Задание 3

Для той же системы с ПИ-регулятором (см. ПФ Wr(s) в задаче 2) и ПФ объекта:

Приняты kr = 100, Tи = 1.

Значения постоянных времени T1 = 0.1, T2 = 0.3 и k0 = 14 (согласно варианту №5). Тогда

1.Определим диапазоны частот Ω1 и Ω2 задающего гармонического воздействия g(t) = Ag sin(ω0t), для которых относительная амплитуда устано-

Для установления диапазонов воспользуемся ЛАЧХ разомкнутого контура 20 lg |Wp(jω)| (Рис. 7), имея в виду, что

1

|Φeg(jω)| = |1 + Wp(jω)|.

•При значительном усилении разомкнутого контура, единицей в знаменателе можно пренебречь, получив выражение

откуда |Wp(jω)| ≥ 100. Поскольку проще работать с ЛАЧХ, это условие стоит интерпретировать как требование

Частоты, удовлетворяющие этому условию, образуют искомый диапазон Ω1 (Рис. 7, зеленая часть АЛАЧХ графика)

•При усилении меньше −20 дБ напротив, можно пренебречь Wp(jω). Тогда

Ag ≈ 1,

Ae

Частоты, удовлетворяющие этому условию, образуют искомый диапазон Ω2 (Рис. 7, красная часть АЛАЧХ).

12

Рис. 7: ЛАЧХ разомкнутого контура.

Из графика получаем ответ:

Ω1 = (0, 20] Гц Ω2 = [683, +∞) Гц

2.Определм абсолютные значения амплитуды ошибки Ae для двух значений частоты ω0 воздействия в каждом из диапазонов, при Ag = 1. Проведем вычислительные эксперименты, подав на вход системы гармонические сигналы соответствующих частот и построим графики временных процессов.

Для начала найдем ответ аналитически.

13

Рис. 8: Переходные процессы.

Проверим результаты с помощью Matlab. На Рис. 8 приведены графики переходных процессов, на Рис. 9 – результаты прохождения синусоид заданных частот через систему. Медианное значение амплитуды ошибки в результате эксперимента:

14

Рис. 9: Вход - выход.

Ответы на вопросы:

•Какой вид имеют АЧХ и ЛАЧХ замкнутой системы по ошибке Ответ: Построим график АЧХ и ЛАЧХ системы по ошибке, используя средства MATLAB (Рис. 10).

•Как изменятся рассчитанные диапазоны частот Ω1 и Ω2 при увеличении

(уменьшении) kr в 10 раз?

Ответ: При увеличении (уменьшении) kr в 10 раз график ЛАЧХ разомкнутого контура поднимется (опустится) на 20 log10 10 = 20 Дб. Значит определить новые диапазоны можно по исходному графику, увеличив (уменьшив) правую границу ( ) и левую границу ( ) на 20 Дб. Новые границы, полученные таким образом для увеличения и уменьшения kr соответственно:

Ω1 = (0, 68] Гц, Ω2 = [2160, +∞) Гц

и

Ω1 = (0, 3.25] Гц, Ω2 = [216, +∞) Гц.

15

Рис. 10: ЛАЧХ замкнутого контура по ошибке

•Можно ли в данной системе обеспечить селективную абсолютную инвариантность по ошибке при гармоническом воздействии:

Ag ω0 g(t) = Ag sin ω0t, G(t) = s2 + ω02

где Ag – произвольная амплитуда, ω0 Ω1 – произвольная частота из найденного диапазона? Если да, то, какие изменения в системе следует произвести (сохраняя при этом структуру операторов звеньев Wo(s), Wp(s), но не ограничивая структуру (топологию) системы), чтобы обеспечить указанное свойство? Результаты подтвердить графиками.

Ответ: Для селективной абсолютной инвариантности по ошибке необходимо, чтобы ошибка Φeg(sj) = 0 на спектре sj воздействия g(t).

То есть в составе нулей передаточной функции Φeg(s) должны быть все полюса изображения воздействия g(t). Найдем точное выражение для Φeg (пока не меняем топологию системы), воспользовавшись (6):

Полюса заданного воздействия s1, 2 = ±jω0, они должны входить в число корней числителя дроби (8). Для нахождения таких параметров T1 и T2 необходимо решить систему

(

jω0(jω0T1 + 1)(jω0T2 + 1) = 0,

−jω0(jω0T1 − 1)(jω0T2 − 1) = 0.

16

Рис. 11: ЛАЧХ при различных kr.

относительно T1 и T2, которая не имеет действительных решений. Значит обеспечить селективную инвариантность к данному типу воздействий, не изменяя топологию системы, невозможно.

17