8. Действительное значение – значение величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.

Примечание. Не следует путать этот термин с термином «действующее значе- ние», например напряжения или тока.

Перечисленные выше и многие другие стандартизованные термины являются основой Государственной системы обеспечения единства измерений (ГСИ).

2.2. Классификация измерений

Важнейшая для практики рубрика для классификации измерений – по способам получения (обработки) результатов. Сюда входят четыре понятия: прямые измерения, косвенные, совместные, совокупные.

Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины получают непосредственно от средства измерений. Например, получение результата измерения напряжения при помощи вольтметра не требует какой-либо обработки.

Косвенное измерение – определение искомого значения величины на основании результатов прямых измерений других величин, функционально связанных с искомой величиной. Например, измерение сопротивления резистора с использованием закона Ома на основе результатов измерения тока и напряжения требует расчета как самого значения сопротивления, так и погрешности его определения. Эта погрешность будет зависеть как от погрешностей прямых измерений тока и напряжения, так и от вида функциональной зависимости. Далее будут рассмотрены процедуры такой обработки.

Совместные измерения – проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для определения зависимости между ними.

Такие измерения позволяют найти зависимость одной величины от другой (или от нескольких других), например, построить вольт-амперную характеристику нелинейного элемента. Для этого надо получить ряд одновременных результатов измерений напряжения и тока, причем каждое из полученных значений будет иметь свои погрешности. Очевидно, что соединение полученных точек отрезками прямых даст ломаную линию, плохо отображающую реальную зависимость одной величины от другой. Поэтому при построении по совокупности полученных точек итоговой зависимости, удовлетворяющей некоторой модели, следует использовать специальные математические методы обработки результатов, в частности «метод наименьших квадратов». При этом получаемая кривая (вид которой выбирает исследователь) в общем случае не будет проходить через экспериментально полученные точки. В итоге погрешность построения кривой (в рамках используемой модели) может быть существенно меньше погрешностей исходных данных. В настоящее время процедуры такой обработки полностью автоматизированы.

8

Совокупные измерения – проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.

Простейшим примером таких измерений является определение сопротивлений R1 и R2 двух резисторов путем двух измерений при их после-

довательном и параллельном соединении. Определив: Rпосл = R1 + R2 и Rпар = (R1· R2)/(R1 + R2), можно найти и R1 и R2.

2.3. Классификация погрешностей измерений

По форме записи погрешности принято разделять на абсолютные, относительные и приведенные.

Абсолютная погрешность – погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины (она имеет размерность). За условным обозначением абсолютной погрешности в метрологии зарезервирована заглавная грече-

ская буква дельта:∆ = Аx – Аист.

Поскольку истинное значение Аист найти невозможно, на практике погрешность результата измерения Аx определяют приближенно с использо-

ванием действительного значения: ∆ ≈ Аx – Адейств.

При записи значения абсолютной погрешности обязательно следует указывать единицу величины.

Относительная погрешность (условное обозначение – строчная греческая буква δ) используется в двух формах записи:

Д

δ = Ах 100%

В англоязычных документах часто указывают относительные погрешности в миллионных долях (в промилях): 1 ppm (part per million) = 10–6 .

Приведенная погрешность – отношение абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому нормирующему значению

Анорм. За нормирующее значение обычно принимают значение диапазона (поддиапазона) или верхнего предела средства измерения. Приведенную

Д

погрешность обычно выражают в процентах: δ = Анорм100% . При выборе

другого поддиапазона или другого верхнего предела приведенная погрешность, как правило, остается постоянной, а соответствующая абсолютная погрешность пропорционально изменяется.

По характеру изменения (при повторных измерениях) погрешности подразделяют на систематические, случайные и грубые.

9

Систематическая погрешность – составляющая погрешности результата измерения, которая остается постоянной по значению и знаку при повторных измерениях одной и той же величины. К систематическим принято относить и погрешности, которые изменяются по какому-либо детерминированному закону. Например, если показания часов закономерно отстают от точного времени на одну минуту в сутки, соответствующую прогрессирующую погрешность можно рассматривать как систематическую.

Систематическую погрешность бывает трудно обнаружить и определить – для этого надо иметь оценку действительного значения измеряемой величины. Но если она найдена, ее можно исключить из результата, введя поправку. Однако полностью исключить систематическую погрешность нельзя. Остается так называемая неисключенная систематическая погреш-

ность (НСП), определяемая некоторым интервалом ± НСП, поскольку информация о знаке «потеряна» или просто не учитывается.

НСП – составляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей, или систематической погрешности, поправку на действие которой по какой-либо причине вводить нецелесообразно. Например, систематические погрешности отдельных экземпляров приборов определенного типа могут отличаться как по значению, так и по знаку, но в качестве обобщенной характеристики множества этих приборов можно указать пределы НСП. Поэтому в литературе можно встретить такое, на первый взгляд странное, выражение, как «закон распределения неисключенной систематической погрешности». При этом прилагательное «неисключенная» часто опускают.

Случайная погрешность – составляющая погрешности результата измерения, которая изменяется случайным образом (по знаку и значению) при повторном измерении постоянной величины.

В качестве модели случайной погрешности берется случайная величина в математическом смысле этого термина. Наличие случайной погрешности можно обнаружить при повторных измерениях заведомо постоянной величины. Исключить случайную погрешность принципиально невозможно, однако ее можно существенно уменьшить путем статистического усреднения. Зная закон распределения этой погрешности, можно приближенно оценить, с какой вероятностью и в каких пределах она «в среднем» будет находиться при многократном повторении таких измерений.

Грубая погрешность – погрешность, существенно превышающая ожидаемую в данных условиях. Грубую погрешность, обусловленную неправильными действиями оператора, называют промахом.

Рассмотрим пример одновременного проявления всех трех видов погрешностей при измерении постоянного напряжения 1,0000 В, известного с высокой точностью. Следовательно, это действительное значение напря-

жения Uдейств. Результаты измерений приведены на рис. 2.1.

10

видимому, связан с появлением грубой погрешности.

Грубую погрешность можно устранить одним из следующих способов:

∙установить причину появления грубой погрешности (например, сбой в напряжении питания), устранить ее и провести измерения заново, обеспечив постоянство условий проведения повторных измерений;

∙использовать специальные математические процедуры «отбраковки» грубых погрешностей;

∙интуитивно «отбросить» результат 1,35 В. Это надо делать очень осторожно, чтобы не потерять редко появляющиеся, но важные данные.

Устранив грубую погрешность, можно найти среднее значение резуль-

тата измерения напряжения, оценить систематическую погрешность как отклонение среднего значения от действительного, а затем определить статистические характеристики случайной составляющей погрешности (подробнее об этом далее).

По зависимости от измеряемой величины погрешности подразделяют на аддитивные и мультипликативные.

Аддитивная – погрешность, значение которой не зависит от измеряемой величины. Аддитивная погрешность может быть как систематической, так и случайной.

Мультипликативная – погрешность, значение которой изменяется в зависимости от измеряемой величины. Как правило, погрешности с увеличением измеряемой величины растут

По причинам возникновения погрешности подразделяют на инструментальные и методические.

Инструментальная погрешность – составляющая погрешности изме-

рений, обусловленная погрешностью применяемого средства измерений (обусловлена его «неидеальностью»).

Методическая погрешность (погрешность метода измерения) – составляющая погрешности измерения, обусловленная несовершенством принятого метода измерений. Как правило (но не всегда), методические погрешности имеют систематический характер и очень редко – случайный.

К методическим принято относить погрешности, обусловленные неполнотой наших представлений об измеряемом объекте, например вследствие несоответствия используемой модели реальному объекту. Например, действующее значение напряжения синусоидальной формы можно оце-

нить, измерив его размах и разделив полученный результат на 22 . Но ес-

11

ли измеряемый сигнал отличен по форме от синусоиды (в нем присутствуют высшие гармоники), то такая оценка действующего значения будет иметь существенную методическую погрешность.

По условиям применения средств измерений погрешности подразделяют на основные и дополнительные.

Основная – погрешность средств измерений в так называемых нормальных условиях измерения, характеризуемых совокупностью значений или областей значений влияющих величин, при которых соответствующим изменением результата измерений пренебрегают вследствие малости. Нормальные условия измерений устанавливаются в нормативных документах на средства измерений конкретного типа.

Дополнительная – погрешность, которая возникает при отклонении условий работы средств измерений от нормальных – в так называемых рабочих условиях, которые указывают в документации. Иногда вместо дополнительной погрешности нормируют изменение показаний СИ.

2.4. Оценка погрешностей и правила представления результатов измерения

Определение понятия «единство измерений» требует указания вместе с результатом погрешности полученного значения величины. На практике используют два подхода к оценке погрешностей.

При проведении простых однократных прямых измерений погрешность полученного результата оценивают по нормируемым метрологическим характеристикам используемых средств измерений. Например, если в документации вольтметра указано, что нормируемая относительная погрешность измерения напряжения в нормальных условиях не превышает ±3%, то результат можно сразу записать вместе с оценкой абсолютной погрешности, например:

U = (5,23 ± 0,15) В.

При этом должно соблюдаться условие, что влияние всех остальных составляющих погрешности, кроме инструментальной, пренебрежимо мало. Поскольку погрешность оценена по нормируемым метрологическим характеристикам СИ, соответствующую вероятность указать невозможно.

Второй подход к оценке погрешностей – экспериментальный. Этапы такой оценки:

1)проводят многократные измерения постоянной величины в одинаковых условиях;

2)исключают грубые погрешности;

3)определяют значение и знак систематической составляющей погрешности и исключают ее из результата – вводят поправку. Полностью исключить систематическую погрешность, как правило, нельзя, а иногда просто нецелесообразно. Остается неисключенная систематическая по-

12

грешность (НСП), знак которой уже неизвестен и ее пределы оценивают симметричным интервалом ± ∆нсп;

4)оценивают пределы случайной погрешности в форме симметричного доверительного интервала при заданной доверительной вероятности (определение этих понятий и необходимые формулы рассмотрены далее);

5)если случайная погрешность заметно больше неисключенной систематической погрешности, то именно случайную составляющую погрешности принимают за итоговую погрешность результата измерения ± ∆;

6)если случайная погрешность заметно меньше неисключенной систематической погрешности, то именно неисключенную систематическую погрешность принимают за погрешность результата ± ∆;

7)если полученные оценки случайных и неисключенных систематических погрешностей соизмеримы, то их складывают по определенным формулам и находят суммарную (результирующую) погрешность. Соответствующие формулы можно найти в специальных руководствах.

При окончательном представлении результат измерения необходимо

записать в следующем виде:

Ах ± ∆, Pдов,

где – Pдов доверительная вероятность, которой соответствует полученная оценка погрешности измерения ± ∆.

При таком представлении надо соблюдать два правила:

1. При окончательной записи значения погрешности, задаваемой некоторым интервалом (±), следует использовать не более двух знача-

щих цифр.

Одну значащую цифру оставляют, если цифра старшего разряда погрешности – 3 и более.

2. Наименьшие разряды результата измерения и округленного значения погрешности должны быть одинаковыми.

Примечания: 1. Значащие цифры числа – все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней записанной цифры справа. При этом нули, следующие из множите-

ля 10n , не учитывают.

2. Часто используемое выражение «значащие цифры после запятой» в метроло- гии не применимо, поскольку при выборе необходимых кратных или дольных единиц по- ложение десятичной запятой существенно изменяется, а иногда она может вообще отсутствовать!

Пример. Получены (например, расчетным путем при статистической обработке) результат измерения напряжения Uх = 1,234567 В и погреш-

ность измерения ∆ = ± 0,0234567 В при вероятности Рдов = 0,9.

Сначала в соответствии с первым правилом округляем полученное значение погрешности: ∆ = ±0,0234567 В ≈ ± 0,023 В. В этом числе две значащие цифры. Такую погрешность можно записать и так: ± 23 мВ. Здесь тоже две значащие цифры, хотя десятичная запятая вообще отсутствует. Обратите внимание, что при использовании дольных единиц напряжения

13

(микровольты) такую погрешность грамотно (т. е. с использованием не более двух значащих цифр) записать нельзя – это слишком малая единица для такого значения погрешности!

Теперь в соответствии со вторым правилом округляем результат, оставляя в нем последней цифру того разряда, на котором оканчивается округленное значение погрешности, и окончательно записываем:

Uх = (1,235±0,023) В, Рдов= 0,9 или Uх = (1235±23) мВ, Рдов = 0,9.

Обратите внимание, что форма записи с использованием символа ± фактически эквивалентна записи:

(1,212 В ≤ Uист ≤ 1,258 В) при Рдов = 0,9,

но более компактна и наглядна.

Если исходное расчетное значение погрешности было бы ±0,035432 В (т. е. цифра старшего разряда погрешности 3), то окончательное значение погрешности следовало бы округлить до одной значащей цифры: ± 0,04 В, а результат измерения следовало записать так:

Uх = (1,23 ±0,04) В, Рдов = 0,9.

Дольные единицы напряжения милливольты (мВ) при таком значении погрешности использовать уже невозможно.

При соблюдении указанных правил погрешность начинает «работать» – наглядно характеризует точность полученного результата.

Рассмотренные правила обоснованы следующими соображениями:

∙теоретически можно поставить вопрос о «погрешности определения значения погрешности», и показать, что оценки погрешностей, в принципе, находят приближенно;

∙простой здравый смысл позволяет утверждать, что если к любому интервалу, определяющему погрешность результата, добавить или отнять его малую часть, то значение погрешности практически не изменится.

Однако при записи погрешности результата измерения, полученного с использованием цифровых измерительных приборов, иногда приходится нарушать сформулированные выше правила. Например, результирующая погрешность цифровых (электронно-счетных) частотомеров определяется часто только погрешностью квантования и равна ±1 младшего разряда цифрового отсчетного устройства (подразд. 4.1). В этом случае по необходимости, как исключение, приходится записывать погрешность одной значащей цифрой, например (1234,5 ± 0,1) Гц.

ность ±0,0025 В. Поскольку при помощи такого вольтметра получить информацию о десятитысячных долях вольта нельзя, погрешность по необходимости приходится округлить (обычно вверх) до одной значащей цифры и записать полученный результат окончательно: (1,234 ± 0,003) В.

14