4.Определим частотные показатели качества M и ωp по АЧХ замкнутой системы при значениях kr из табл. 1. По определению
A(ω) = |Φ(jω)|
M = Amax(ωp). A(0)
Пользуясь (2) (Φ(s) = W (s))
A(0) = Φ(jω) = kr = 1. kr
На низких частотах возможно отсутсвие резонансного пика, кто можно наблюдать на Рис. 11. Доопределим на этом диапазоне M(kr) нулем, резонансная частоты при этом будет отсутствовать. Графики показателей качества M и ωp приведены на Рис. 12 и Рис. 13 соответственно. Код предоставлен в приложении 3.
Рис. 11: Зависимость АЧХ(kr).
11
Рис. 12: Зависимость M(kr).
Рис. 13: Зависимость ωp(kr).
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметр |
|
|
|
Показатели качества |
|
|
|
||||
kr |
η |
µ |
σ% |
tp |
∆L |
∆φ |
ωср |
M |
ωp |
||
0.01 |
0.01 |
0 |
0 |
|
297.38 |
∞ |
89.37 |
|
0.01 |
0 |
– |
0.10 |
0.11 |
0 |
0 |
|
27.55 |
∞ |
83.76 |
|
0.10 |
0 |
– |
1.00 |
0.45 |
1.84 |
18.20 |
|
5.53 |
∞ |
50.00 |
|
0.76 |
1.53 |
0.70 |
10.0 |
0.45 |
6.56 |
61.46 |
|
6.49 |
∞ |
17.15 |
|
2.95 |
10.51 |
2.95 |
100 |
0.45 |
20.95 |
86.08 |
|
6.32 |
∞ |
5.46 |
|
9.51 |
20.42 |
9.51 |
250 |
0.45 |
33.15 |
90.96 |
|
6.48 |
∞ |
3.45 |
|
15.06 |
24.40 |
15.06 |
1000 |
0.45 |
66.33 |
95.37 |
|
6.57 |
∞ |
1.73 |
|
30.14 |
30.41 |
30.14 |
5000 |
0.45 |
148.32 |
97.90 |
|
6.57 |
∞ |
0.77 |
|
67.42 |
37.40 |
67.41 |
Таблица 1: Сводная таблица.
13
Задание 2
Для системы из задачи 1 найдем аналитическую зависимость ИКО I0 от коэффициента передачи kr. Формула для ИКО имеет вид
|
I0 = Z0 |
∞ |
|
|
eп2 (t) dt |
||
Известно, что |
|
|
|
Eп(s) = |
bmsm + ...b1s + b0 |
= Φe(s)G(s). |
|
|
|
||
cnsn + ... + c1s + c0 |
|
||
Поскольку в задании не указано воздействие, будем считать его единичным ступенчатым. Тогда, для системы Рис. 1, используя (1) получаем
|
1 |
|
· |
1 |
|
1.1s + 1 |
|
|||
Eп(s) = |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
(3) |
|
1 + Wp(s) |
|
s |
1.1s2 + s + kr |
|||||||
Для полученного выражения m = n − 1 = 1, значит вычислить ИКО можно следующим образом:
I0 |
(kr) = |
b1 |
2c0 + b0 |
2c2 |
= |
1.12 · kr + 12 · 1.1 |
= |
1.21kr + 1.1 |
. |
(4) |
|
2c0c1c2 |
2 · kr · 1 · 1.1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2.2kr |
|
||||
График зависимости построим в логарифмическом масштабе по оси kr, см. Рис. 14.
Рис. 14: Зависимость I0(kr).
14
1 |
N = 50000000; |
2 |
k = l i n s p a c e ( 0 . 0 1 , 1000 , N) ; |
3 |
I0 = (1.21 k + 1 . 1 ) . / ( 2 . 2 k ) ; |
4 |
semilogx (k , I0 , ’ LineWidth ’ ,1 , ’ c o l o r ’ , ’ blue ’ ) ; |
5 |
grid on ; |
6 |
x l a b e l ( ’k_r ’ ) ; |
7 |
y l a b e l ( ’ I_0 ’ ) ; |
|
|
Используя полученное выражение рассчитаем необходимые значения. Все результаты для задания 2 заносятся в Табл. 2. Ответы на вопросы:
•Какова качественная связь ИКО I0 с характером переходного процесса в системе при g(t) = g01(t)?
Ответ: Показатель I0 тем менньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше отклонение.
•Какую форму принимает кривая переходного процесса в системе, соответствующая минимуму ИКО? Привести график.
Ответ: ИКО не имеет глобального минимума, а стремится к нулю при
kr → ∞. Исследования показывают, что при любом kr > 225 переходный процесс является затухающим колебательным, причем затухание происходит по экспоненте e−115 .
Рис. 15: Переходные процессы при различных I0.
15
Задание 3
Для системы, рассмотренной в задачах 1 и 2, получим семейство графиков (на одном рисунке) зависимостей улучшенной ИКО от коэффициента kr при нескольких значениях весового коэффициента τ12.
I1 определяется выражением
I1 = Z0 |
∞ |
|
|
|
∞ |
|
eп2(t) dt + τ12 Z0 |
e˙п2 (t) dt = I10 + τ12I11. |
|||||
(4) |
1.21kr+1.1 |
|
1 |
|
|
|
Причем I10 = I0 = |
|
= 0.55 + |
|
. |
|
|
2.2kr |
2kr |
|
||||
I11 вычисляется по аналогии с I1, с учетом того, что
E˙п(s) = L {e˙п(t)} = sEп(s) − e(0).
Причем
|
e(0) = lim sEп(s). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Откуда |
|
|
|
s→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
b′ |
sm + ... + b′ |
s + b′ |
||||||||||||
˙ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|||
Eп(s) = sEп(s) − slim sEп |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
c′ |
sn + ... + c′ |
s + c′ |
||||||||||||||||||
Для исследуемого варианта |
→∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e(0) = lim s |
|
1.1s + 1 |
= 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
s→∞ 1.1s2 + s + kr |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Значит |
1.1s + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kr |
|
|
|
||||
˙ |
− 1 = |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Eп(s) = s |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
1.1s2 + s + kr |
1.1s2 + s + kr |
|||||||||||||||||||
Получаем коэффициенты |
b0′ = −kr, b1′ = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
c0′ = kr, c1′ = 1, c2 = 1.1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
И, поскольку n = 2 |
|
|
b1′2c0′ + b0′2c2′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
kr |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
I11 = |
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2c′ c′ |
c′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 kr |
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I11 = I10 + τ1 |
|
I11 = 0.55 + |
|
+ τ1 |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kr |
|
|
|
|
|||||||
Ответы на вопросы:
•Какова качественная связь ИКО I0 с характером переходного процесса в система при g(t) = g01(t)?
Ответ: Подбор параметров системы, обеспечивающий минимум I1 приводит к менее колебательными процессам, чем аналогичная минимизация I0.
16
(a) Нижний диапазон. |
(b) Верхний диапазон. |
Рис. 16: Зависимость I2(kr).
•Какую форму кривой переходного процесса в исследуемой системе обеспечивает минимум улучшенной ИКО? Привести график.
Ответ: Функция I11(kr) = 0.55 + 12kr + τ2 k2r при kr > 0 имеет минимум в точке kr = τ1 . Увеличение коэффициента τ2 ведет к менее колебательному процессу в точке минимума функции I1(kr). Построим график.
Рис. 17: Переходные процессы при различных τ2.
17
|
|
|
|
|
Значения варьируемого |
|
Интегральные показатели качества |
||
параметра |
|
|
|
|
kr |
I0 |
|
τ12 |
I1 |
0.01 |
50.550 |
|
0.01 |
50.550 |
|
0.1 |
50.550 |
||
|
|
|
1.0 |
50.555 |
0.10 |
5.550 |
|
0.01 |
5.550 |
|
0.1 |
5.551 |
||
|
|
|
1.0 |
5.600 |
1.00 |
1.050 |
|
0.01 |
1.050 |
|
0.1 |
1.055 |
||
|
|
|
1.0 |
1.550 |
10.0 |
0.600 |
|
0.01 |
0.601 |
|
0.1 |
0.650 |
||
|
|
|
1.0 |
5.600 |
100 |
0.555 |
|
0.01 |
0.560 |
|
0.1 |
1.055 |
||
|
|
|
1.0 |
50.555 |
250 |
0.552 |
|
0.01 |
0.565 |
|
0.1 |
1.802 |
||
|
|
|
1.0 |
125.552 |
1000 |
0.551 |
|
0.01 |
0.601 |
|
0.1 |
5.551 |
||
|
|
|
1.0 |
500.551 |
5000 |
0.550 |
|
0.01 |
0.800 |
|
0.1 |
25.550 |
||
|
|
|
1.0 |
2500.550 |
Таблица 2: Сводная таблица 2.
18
Выводы
Проанализировали качества переходных процессов в системах автоматического регулирования. Определили прямых и косвенные показателей качества.
19
Приложения
1.Построение графиков из 1.2. Модель "sim1.slx"совпадает с моделью, используемой в 1.3 (см. Рис. 8).
1 |
N = 100 |
0; |
|
2 |
i = 1 ; y_st = 1 ; |
||
3 |
sigma = |
zeros (1 , N) ; |
|
4 |
tp = zero s (1 , N) ; |
||
5 |
diap |
= |
l i n s p a c e ( 0 . 1 , 100 , N) ; |
6 |
f o r |
k = |
diap |
7k_r = k ;
8 |
st |
= |
sim (" sim1 . s l x ") ; |
|
|
9 |
[ step_resp , time ] = |
step ( s t . sys . values ) ; |
|||
10 |
peaks |
= findpeaks ( step_resp ) ; |
|
||
11 |
a n a l y s i s = abs ( step_resp − 1) |
− 0 . 0 5 ; |
|||
12 |
ss = f l i p l r ( sign ( a n a l y s i s ) ’) ; |
|
|||
13 |
index |
= length ( time ) |
− f i n d ( ss |
== −1 ss (1) , 1) + 2 ; |
|
14 |
x1 = |
time ( index − 1) ; |
x2 = time ( index ) ; |
||
15 |
y1 = |
step_resp ( index − 1) ; y2 = step_resp ( index ) ; |
|||
16 |
i f |
y2 >= y1 |
|
|
|
17 |
|
tp ( i ) = x1 + ( x2 − x1 ) (0.95 − y1 ) /( y2−y1 ) ; |
|||
18 |
e l s e |
|
|
|
|
19 |
|
tp ( i ) = x2 − ( x2 − x1 ) (1.05 − y2 ) /( y1 − y2 ) ; |
|||
20 |
end |
|
|
|
|
21 |
i f |
length ( peaks ) >= 1 |
|
||
22 |
|
sigma ( i ) = 100 ( peaks (1) − y_st ) /y_st ; |
|||
23 |
e l s e |
|
|
|
|
24 |
|
sigma ( i ) = 0 ; |
|
|
|
25 |
end |
|
|
|
|
26 |
i |
= i |
+ 1 ; |
|
|
27end
28f i g u r e
29 |
plot ( diap , |
sigma , ’ LineWidth ’ , |
1 , ’ c o l o r ’ , ’ blue ’ ) ; |
|
30 |
grid on |
|
|
|
31 |
x l a b e l ( ’k_r ’ ) ; |
|
|
|
32 |
y l a b e l ( ’ \sigma |
%’ ) |
|
|
33 |
f i g u r e |
|
|
|
34 |
plot ( diap , |
tp , |
’ LineWidth ’ , 1 , |
’ c o l o r ’ , ’ blue ’ ) ; |
35 |
grid on |
|
|
|
36x l a b e l ( ’k_r ’ ) ;
37y l a b e l ( ’ \t_p %’ )
20