит о неустой-
чивости положения равновесия. Это отвечает нашим предоставлениям о поведении объ-
екта и результатам компьютерного моделирования.
Программа MATLAB/Control System Toolbox позволяет получить передаточную функ-
6
Рис. 2.3. Симуляция автономной системы.
цию объекта численно.
>>[num, den]= s s 2 t f (A,B,C,D) ;
>>plant=t f (num, den ) ;
>> num=[2 |
0 |
1 9 . 6 2 ] ; |
|
>> |
den=[1 |
0 |
−11.772 0 0 ] ; |
>> |
zpk ( plant ) |
||
ans =
10 ( s +3.132) ( s −3.132)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
s^2 ( s −4.429) ( s +4.429)
7